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第五章 圆
第三节 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 正多边形与圆 ☆☆ 从近年各地中考来，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2024年各地中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。
考点2 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算 ☆☆
考点3 不规则图形的面积的计算 ☆☆☆
■考点一 正多边形的与圆
1）正多边形的相关概念
正多边形概念：各条边 ，并且各个内角也都 的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。
2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径）
边长：；周长：；边心距： ；面积： ；
内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。
注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
■考点二 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算
1)设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则
（1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式： 或 ．
（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧= （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
（4）圆锥全面积公式：S圆锥全= （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。
■考点三 不规则图形的面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是 思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 法、 法、 法等。
■考点一 正多边形与圆
◇典例1：（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
◆变式训练
1.（2023年上海市中考数学真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
2．（2023·山东青岛·一模）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
◇典例2：（2023·广东湛江·校联考三模）半径为的圆内接正六角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．
2．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
◇典例3：（2023年四川省德阳市中考数学真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
◆变式训练
1．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．
2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
◇典例4：（2023年安徽省舒城县中考模拟数学试题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建泉州·校考模拟预测）将正五边形绕着它的中心O逆时针旋转时，点A的对应点为点，则的度数为 ．
■考点二 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算
◇典例5：（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 ．
3．（2023年山西省中考数学真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A． B． C． D．
◇典例6：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
◆变式训练
1．（2023年山东省泰安市中考数学真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年新疆维吾尔自治区中考数学真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
◇典例7：（2023年山东省东营市中考数学真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
◆变式训练
1．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
2．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ．2．（2023.广东九年级期末）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
◇典例8：（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·广东湛江·统考一模）如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 ．
2.（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．
■考点三 不规则图形的面积的计算
◇典例9：（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）
◆变式训练
1．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
2．（2023年青海省西宁市中考数学真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．
◇典例10：（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年湖北省恩施州中考数学真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留）
◇典例11：（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023年湖北省鄂州市中考数学真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（）
A． B． C． D．
2.（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为_________．
3．（2023·河南周口·统考二模）如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为 ．
◇典例12：（2023年江苏省苏州市中考数学真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）
◆变式训练
1. （2023·吉林白山·统考一模）如图，在半径为5，圆心角为的扇形中，阴影部分的面积；在半径为2的圆中，阴影部分的面积为，则 （结果保留π）．
2.（2022·湖南娄底·中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
5.（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
6.（2023年湖北省十堰市中考数学真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
7．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
9．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
10．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
11．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
1．（2023·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．， B．， C．， D．和的值不能确定
2．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
5．（2023·陕西渭南·统考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
6．（2023·山东济南·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ．
7．（2023·河南周口·校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为 ．
8．（2023·陕西咸阳·校考三模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）
9．（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
10．（2024·山东泰安·一模）如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
11．（2023·湖南湘西·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制作了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．
12．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
1．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西钦州·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为 ．
3．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ．
4．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．
5．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
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第五章 圆
第三节 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 正多边形与圆 ☆☆ 从近年各地中考来，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2024年各地中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。
考点2 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算 ☆☆
考点3 不规则图形的面积的计算 ☆☆☆
■考点一 正多边形与圆
1）正多边形的相关概念
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径）
边长：；周长：；边心距： ；面积： ；
内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。
注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.
■考点二 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算
1)设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则
（1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式： 或 ．
（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
（4）圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。
■考点三 不规则图形的面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。
■考点一 正多边形与圆
◇典例1：（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．
【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．
◆变式训练
1.（2023年上海市中考数学真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
【答案】18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，则，
故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
2．（2023·山东青岛·一模）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，∴，∴这个正多边形的边数为．故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
◇典例2：（2023·广东湛江·校联考三模）半径为的圆内接正六角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质可知，再根据等边三角形的判定与性质可知进而即可解答．
【详解】解：如图，连接，∵正六边形内接于圆，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故选B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．
【答案】
【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可．
【详解】解：是的内接正三角形；，
过作于，连接，则长为边心距，如下图，
在直角中，，，，
，，故答案为．
【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键．
2．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形的边长为4mm，故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题关键．
◇典例3：（2023年四川省德阳市中考数学真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案．
【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，
∴，，，∴，∴，即，
∴，∴，而，∴为等边三角形，
∴，∴多边形的边数为：，故选B
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
◆变式训练
1．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可．
【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，
在中，，，，
同理，，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答．
【详解】解：连接，作于点，
∵的周长等于，∴的半径为：，
∵六边形是正六边形，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，故选．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形中心角等于，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，正六边形的面积，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】
【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而
则 故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
◇典例4：（2023年安徽省舒城县中考模拟数学试题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接，∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，∴，故选Ｃ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答关键．
2．（2023·福建泉州·校考模拟预测）将正五边形绕着它的中心O逆时针旋转时，点A的对应点为点，则的度数为 ．
【答案】/138度
【分析】作出图形，根据正五边形的性质和旋转角求出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，∵五边形为正五边形，
∴，，∴，
根据旋转可知，，∴，，
∵，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形，旋转变换，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握正五边形的特点．
■考点二 弧长、扇形面积、圆锥的相关计算
◇典例5：（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，得到，，得出半径，再计算弧长即可．
【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，，，，，
，，，，，
，，
故的半径为，
的弧长．故选A
【点睛】此题考查弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
◆变式训练
1．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：弧的半径，圆心角，∴，故选：B．
【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．
2．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为的圆周长的五分之一即可．
【详解】解：由题意得，半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为的圆周长的五分之一，所以，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
3．（2023年山西省中考数学真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：
∵，∴，∵过点的两条切线相交于点，∴,
∴,∴．故选B．
【点睛】本题考查圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题关键．
◇典例6：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
【详解】解：∵正六边形的外角和为，∴每一个外角的度数为，
∴正六边形的每个内角的度数为，
设这个圆锥底面圆的半径是r，根据题意得，，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
◆变式训练
1．（2023年山东省泰安市中考数学真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，∴，，
∵，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．
2．（2023年新疆维吾尔自治区中考数学真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，∴，∴．故选：B.
【点睛】本题考查圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．
◇典例7：（2023年山东省东营市中考数学真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，∴故选：A．
【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】 120
【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径，∴该圆锥底面周长，
∵圆锥母线长为3，∴该圆锥的侧面展开图的半径为3，∴，解得：，
即展开图（扇形）的圆心角是120度，圆锥的侧面积，故答案为：120，．
【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．
2．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ．
【答案】12
【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
【详解】解：根据圆锥侧面积公式变形可得，
根据圆锥母线公式，可得，故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．
2．（2023.广东九年级期末）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
【答案】6
【分析】先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是2，∴底面圆周长是，即展开后的扇形弧长是，
根据弧长公式：，得，解得，即该圆锥的母线长是6．故答案是：6．
【点睛】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇形的关系．
◇典例8：（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为，∴解得：
∵解得：∴侧面展开图的圆心角为
如图所示，即为所求，过点作，∵，，则
∵，则∴，，故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·广东湛江·统考一模）如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图，过点S作，
∴，设，即：，得：，
∵，，∴，∴
∴，∴．故答案为：．
2.（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．
【答案】18
【分析】连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角∠ABC为n．利用弧长公式可求出n的值，根据两点间线段最短可得AC为这根绳子的最短长度，根据等腰三角形的性质，利用∠CBD的正弦值求出AC的长即可得答案．
【详解】如图，连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．
∵两点间线段最短，∴AC为这根绳子的最短长度，
∵圆锥的底面半径是，∴，∴=，解得：，
∵BD⊥AC，BC=AB，∴∠CBD=∠ABC=60°，CD=AC，
∴CD=BC·sin60°=×=9，∴AC=2CD=18，故答案为：18
【点睛】此题考查了圆锥的计算、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
■考点三 不规则图形的面积的计算
◇典例9：（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）
【答案】
【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点
∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，∴，
又∴，∴是等边三角形，
∴，，∴,
∴阴影部分面积故答案为：．
◆变式训练
1．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴是的直径，
∵，∴，∴的半径为，
∴的面积为，矩形的面积为，∴阴影部分的面积为；故答案为；
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
2．（2023年青海省西宁市中考数学真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】连接，，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵、是的切线，∴，，
∵四边形是正方形，∴，，∴，∴四边形是正方形，
∵，∴，∴，
∴阴影部分面积故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键．
◇典例10：（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，证明四边形是正方形，进而得出，，然后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，∵，，，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，，
∴图中阴影部分面积，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形是正方形是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年湖北省恩施州中考数学真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
【详解】如图，连接，，
∵等圆和相交于A，B两点∴,
∵和是等圆∴∴是等边三角形∴
∵,,∴
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．
2．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，
∴，，∴，
∴扇形与扇形重合，∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；故选C
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
3．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：为等边三角形，，，
的半径为3，，故答案为：．
◇典例11：（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，∴图中阴影部分的面积是
，故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
◆变式训练
1. （2023年湖北省鄂州市中考数学真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，，作交于点
∵在中，，，，∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，∴是半圆的直径，∴，
∵，∴，，
又∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∴．故选：C．
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2.（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】2π+4–4
【分析】连接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，求得AB=，由折叠可得：，，则，设OC=x，则=2-x，在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，最后由S阴影=S扇形-2S△AOC求解即可．
【详解】解：连接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=，
由折叠可得：，，∴，设OC=x，则=2-x，
在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，
S阴影=S扇形-2S△AOC===2π+4–4，故答案为：2π+4–4．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，利用折叠的性质和勾股定理求出OC长是解题关键．
3．（2023·河南周口·统考二模）如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，作于点，，即可求得弧和以及围成的重叠部分的面积，则重叠部分的面积即可求得．本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关键．
【详解】解：连接，作于点．
，，，，
在直角中，，则，
则弧和以及围成的阴影部分的面积是：，
则．故答案是：．
◇典例12：（2023年江苏省苏州市中考数学真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）
【答案】/
【分析】由，，，，，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，∵，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，，
解得：，，∴；故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．
◆变式训练
1. （2023·吉林白山·统考一模）如图，在半径为5，圆心角为的扇形中，阴影部分的面积；在半径为2的圆中，阴影部分的面积为，则 （结果保留π）．
【答案】
【分析】此题主要考查了扇形面积公式以及阴影部分面积求法，正确转化阴影图形的形状是解题关键．由图形可知等于半径为5，圆心角为的扇形的面积减去半径为2的圆的面积．
【详解】解：，故答案为．
2.（2022·湖南娄底·中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．
【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，在等边三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．
1．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，，的长．故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，
则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，∴，∴，
在中，，∴，
又，∴阴影部分周长的最小值为，故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
3．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，
由题意得：，，，
∴，∴是直角三角形，∴，
∵，∴
，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
【答案】D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵矩形内接于，∴
∴阴影部分的面积是
，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，∴，则，
故正十二边形的面积为，圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
6.（2023年湖北省十堰市中考数学真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵为底面圆的直径，，设半径为r,∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，解得：，∴，
∵半径，∴是等边三角形，
在中，，∴蚂蚁爬行的最短路程为，故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
7．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．
【详解】解：连接、，
六边形为正六边形，，
，为等边三角形，，
，，
的长为．故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
【答案】12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
9．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为．
10．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
【答案】
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，
∵正六边形对边互相平行，且内角为，∴
过点作于，∴
设正六边形的边长为1，则，，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
11．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)(2)是正三角形，理由见解析(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
(1)解：∵正五边形．∴，
∴，
∵，∴(优弧所对圆心角)，
∴；
(2)解：是正三角形，理由如下：连接，
由作图知：,∵，∴，
∴是正三角形，∴，∴，
同理，∴，即，∴是正三角形；
(3)∵是正三角形，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
1．（2023·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．， B．， C．， D．和的值不能确定
【答案】A
【分析】连接，作，垂足为，证明，再利用平行四边形的面积公式和正六边形的性质即可得到阴影部分的面积和的长度．
【详解】解：连接，作，垂足为，
∵多边形是正六边形，∴，
∵，∴和是等边三角形，∵，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握全等三角形判定与性质是解题的关键．
2．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得．
【详解】解：五边形是正五边形，，
切，于点M，N，，
又五边形的内角和为，
，，故选C．
【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
3．（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD=DE，圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，∴，解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
4．（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案．
【详解】扇形的弧长是：=，圆的半径为r，则底面圆的周长是，
∵恰好围成如图所示的圆锥，∴=，∴R=4r，故选：B．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
5．（2023·陕西渭南·统考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
【答案】
【分析】根据中心角公式得到，过作于，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
过作于，则是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023·山东济南·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ．
【答案】/度
【分析】根据题意可得出扇形与扇形有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，∴每个正五边形的中心角为，
∵转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为
∴解得：．故答案为：．
【点睛】此题考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
7．（2023·河南周口·校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据为的中点，扇形的圆心角，得出，求出，证明，根据求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵为的中点，扇形的圆心角，∴，
∵，∴，∴，
根据平移可知，，∴，∴，
∴，∴阴影部分的周长为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
8．（2023·陕西咸阳·校考三模）德国著名数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知是的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点…”．若的长为，则图中的长为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】连接，，，，根据，是等边三角形，则，推出，根据弧长公式：，即可．
【详解】连接，，，，∴，
∴，是等边三角形，∴，∴，
∵，∴的长为：，故答案为：．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是理解题意，得到圆心角，弧长公式：．
9．（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形；
过O作于D，交劣弧于E，易得阴影部分面积与扇形的面积相等，然后根据求出，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过O作于D，交劣弧于E，
由题意可得，阴影部分面积与扇形的面积相等，
∵的半径为2，恰好经过圆心O，∴，，
∴在中，，∴，
∴阴影部分的面积，故答案为：．
10．（2024·山东泰安·一模）如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的底面的半径为，，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，，
根据题意得，整理，得，
则， 即：故答案为：．
11．（2023·湖南湘西·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制作了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】
【分析】设此圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设母线长为l，则，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【答案】/
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得．
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接、，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
所以，解得，则，
又，是等边三角形，
点为的中点，，，在中，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．
1．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作交于，连接，，交于点，与相交于点，设，则，同时可说明为的中位线，得，，分别求出两个三角形的面积，可得答案．
【详解】解：在正六边形中，设，
作交于，连接，，交于点，与相交于点，
，，
：：：，，，为的中位线，
，，，
，：的值为：，故选：D．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，表示出两个三角形的面积是解题的关键．
2．（2023·广西钦州·校考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为2的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【分析】找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出的度数，根据三角形面积公式和扇形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，作、的垂直平分线，两线交于，连接、、，
由图形可知是等腰直角三角形，，，
，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，确定圆心，扇形的面积公式的应用，主要考查学生的计算能力．
3．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ．
【答案】 20
【分析】设 的圆心是 ，作 于 ，连接 ，由正六边形的性质求出 ， 的长， 由直角三角形的性质， 等腰三角形的性质求出 的长，得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程， 即可解决问题；
【详解】解：设 的圆心 是 ，作 于 ，连 接 ，
∵ 是圆弧最高点，∴ 在 上，∵两个多边形是正六边形，
∴ ，
∴，∴ 是等边三角形，
三点共线，
∵四边形 是矩形，∴
∵圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之 比为 ，
∴ 到 的距离是 ，
设 的半径是 ，
∴ 的半径是 故答案为：
【点睛】本题考查正多边形的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是由以上知识点求出正六边形的边长， 的长， 的长得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程
4．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．
【答案】 /
【分析】如图：过O作,连接，运用正多边形的性质说明,,进而得到、，然后代入计算即可；如图：由题意可得,，，运用勾股定理可求得，再运用计算即可．
【详解】解：如图：过O作,连接，
∴，,
∵，∴,,
∴， ∴,,∴，
∵∴，
∴，∴，
∴,∴．
由题意可知：,，，
∴，即，解得：，
∴．故答案为，．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，理解题意、正确计算是解答本题的关键．
5．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
【答案】【问题解决】：；【性质应用】：（1）；（2）
【分析】问题解决：设正五边形的边长是a，面积为S，得到，O为正五边形的中心，连接、、、、，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，过点O作，垂足为Q，中表示出、、后即可表示出与正多边形的半径R的关系式；
性质应用：（1）同【问题探究】的方法，可得答案；（2）总结规律可表示出正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和与半径R和中心角的关系．
【详解】解：【问题解决】设正五边形的边长是，面积为，显然，
为正五边形的中心，连接，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，
过点作，垂足为，
∴，，∴，
∴，，
∴，∴，
∴∴
即：∴
【性质应用】（1）同【问题解决】可得：正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和，故答案为：；
（2）正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和，
.
【点睛】本题考查多边形的综合题，涉及正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是熟知正多边形各元素与外接圆之间的关系．
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