课件28张PPT。第三章 概 率
3.1 随机事件的概率
3．1.1 随机事件及其概率1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念．
2．正确理解事件A出现的频率的意义；正确理解概率的概念，明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系．
3．利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．基础梳理1．必然事件：在条件S下，________的事件，叫相对于条件S的必然事件．
2．不可能事件：在条件S下，一定________的事件，叫相对于条件S的不可能事件．
3．随机事件(事件)：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．
4．确定事件：_______________________统称为相对于条件S的确定事件．一定会发生不会发生必然事件和不可能事件5．频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数 为事件A出现的________；称事件A出现的比例fn(A)＝__________为事件A出现的 频率，且fn(A)范围是__________，对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个__________，称为事件A的概率．频数0≤fn(A)≤1常数记作P(A)常数 概率自测自评1．下列事件：
(1)同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标
(2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
(3)直线y＝2x＋6是定义在R上的增函数
(4)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a、b同号
(5)奥巴马当选美国下届总统．
其中随机事件的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D2．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有一个是次品
C．3个都是次品
D．至少有一个是正品
3．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)(男，男)(女，女)
B．(男，女)(女，男)DCC．(男，男)(男，女)(女，男)(女，女)
D．(男，男)(女，女)
4．一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1,2,3，…，8，从中任取一个球，写出基本事件空间________________________．
5．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次实验．{1,2,3,4,5,6,7,8}500题型一 事件的概念例1 给出下列五个事件：
①某地3月6日下雨；
②函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值小于0；
④a，b∈R，则ab＝ba；
⑤某人射击8次恰有4次中靶．
其中必然事件是______，不可能事件是______，随机事件是________．解析：①是随机事件，某地3月6日可能下雨，也可能不下雨；②是随机事件，函数y＝ax(a＞1且a≠0)在a＞1时为增函数，在0＜a＜1时为减函数，未给出a值之前很难确定给的a值是大于1还是小于1的；③是不可能事件，任意实数a，总有|a|≥0，故|a|＜0不可能发生；④是必然事件，当a，b∈R时，ab＝ba恒成立；⑤是随机事件．
答案：④ ③ ①②⑤点评：在进行事件的判定时，应注意：
(1)条件的不同与变化都将影响事件的发生或其结果，要注意从问题的背景中体会条件的特点．
(2)必然事件具有确定性，它在一定条件下肯定发生，随机事件可作以下解释：在相同的条件下观察试验，每一次的试验结果不一定相同，且无法预测下一次试验结果是什么．跟 踪训 练1．12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中，随机事件有________；必然事件有________；不可能事件有________(填上相应的序号)．
①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品①②④③题型二 认识基本事件空间例2 掷一对不同颜色的均匀骰子，观察向上的点数．
(1)写出这个试验的基本事件空间．
(2)“点数之和不大于7”这一事件，包含哪几个基本事件？
(3)“点数之和等于3的倍数”这一事件包含哪几个基本事件？解析：(1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}；
(2)“点数之和不大于7”这一事件，包含21个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(6,1)；(3)“点数和等于3的倍数”，即点数和为3,6,9,12的情形，共有12个基本事件：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)．
点评：随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一随机事件的结果，必须首先明确事件发生的条件．在写试验结果时，要按照一定的顺序采用列举法写出，注意不能重复也不能遗漏．跟 踪训 练2．甲、乙、丙3人各投一次篮，
(1)列举命中的所有可能情况；
(2)列举恰有两人命中的各种情况；
(3)列举至少两人命中的各种情况．解析：命中记为v，未命中记为x，
(1)所有可能情况如下：
(v，v，v)；(v，v，x)；(v，x，v)；(x，v，v)；(v，x，x)；(x，v，x)；(x，x，v)．(2)恰有两人命中的各种情况如下：
(v，v，x)；(v，x，v)；(x，v，v)．
(3)至少两人命中的各种情况：
(v，v，v)；(v，v，x)；(v，x，v)；(x，v，v)．跟 踪训 练题型三 事件发生的频率与概率例3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：(1)计算表中击中靶心的各个频率．
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？答案：(1)0.80,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91 (2)0.9
点评：1.频率与概率的关系：频率随着试验次数的变化而变化；概率却是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关，概率是频率的科学抽象，当试验次数越来越大时，频率向概率靠近．
2．此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率．跟 踪训 练3．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率．
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？跟 踪训 练题型四 概率的应用例4 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性．解析：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5.
点评：1.事实上，只要能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的．2．利用概率的意义可以判定游戏规则，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的．这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需保证每人获胜的概率相等．跟 踪训 练4．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了．”学了概率后，你能给出解释吗？解析：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率．我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．数学·必修3(人教A版)
3.1 随机事件及其概率
3．1.1 随机事件及其概率
1．下列事件中不是随机事件的是( )
A．某人购买福利彩票中奖
B．从10个杯子(8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品
C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾
D．某人投蓝10次，投中8次
答案：C
2．一个口袋内装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸出一个球，得到白球”这个事件( )
A．是必然事件 B．是随机事件
C．是不可能发生事件 D．不能确定是哪种事件
答案：B
3．从A、B、C三个同学中选出2名代表，则A被选中所包含的基本事件数为________．
答案：2
4．一个盒子中仅有2只白球和3只黑球，从中任取一只球．
(1)“取出的球是白球”是______事件．
(2)“取出的球是黑球”是________事件．
(3)“取出的球是白球或黑球”是______事件．
(4)“取出的球是黄球”是________事件．
答案：(1)随机 (2)随机 (3)必然 (4)不可能
5．指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件．
(1)如果a＜b，那么a－b＜0；
(2)一个骰子连掷三次，三次都是6点；
(3)设a＞1，y＝ax(x∈R)是增函数；
(4)抛一小球下落；
(5)连抛两个骰子，点数之和大于12；
(6)我国东南沿海明年将受到3次台风侵袭；
(7)某人开车经过3个路口都遇到绿灯；
(8)三个小球全部放入两个盒子中，必有一个盒子的球多于另一个；
(9)在常温下，焊锡熔化；
(10)在条件A、B、C∈R且A2＋B2≠0下，直线Ax＋By＋C＝0不经过原点．
解析：当a＜b时，a－b＜0一定成立，则(1)是必然事件；
一个骰子连掷三次，每一次都有可能出现6点，但不一定出现6点，故(2)是随机事件；
当a＞1时，y＝ax一定是增函数，故(3)是必然事件；
抛掷出的小球，受地球引力作用，一定下落，故(4)是必然事件(这里不考虑其他情形)；
每一个骰子出现的最大点数为6，故两颗骰子点数之和不可能大于12.故(5)是不可能事件；
明年我国东南沿海受到台风侵袭次数可能为0次，1次，2次，3次等，故(6)为随机事件；
某人开车经过3个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故(7)为随机事件；
三个小球放入两个盒子中，无论怎样放法，总有一个盒子的球多于一个，故(8)是必然事件；
在常温下，焊锡达不到熔点，不可能熔化，故(9)为不可能事件；
随着C＝0与C≠0的变化，直线Ax＋By＋C＝0可能经过原点，也可能不经过原点，故(10)为随机事件．
6．甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边”(不一定相邻)所包含的基本事件．
解析：(1)从左到右记这三个位置为1,2,3，i＝“坐的座号是i”，则这个试验的基本事件空间是
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号．
(2)这个试验的基本事件总数是6.
(3)事件“甲、乙相邻”包含4个基本事件：
(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)．
事件“甲在乙的左边”包含3个基本事件：
(1,2)，(1,3)，(2,3)．
7．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a＜3且b＞1”呢？
(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a＝b”呢？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k＞－1”这一事件包含哪几个基本事件？
解析：这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(1)“a＋b＝5”包含4个基本事件：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
“a＜3且b＞1”包含6个基本事件：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(2)“ab＝4”这一事件包含3个基本事件：
(1,4)，(2,2)，(4,1)；
“a＝b”这一事件包含4个基本事件：
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－＞－1，
∴a＜b，故包含以下6个基本事件：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
8．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的频率．假设此人射击一次，问中靶的概率约是多少？
解析：∵射击10次，∴n＝10，有9次中靶，∴m＝9.
∴中靶频率为＝0.9，故假设此人射击一次，中靶概率为0.9.
9．如果某种彩票中奖的概率为，那么买1 000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释．
解析：不一定能中奖．买1 000张彩票，相当于1 000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1 000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1 000张彩票有可能没有一张中奖．也可能有一张、两张乃至多张中奖．
10．做投掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．
(1)写出这个试验的所有可能的结果；
(2)求这个试验一共有多少种不同的结果；
(3)写出事件“出现的点数之和大于8”；
(4)写出事件“出现的点数相同”．
解析：(1)这个试验的所有可能的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)；
(2) 由(1)知这个试验的结果有36种；
(3)事件“出现的点数之和大于8”为{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}；
(4)事件“出现的点数相同”为{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}．
1．随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A的概率)，这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，常数越接近于0，事件A发生的可能性就越小．
2．概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
课件27张PPT。第三章 概 率
3.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义正确理解概率的意义，并能利用概率知识正确解释现实生活中的实验问题． 栏目链接 栏目链接基础梳理1．概率的概念：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在__________，把这个____________，称为事件A的__________．
例如：投掷一枚骰子一点向上的概率为______．
2．概率的正确理解：概率是描述随机事件发生的____________，事件A的概率P(A)越大，其发生的________________；概率P(A)越小，事件A发生的________________．某个常数上常数记作P(A)概率可能性大小的度量可能性就越大可能性就越小 栏目链接3．概率的实际应用：知道随机事件的概率的大小，有利我们做出正确的________，还可以判断某些决策或规则的____________．
4．游戏的公平性：应使参与游戏的各方的机会为________，即各方的概率相等，根据这一要求确定游戏规则才是公平的．
5．决策中的概率思想：以使得样本出现的可能性________为决策的准则．
决策正确性与公平性等可能的最大 栏目链接6．天气预报的概率解释：降水的概率是指降水的这个随机事件出现的可能，而不是指某些区域有降水或能不能降水． 栏目链接自测自评1．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的B 栏目链接2．抛掷一个骰子观察点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是( )
A．“出现奇数点” B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” D．“点数是3的倍数”BB 栏目链接C．若18班一组共有12名学生，该组被选进班委会的人数一定是2
D．以上说法都不正确
4．先后抛掷两枚均匀的一分、贰分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上A 栏目链接D．硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
5．在一次考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的80%是________(填“概率”或“频率”)．
频率 栏目链接 栏目链接题型一 对随机试验的理解例1 下列随机事件中，一次试验是指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从北京开往广州的8列列车，全部正点到达；
(2)抛20次质地均匀的硬币，硬币落地时有11次正面向上；
(3)某人射击10次，恰有8次中靶；
(4)某人购买彩票10注，其中有2注中三等奖，其余8注没中奖． 栏目链接解析：(1)一列列车开出就是一次试验；共做了8次试验；
(2)抛一次硬币就是一次试验，共做了20次试验；
(3)射击一次就是一次试验，共做了10次试验；
(4)购买一注彩票就是一次试验，共做了10次试验；
点评：所谓一次试验就是将事件的条件实现一次． 栏目链接跟 踪训 练1．有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”；
(3)事件“出现点数相等”． 栏目链接解析：(1)这个试验的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出现点数之和大于3”包含13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出现点数相等”包含4个基本事件：
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． 栏目链接题型二 随机试验的结果与随机事件的概率 栏目链接点评：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识． 栏目链接跟 踪训 练C 栏目链接题型三 对概率的理解例3 在生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情，例如5张票中有1张奖票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽(后抽人不知道先抽人抽出的结果)对各人来说公平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率相等吗？解析：不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置1,2,3,4,5上．对于这张奖票来说，由于是随机排列的，因此它的位置有五种可能，故它排在任一位置上的概率都是1/5.5个人按排定的顺序去抽， 栏目链接比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为1/5.因此，不管排在第几位上去抽，在不知前面的人抽出结果的前提下，得到奖票的概率都是1/5.因此，先抽后抽对各人来说都是公平的．
点评：概率的本质属性是：从数量上反映出一个事件发生的可能性的大小，它的范围是[0,1]，即任何一个事件A的概率都满足0≤P(A)≤1.
栏目链接跟 踪训 练3．已知使用一剂某种药物治疗某种疾病治愈的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物则有90人会治愈
B．如果一个这样的病人服用两剂这样的药物就一定会治愈
C．说明一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对C 栏目链接题型四 概率的简单应用例4 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据估计水库内鱼的尾数． 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练4．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)求这种鱼卵的孵化概率(孵化率)．
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵(精确到百位)? 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练数学·必修3(人教A版)
3.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义
1．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )
A．三个都是正品
B．三个都是次品
C．三个中至少有一个是正品
D．三个中至少有一个是次品
答案：C
2．概率是1‰说明了( )
A．概率太小不可能发生
B．1 000次中一定发生1次
C．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1 000次中有可能发生1次
答案：D
3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系中的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件个数及其概率分别为( )
A．10和0.1 B．9和0.09
C．9和0.1 D．10和0.09
答案：C
4．掷一颗骰子100次，“向上的点数是2”的情况出现了19次，则在一次试验中，向上的点数是2的频率是________．
答案：0.19
5．一个口袋内装有已有编号的大小相同的1个白球和2个黑球，从中任意摸出2球，摸出的2球全是黑球的概率是______．
答案：
6．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球从哪一个箱子中取出？
解析：作出判断的依据是样本发生的可能性最大．
甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱抽出的概率大得多．由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．
7．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)列举小组成员组成情况[如A1，B1，C1被选中记为(A1，B1，C1)]；
(2)列举A1被选中的情况；
(3)列举B1和C1全被选中的情况．
解析：(1)小组成员组成情况分别为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．
(2)A1被选中的情况分别为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．
(3)B1和C1全被选中的情况分别为：(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)．
8.
在学校开展的综合实践活动中， 某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组统计，绘制了频率分布直方图(如图)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1, 第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，这两组哪组获奖率最高？
解析：(1)依题意知第三组的频率为：
＝，又因为第三组的频数为12，故本次活动的参评作品数为＝60(件)．
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有：60×＝18(件)．
(3)第四组的获奖率是＝，第六组上交的作品数量为60×＝3(件)，则第六组的获奖率为＝，显然第六组的获奖率较高．
9．1个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，从中任取两球，取后不放回．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)“取出两球上的数字之和是6”所包含的基本事件．
解析：(1)记i＝{取出的球的标号为i}，则这个试验的基本事件空间
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)}．
(2)基本事件的总数是6.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”包含1个基本事件：(1,5)．
10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解析：设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝，①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝，②
由①②两式，得＝，解得n＝1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只能认为事件发生的可能性大．
2．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴．
3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
课件34张PPT。第三章 概 率
3.1 随机事件的概率
3.1.3 概率的基本性质 栏目链接1．正确理解事件的包含、并(和)、交(积)、相等，及互斥事件和对立事件的概念．
2．掌握概率的几个基本性质．
3．正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系． 栏目链接基础梳理1．事件的包含关系．
如果事件A发生，则事件B_______________.则称事件B_______________事件A.
例如：事件A＝{投掷一个骰子投得向上点数为2}，B＝{投掷一个骰子投得向上点数为偶数}，则____________，记作：______.
2．相等事件．
若______且______，那么事件A与事件B相等．一定发生包含事件B包含事件AA?BA?BB?A3．并(和)事件．
若某事件发生当且仅当_____________________，则称此事件为事件A与B的并事件(或称和事件)，记作：A∪B.
4．交(积)事件．
若某事件发生当且仅当__________________，则称此事件为事件A与B的交事件(或称积事件)，记作：A∩B.
5．互斥事件．
若A∩B为__________，即A∩B＝______，那么称事件A与事件B________.事件A发生或事件B发生事件A发生且事件B发生不可能事件 ?互斥6．对立事件．
________________________________________________________________________对立事件．
例如：某同学在高考中数学考了150分，与这同学在高考中数学考得130分，这两个事件是________．
7．互斥事件概率加法公式．
当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为互斥事件P(A)＋P(B)＝11－P(B)自测自评2．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )BCA．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案都不对
3．给出以下结论：
①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个C4．设A，B为两个事件，且P(A)＝0.3，则当________________________________________________________________________
时，一定有P(B)＝0.7( )
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．A?B D．A不包含BB 栏目链接题型一 理解和判断互斥事件例1 判断下列每对事件是否为互斥事件．
(1)将一枚硬币抛两次，事件A：两次出现正面，事件B：只有一次出现正面．
(2)某人射击一次，事件A：中靶，事件B：射中9环．
(3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B：射中环数小于5.解析：(1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生，则A，B互斥．
(2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中九环一定中靶，即B发生则A一定发生，则A，B不互斥．
(3)A，B互斥．
点评：互斥事件是概率知识中的重要概念，必须正确理解．(1)互斥事件是对两个事件而言的．若有A，B两个事件，当事件A发生时，事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生(即事件A，B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，否则就不是互斥事件．
(2)对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识．如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．如果事件A1，A2，A3，…，An中的任何两个都是互斥事件，即称事件A1，A2，…，An彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．跟 踪训 练1．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；
(4)B与C；
(5)C与E.解析：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件，由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．跟 踪训 练(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．跟 踪训 练题型二 理解和判断对立事件例2 抛掷一个骰子，用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件．
(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；
(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”．解析：对立事件的含义是：两个事件在一次试验中有且仅有一个发生，类比集合．可用文氏图揭示事件之间的关系．根据题意作出文氏图．(1)从图①中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．
(2)从文氏图②中可以看到：“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”各自所含结果组成的集合互为补集．它们构成对立事件．点评：求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”．跟 踪训 练2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少1名男生与全是男生；
(3)至少1名男生与全是女生；
(4)至少1名男生与至少1名女生．解析：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：2男或2女或1男1女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；
当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件；跟 踪训 练(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；
由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件．跟 踪训 练题型三 事件的运算跟 踪训 练3．某校组织一个夏令营，在高一(1)班抽一部分学生参加，记事件A为抽到高一(1)班的运动员，事件B为抽到高一(1)班数学竞赛小组成员，事件C为抽到高一(1)班英语竞赛小组成员．说明下列式子所表示的事件：
(1)A∪B；
(2)A∩C；
(3)A∪(B∩C)解析： (1)抽到的是高一(1)班的运动员，或是数学竞赛小组成员；
(2)抽到的既是高一(1)班的运动员，又是英语竞赛小组的成员；
(3)抽到的既是高一(1)班的数学竞赛小组又是英语竞赛小组的成员，或者是高一(1)班的运动员．跟 踪训 练题型四 互斥事件的概率例4 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．解析：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
故射中10环或7环的概率为0.49.点评：(1)必须分析清楚事件A，B互斥的原因，只有互斥事件才可考虑用概率加法公式．
(2)所求的事件，必须是几个互斥事件的和．
(3)满足上述两点才可用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．跟 踪训 练4．某战士射击一次，未中靶概率为0.05，中靶环数大于6的概率为0.7，求事件A＝“中靶环数大于0小于等于6”的概率．解析：“未中靶”与“中靶环数大于6”是互斥事件，“未中靶或中靶环数大于6”的对立事件是“中靶环数大于0小于等于6”，即A.
则P(A)＝1－(0.05＋0.7)＝0.25.数学·必修3(人教A版)
3.1 随机事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1．从1～9这9个数字任意取两个数，分别有下列事件．
①恰有一个奇数和恰有一个偶数；
②至少有一个奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
以上事件中是互斥事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
答案：C
2．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
答案：C
3．设a∈，b∈，则a>b的概率为________________________________________________________________________．
答案：
4．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为________________________________________________________________________，
甲不输的概率为________．
答案：20% 80%
5．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品和三级品的概率分别是__________，__________.
答案：0.77 0.02
6．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
年降水量/mm
[0,50)
[50,100)
[100,150)
概率P
0.14
0.30
0.32
则年降水量在[50,150)(mm)范围的概率为________，年降水量不低于150 mm的概率是________________________________________________________________________．
答案：0.62 0.24
7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件列举两张标签上的数字情况及两个数字是相邻整数的情况．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解析：(1)选取是无放回的两张标签上的数字情况如下：
1
2
3
4
5
1
空
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
空
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
空
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
空
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
空
两个数字是相邻整数的情况有：
(1,2)；(2,1)；(2,3)；(3,2)；(3,4)；(4,3)；(5,4)；(4,5)．
(2)选取是有放回的两张标签上的数字情况如下：
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
两个数字是相邻整数的情况有：
(1,2)；(2,1)；(2,3)；(3,2)；(3,4)；(4,3)；(5,4)；(4,5)．
8．一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球．求：
(1)取出球的颜色是红或黑的概率；
(2)取出球的颜色是红或黑或白的概率．
解析：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取一球有12种取法．
故任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法 ，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P2＝＝.
9．某购物广场拟在五一节举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解析：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，
设“三等奖”事件为A，“中奖”的事件为B，
从四个小球任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)6种不同的方法．
(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：
(0,3)，(1,2)，故P(A)＝＝.
(2)两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)，两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：(0,2)，故P(B)＝1－＝.
1．要注意互斥事件与对立事件的区别与联系：
互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件B发生且事件A不发生．对立事件是互斥事件的特殊情形．
2．关于概率的加法公式：
(1)使用条件：A，B互斥．
(2)推广：若事件Al，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件化整为零，化难为易．
