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分课时教学设计
第一课时《 6.3.1实数》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯，而且它又是以后学习二次根式、一元二次方程的基础，需要老师在教学中精心构思，认真落实。
学习者分析 学生在七年级上学期学习了有理数，知道什么叫做有理数，有理数与数轴的关系，对整数和分数他们可结合实际好理解，但学生对为什么要取名叫“有理数”感到好奇。抽象理解，数形结合，类（对）比推理等等对学生来说都是很困难的，但这些都是需要培养的，发展的，提高的，实实在在的东西。无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，从小学到初一上期以及现实生活中接触的数都是有理数，学生对无理数几乎没有任何感性认识，因此认识无理数就成了学习中的一个难点，通过对比有理数，提示有理数与无理数的联系与区别，体会无理数存在的必然。
教学目标 1.了解无理数和实数的概念。 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想。
教学重点 了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点的一一对应关系。
教学难点 理解实数的概念
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 提问： 什么是有理数？有理数怎样分类？ 按定义分： 按符号分： 属于哪一类呢？学生活动1： 了解不同的时代背景下出现的数。（自然数→分数→有理数→？）活动意图说明： 创设情境，感受数的扩充过程，感受数的产生是实际生活的需要，激发学习的欲望。感受无理数的存在。环节二：新知讲解教师活动2： 实数的概念及分类 探究：我们知道有理数包括整数和分数，请把把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即： 事实上，如果把整数看成小数点后是 0 的小数（例如，将3看成3.0），那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？ 不是。如：=1.41421356… π=3.1415926535897932384626… 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。 无限不循环小数又叫做无理数。例如、-、、等都是无理数。 π是无理数吗？1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）是无理数吗？ 它们也都是无限不循环小数，是无理数。 常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0) 仿照有理数的分类吗？你能给实数分类吗？ 有理数和无理数统称为实数 按定义分： 按性质分： 学生活动2： 学生根据以往经验答题 学生归纳总结：事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 独立思考 合作交流 类比有理数的分类学习实数的分类 1、学生讨论分类 2、一名或几名学生尝试分类，判断是否按同一标准分类。 - 活动意图说明： 学生经历数的扩充过程，感受无理数的存在，巩固对无理数的理解，为引出实数作准备。培养学生观察能力，类比有理数完成数系的第二次扩充，引出无理数的概念。环节三：新知讲解教师活动3： 实数与数轴上的点 探究：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是多少？ 从图中可以看出，OO'的长是这个圆的周长式，所以点O’对应的数是π,这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来。 又如，以单位长度为边长画一个正方形，如图，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 .(为什么 ) 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。 当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。 实数的大小比较 探究：与有理数一样，实数也可以比较大小： 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 与有理数一样，在实数范围内： 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小。学生活动3： 1、学生画数轴，并讨论如何在数轴上找到表示的点。 2、学生说说想法。 3、学生观察动画演示，感受数轴可以表示的点。 活动意图说明： 培养学生动手能力，让学生动手参与数的建构过程，感受数轴不仅可以表示有理数与可以表示无理数。体会数轴上的点与实数是一一对应的。培养学生数形结合思想。环节四：典例分析教师活动4： 例1：请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来： 学生活动4： 学生独立思考解决问题活动意图说明： 体会实数与数抽上的点之间的一一对应关系．将数与图形联系起来，体会数形结合的思想。
板书设计 6.3.1实数
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.实数0是( A ) A.有理数 B.无理数 C.正数 D.负数 2.下列说法正确的是( D ) A.正实数和负实数统称实数 B.正数、零和负数统称有理数 C.带根号的数和分数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 选做题： 3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是？ 解： 本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系． ∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=， ∴A表示数为 【综合拓展类作业】 4.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.7，则A，B两点之间表示整数的点共有几个？ 解：∵≈1.732，∴和5.7之间的整数有2，3，4，5， ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个。 方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在下列实数中：，3.14，0，，π，，0.1010010001…，无理数的个数有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列说法中正确的是（ A ） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、-是5的平方根的相反数 选做题： 3.将-2，，0，，-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数。 解：-2对应点B，对应点D，0对应点C，对应点E，-π对应点A. 由图可知-π<-2<0<< 【综合拓展类作业】 4.如图,数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c,已知b是最小的正整数,且a,c满足(c-6) +|a+2|=0. (1)求式子a +c -2ac 的值; (2)若将数轴折叠,使得点A与点B重合,求与点C重合的点表示的数; (3)请在数轴上确定一点D,使得AD=2BD,求点D表示的数. 解：(1)因为(c-6) +|a+2|=0， 所以a+2=0，c-6=0，解得a=-2，c=6， 所以a +c -2ac=4+36+24=64. (2)因为b是最小的正整数，所以b=1.因为(-2+1)÷2=-0.5， 所以6-(-0.5)=6.5，-0.5-6.5=-7，所以与点C重合的点表示的数是-7. (3)设点D表示的数为x.分以下三种情况讨论: 若点D在点A的左侧，则-2-x=2(1-x)，解得x=4(舍去); 若点D在A,B之间，则x-(-2)=2(1-x)，解得x=0; 若点D在点B的右侧，则x-(-2)=2(x-1)，解得x=4. 综上所述,点D表示的数是0或4.
教学反思 本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念．本节课要注意的地方有两个：一是所有的分数都是有理数。二是含有π的数不是分数，而是无理数。
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第六单元
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 本章内容属于“数与代数”领域有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识.本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容.这样的方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。揭示出无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。
学情分析 这一阶段学生的观察力、想象力迅速提高，充满了好奇心和求知欲，但运用数学意识的思想比较薄弱。因此对的探索是本课的关键，不仅得到实数的概念，还有利于培养解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；2.会用计算器求算术平方根；3.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。会平方根的表示法和求非负数的平方根；4.认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想。（二）教学重点、难点教学重点：算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念；理解平方根、立方根、无理数、实数的概念，会一个数的算术平方根、平方根、立方根的符号表示。教学难点：会用有理数估计无理数的大小。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数6.1平方根36.2立方根16.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1平方根理解算术平方根、平方根的概念以及符号表示；会用计算器计算算术平方根、平方根；理解乘方和开方的互逆关系；4.会数值大小比较。学生通过理解相关概念，掌握算术平方根、平方根的性质，通过相关性质的掌握能综合运用于练习和实际问题。且能够运用有理数比较无理数的取值范围。任务1：学生能利用算术平方根、平方根的性质综合题，解决实际生活中的相关问题任务2：（1）能将计算器计算算术平方根、平方根应用到实际问题中；（2）学生会利用计算器或者数轴比较大小任务3：学生能够利用数轴与实数一一对应的关系解决问题6.2平方根1.理解立方根的概念及符号表示2.理解立方与开立方互为逆运算3.掌握立方根的性质4.掌握平方根与立方根的区别与联系学生通过理解相关概念及符号表示以及立方根的性质进行简单运算，且会用类比的方法比较大小任务1：学生能利用立方根的概念和性质解决教材相关问题任务2：会区分立方根与平方根 6.3实数1.掌握无理数与实数的概念2.知道实数与数轴上的点一一对应。3.会求实数的相反数和绝对值4.会对实数进行简单的运算学生通过理解实数的概念以及运算规律可进行简单计算；学生可利用实数与数轴一一对应的关机比较大小任务1：学生可利用实数的概念、分类、运算法则求相反数、绝对值，并且能很好的完成教材的联系，并能学以致用解决实际问题任务2：学生可以结合先前所学相关知识解决综合问题
《第六章》单元教学设计
任务1：通过例子引出算术平方根的概念及表示
6.1.1算术平方根
任务2：例题探究算术平方根的性质
任务3：例题解析
任务1：探究正方形问题引出算术平方根的估算及大小比较
6.1.2用计算器求算术平方根及大小比较
任务2：通过动手操作掌握用计算器求正有理数的算术平方根
任务3：例题解析
任务1：通过例子引出平方根的概念及表示
任务2：例题探究平方根的性质
任务3：探究算术平方根与平方根的区别与联系
6.1.3平方根
实数
任务4：例题解析
任务1：通过例子引出立方根的概念及表示
任务2：例题探究立方根的性质
任务3：探究平方根与立方根的区别与联系
6.2立方根
任务4：探究用计算器求立方根
任务5：例题解析
任务1通过例子引出实数的概念及分类
任务2：通过例题，动手操作探究实数与数轴上的点
6.3.1实数
任务3：进行实数大小的比较
任务4：例题解析
任务1：通过做例题掌握实数的相关概念。如相反数、绝对值
6.3.2实数
任务2：探究实数的运算及近似计算
任务3：例题解析
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6.3.1实数
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯，而且它又是以后学习二次根式、一元二次方程的基础，需要老师在教学中精心构思，认真落实。
教学目标
1.了解无理数和实数的概念。
2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想。
新知导入
【提问】 什么是有理数？有理数怎样分类？
按定义分
按符号分
属于哪一类呢？
新知讲解
一、实数的概念及分类
我们知道有理数包括整数和分数，请把把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？
【探究】
我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即：
新知讲解
一、实数的概念及分类
事实上，如果把整数看成小数点后是 0 的小数（例如，将3看成3.0），那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
【探究】
所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？
不是。如：
1.41421356…
π=3.1415926535897932384626…
新知讲解
一、实数的概念及分类
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。
无限不循环小数又叫做无理数。例如-等都是无理数。
π是无理数吗？1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）是无理数吗？
它们也都是无限不循环小数，是无理数。
常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)含开不尽方的数；
(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0)
新知讲解
一、实数的概念及分类
仿照有理数的分类吗？你能给实数分类吗？
有理数和无理数统称为实数
（1）按定义分
实数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
无限不循环小数
有限小数或者无限循环小数
新知讲解
一、实数的概念及分类
（2）按性质分
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
0
负有理数
负无理数
新知讲解
二、实数与数轴上的点
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是多少？
【探究】
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
从图中可以看出，OO'的长是这个圆的周长式，所以点O’对应的数是π,这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来。
新知讲解
又如，以单位长度为边长画一个正方形，如图，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.(为什么 )
【探究】
－2
－1
0
1
2
-
二、实数与数轴上的点
新知讲解
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
【探究】
二、实数与数轴上的点
新知讲解
三、实数的大小比较
【探究】
与有理数一样，实数也可以比较大小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
与有理数一样，在实数范围内：
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小。
典例分析
例1：
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
4
-2
0
-1.5
π
3
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.实数0是( )
A.有理数 B.无理数 C.正数 D.负数
A
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.下列说法正确的是( )
A.正实数和负实数统称实数
B.正数、零和负数统称有理数
C.带根号的数和分数统称实数
D.无理数和有理数统称实数
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是？
解： 本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．
∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，
∴A表示数为
课堂练习
【综合实践类作业】
4. 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.7，则A，B两点之间表示整数的点共有几个？
解：∵≈1.732，∴和5.7之间的整数有2，3，4，5，
∴A，B两点之间表示整数的点共有4个。
方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大
课堂总结
6.3.1实数
1.实数的概念及分类
2.实数与数轴上的点
3.实数的大小比较
板书设计
6.3.1实数
实数
实数的概念及分类
实数与数轴上的点
实数的大小比较
作业布置
【知识技能类作业】
1.在下列实数中：，3.14，0，，π，，0.1010010001…，无理数的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
作业布置
【知识技能类作业】
2.下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、=±1
D、-是5的平方根的相反数
A
作业布置
【知识技能类作业】
3. 将-2，，0，，-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数。
解：-2对应点B，对应点D，0对应点C，对应点E，-π对应点A.
由图可知-π<-2<0<<.
作业布置
【综合实践类作业】
4. 如图,数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c,已知b是最小的正整数,且a,c满足(c-6)2+|a+2|=0.
(1)求式子a2+c2-2ac 的值;
(2)若将数轴折叠,使得点A与点B重合,求与点C重合的点表示的数;
(3)请在数轴上确定一点D,使得AD=2BD,求点D表示的数.
解：(1)因为(c-6)2+|a+2|=0，
所以a+2=0，c-6=0，解得a=-2，c=6，
所以a2+c2-2ac=4+36+24=64.
作业布置
【综合实践类作业】
(2)因为b是最小的正整数，所以b=1.因为(-2+1)÷2=-0.5，
所以6-(-0.5)=6.5，-0.5-6.5=-7，所以与点C重合的点表示的数是-7.
(3)设点D表示的数为x.分以下三种情况讨论:
若点D在点A的左侧，则-2-x=2(1-x)，解得x=4(舍去);
若点D在A,B之间，则x-(-2)=2(1-x)，解得x=0;
若点D在点B的右侧，则x-(-2)=2(x-1)，解得x=4.
综上所述,点D表示的数是0或4.
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