数学·必修3(人教A版)
2．3 变量间的相关关系
2．3.1 变量之间的相关关系及两个变量的线性相关
1．下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是( )
A．正方形的边长与面积
B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C．人的身高与体重
D．人的身高与视力
答案：C
2．下列说法中不正确的是( )
A．回归分析中，变量x和y都是普通变量
B．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
C．回归系数可能是正的也可能是负的
D．如果回归系数是负的，y的值随x增大而减小
答案：A
3．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
答案：D
4．设有一个线性回归方程＝3－x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加2个单位
B．y平均减少2个单位
C．y平均增加1个单位
D．y平均减少1个单位
答案：D
5．如果两个变量有线性相关关系，则下面说法不正确的是( )
A．应用所提供的数据，一定可求出其线性回归方程
B．应用所提供的数据，不一定能求出其线性回归方程
C．只要求出的线性回归方程，它都能较好估计两变量间的变化趋势
D．线性回归方程是两变量之间变化趋势的较准确描述
答案：B
6．如果样本点有3个，坐标分别是(1,2)，(2,2.5)，(3,4.5)，则用最小二乘法求出其线性回归方程＝＋x中与的关系是( )
A.＋＝3 B.＋3＝2
C．2＋＝3 D.＋2＝3
答案：D
7．已知x，y的取值如下表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝__________.
答案：2.6
8．对变量x, y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
图1 图2
A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
答案：C
9．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由.
机动车辆数
x/千台
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故数
y/千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
解析：在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图所示．
直观判断这些点大致在一条直线附近，故具有线性相关关系，计算相应的数据之和：
xi＝1 031，yi＝71.6，
x＝137 835，xiyi＝9 611.7.
设线性回归方程为＝x＋，
则
所以，所求线性回归方程为＝0.077 4x－1.024 9.
1．求解两个变量的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算．如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到i，i，iyi， 这些量，也就不需要制表这一步，直接算出结果就行了．
2．目前高考暂时不能使用计算器，因此考题数字一般不会太大，但是还是要多加训练．
3．列表格式一般如下：
i
1
2
3
4
5
xi
yi
xiyi
＝？， ＝？
＝？， iyi＝？
课件35张PPT。第二章 统计
2．3 变量间的相关关系
2.3.2 生活中线性相关实例(习题课)通过生活实例进一步了解最小二乘法思想．用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，建立线性回归方程．基础梳理1．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫________．
回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性，由一个变量的变化推测另一个变量的变化的方法，称作回归方法．
2．线性相关：若散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做________．
例如：(1)同学学号与数学成绩间是否有相关关系？
(2)同学学习时间与学习成绩是否有相关关系？回归分析回归直线无有自测自评1．下述说法中错误的个数是( )
①任何两个变量之间一定是线性相关的；
②线性回归方程的拟合效果与选择数据多少无关；
③函数关系一定是相关关系；
④如果样本点只有两个，则用最小二乘法计算得到的直线方程与两点式求出的方程一致．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C 2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：D(0,1)题型一 求回归直线方程例1 针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析：跟 踪训 练1．假设学生初中数学成绩和高一数学成绩是线性相关的，若10个学生初中数学成绩(x)和高一数学成绩(y)如下：试求初中和高一数学成绩间的回归方程．题型二 判断两个变量间的线性相关关系并求回归直线方程例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．解析：(1)画出散点图如下，由图可知y与x有线性相关关系．(2)列表、计算：跟 踪训 练2．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(y)和房屋的面积(x)的数据：(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．解析：(1)数据对应的散点图如下图所示：题型三 对已知数据进行线性回归分析例3 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：分析：(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图．
(2)按求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程．
(3)利用回归直线方程分析． 跟 踪训 练3．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：(1)作出散点图．
(2)求y关于x的线性回归直线方程．
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？跟 踪训 练解析：(1)散点图如下：题型四 回归直线方程的应用例4 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(元)，有如下的统计资料：解析：(1)制表如下：跟 踪训 练4．弹簧长度y(cm)随所挂物体的重量x(g)不同而变化的情况如下：(1)画出散点图；
(2)求y对x的回归直线方程；
(3)预测所挂物体重量为27 g时的弹簧长度(精确到0.01 cm)．解析：(1)散点图如下图所示：(2)采用列表的方法计算a与回归系数b.数学·必修3(人教A版)
2．3 变量间的相关关系
2.3.2 生活中线性相关实例(习题课)
1．下列关系中为相关关系的有( )
①学生的学习态度和学习成绩之间的关系
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系
④某个人的年龄与本人的知识水平之间的关系
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
答案：A
2．工人月工资y(元)与劳动生产率x(千元)变化的回归方程为＝150＋60x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工资为210元
B．劳动生产率提高1 000元，则工资平均提高60元
C．劳动生产率提高1 000元，则工资平均提高210元
D．当月工资为270元时，劳动生产率为2 000元
答案：B
3．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为＝x＋，那么下面说法不正确的是( )
A．直线＝x＋必经过点(，)
B．直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝x＋的斜率为
D．直线＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(x＋)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线
答案：B
4．下列有关回归直线方程＝x＋的叙述正确的是( )
①反映与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示与x之间不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案：D
5．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：
玩具个数
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
加工时间
4
7
12
15
21
25
27
31
37
41
如回归方程的斜率是b，则它的截距是( )
A．a＝11b－22 B．a＝22－11b
C．a＝11－22b D．a＝22b－11
答案：B
6．对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是( )
A．频率分布直方图与总体密度曲线无关
B．频率分布直方图就是总体密度曲线
C．样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
答案：D
7．已知下列叙述：
①变量间关系有函数关系，还有相关关系；
②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；
③xi＝x1＋x2＋…＋xn；
④线性回归方程＝x＋中，＝，
＝－；
⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．
其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④⑤
C．①②③④ D．③④⑤
答案：C
8．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张刚同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在____________kg左右．
答案：69.96
9．某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x(件)之间有如下一组数据：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知＝280，＝45 309，iyi＝3 487.
(1)求，；
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；
(3)估计每天销售10件这种服装时可获多少纯利润．
解析：(1)＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝79.86.
(2)设回归直线方程为＝x＋，则
＝＝≈4.75.
＝－＝79.86－4.75×6≈51.36.
故所求回归直线方程为＝4.75x＋51.36.
(3)当x＝10时，＝98.86，估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元．
1．回归分析是由样本点寻求一条曲线“贴近”这些点的数学方法，线性回归是处理变量之间的线性相关关系的一种数理统计方法，它为生产、生活提供了一种科学的测算依据．如果两个变量线性相关，那么一定可以找到一条直线拟合该关系，关键是如何找出这样一条最佳拟合直线，即如何求得线性回归方程，利用线性回归方程对两个变量间的线性关系进行估计，实际上就是将非确定性的相关关系问题转化为确定性的函数关系进行研究，我们常用的方法就是“最小二乘法”，它使得直线上的估计点与实际样本数据距离最小．
回归直线方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用，因此回归直线方程的求法是本节应重点掌握的．
2．利用线性回归方程可由一个变量的值预测或控制另一个变量的值，借助计算器能大大简化计算、迅速得出结果，但这些计算手工完成难度很大，故不便于考查，但对本节的公式要了解其含义，学会应用并能作简单分析．
3．能利用回归直线对总体作出估计．
