(共25张PPT)
6.1.3平方根
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
本课时主要介绍平方根的概念和性质，本课时既是前方学习算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础。同时本节课也为更好理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法。
教学目标
1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；
新知导入
【提问】 什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
x叫做a的算术平方根，记作：x=.
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
算术平方根是它本身的数只有0和1.
负数没有算术平方根
新知讲解
一、平方根的概念
如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
【提问】
从前面我们知道，这个数可以是 3。
除了 3 以外，还有没有别的数的平方也等于 9 呢？
由于 ，这个数也可以是 -3。
因此，如果一个数的平方是9，那么这个数是 3 或 -3。
新知讲解
填表：
一、平方根的概念
x 1 16 36
x
1或-1
4或-4
6或-6
或-
思考：分析表格是否能得到平方根的概念？
7或-7
新知讲解
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
例如，3 和 -3 是 9 的平方根，简记为 ±3 是 9 的平方根
一、平方根的概念
注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方
新知讲解
平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。
一、平方根的概念
我们看到。±3的平方等于9，9的平方根是±3。
平方
开平方
如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数
新知讲解
解：（1）因为 =100 ，所以100的平方根是10
（2）因为 = ，所以的平方根是
（3）因为 =0.25 ，所以0.25的平方根是0.5
一、平方根的概念
例1 求下列各数的平方根：
(1) 100 (2) (3) 0.25
新知讲解
1.正数的平方根有什么特点？
2.0的平方根是多少？
3.负数有平方根吗
正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根。
二、平方根的性质
【探究】
0的平方根是0
负数没有平方根
新知讲解
平方根与算术平方根的联系与区别：
三、平方根与算术平方根的联系与区别
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。
2.只有非负数才有平方根和算术平方根。
3.0的平方根是0，算术平方根也是0。
区别
1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。
联系
2.表示法不同:平方根表示为±,而算术平方根表示为
典例分析
例2：
求下列各式的值：
(1) (2) - (3) ±
解：(1)因为62=36，所以 =6
(2)因为0.92=0.81，所以- =-0.9
(3)因为() =，所以± =±
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如果x =a,那么下列说法错误的是( )
A. 若x确定,则a的值是唯一的
B. 若a确定,则x的值是唯一的
C. a是x的平方
D. x是a的平方根
B
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.下列说法正确的有( )
①-2是-4的一个平方根;
②a 的平方根是a;
③2是4的平方根;
④4的平方根是-2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3. 已知(2x+1) -121=0,求x的值.。
解：由(2x+1) -121=0,得(2x+1) =121,
所以2x+1=±11.
所以2x+1=11或2x+1=-11,
解得x=5或x=-6
课堂练习
【综合实践类作业】
4. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数。
因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解。
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1) ＝(2＋1) ＝9。
方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零。
课堂总结
平方根
1.平方根的概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
2.平方根的性质
3.平方根与算术平方根的联系与区别
板书设计
6.1.3平方根
平方根
平方根的概念
平方根的性质
平方根与算术平方根的联系与区别
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列说法正确的是( )
A.任何数的平方根都有两个
B.一个正数的平方根的平方就是这个数
C.负数也有平方根
D.非负数的平方根都有两个
B
2.若2x+1的平方根是±5，则5x+4的算术平方根是_____.
8
作业布置
【知识技能类作业】
3. 一个数的算术平方根为2a-6，平方根为±(a-1)，求a的值与这个数
解：分两种情况：
①当2a-6=a-1时，可得a=5，此时2a-6=4，42=16；
②当2a-6=-(a-1)时，可得a=，此时2a-6= -，不符合题意，此种情况不存在。
所以a的值为5，这个数为16。
作业布置
【综合实践类作业】
4. 阅读材料:学习了估算后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.
小明的方法:
因为<<,设=3+k(0
所以() =(3+k) ,
所以13=9+6k+k ,
所以13≈9+6k,解得k≈,
所以≈3+≈3.67.
(上述方法中使用了完全平方公式:(a+b) =a +2ab+b ,下面可参考使用)问题:
作业布置
【综合实践类作业】
4. (1)请你依照小明的方法,估算≈ (结果保留两位小数)
(2)请结合上述具体实例,概括出估算的公式:已知非负整数a,b,m,若a<6.08
a+
解：（1）因为＜＜，设=6+k（0＜k＜1），
所以（） =（6+k） ，所以37=36+12k+k ，所以37≈36+12k，解得k≈，所以≈6+≈6.08
（2）利用(1)所求得出一般规律：若a＜，且m=a +b，则≈a+
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《 6.1.3平方根》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时主要介绍平方根的概念和性质，本课时既是前方学习算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础。同时本节课也为更好理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法。
学习者分析 七年级学生已经掌握了一些完全平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识，在这个基础上，学生能够顺利的完成本节课的学习。
教学目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系
教学重点 平方根的概念及应用
教学难点 平方根与算术平方根的联系与区别，会求非负数的平方根
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 提问：什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. 算术平方根是它本身的数只有0和1. 负数没有算术平方根学生活动1： 学生以前两节课所学知识为经验思考问题活动意图说明： 学生通过回顾所学知识，既能巩固以前知识，又能提前本节课知识做好架构，使新旧知识融为一体。环节二：新知讲解教师活动2： 平方根的概念 提问：如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？ 从前面我们知道，这个数可以是 3。 除了 3 以外，还有没有别的数的平方也等于 9 呢？ 由于 ( 3） =9 ，这个数也可以是 -3。 因此，如果一个数的平方是9，那么这个数是 3 或 -3。 填表： 思考：分析表格是否能得到平方根的概念？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x =a，那么x叫做a的平方根. 例如，3 和 -3 是 9 的平方根，简记为 ±3 是 9 的平方根 注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方 我们看到。±3的平方等于9，9的平方根是±3。 平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。 如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数 例1 求下列各数的平方根： (1) 100 (2) 9/16 (3) 0.25 解：（1）因为 (±10)2 =100 ，所以100的平方根是±10 （2）因为 (±)2 = ，所以的平方根是± （3）因为 (±0.5)2 =0.25 ，所以0.25的平方根是±0.5 学生活动2： 学生根据以往经验可以答出 ( 3） =9 学生独立思考之后，通过计算进行作答 并组织学生讨论平方根的概念，教师巡视，并选小组代表发言，其他小组补充 教师引导，师生共同归纳平方与开平方互为逆运算 活动意图说明： 为学生提供充分从事数学活动的时间、空间，让学生在自主探索、合作交流的氛围中，有机会分享同学的想法，培养了学生之间良好的人际关系。环节三：新知讲解教师活动3： 平方根的性质 1.正数的平方根有什么特点？ 正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根。 2.0的平方根是多少？ 0的平方根是0 3.负数有平方根吗 负数没有平方根 探究：我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？ 正数a的算术平方根可以表示为 ， 正数a的负的平方根，可以表示为 - . 故正数a的平方根可以用 ±表示， 读作“正、负根号a”． 例如，±= ±3，± = ±5. 平方根与算术平方根的联系与区别 联系： 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。 2.只有非负数才有平方根和算术平方根。 3.0的平方根是0，算术平方根也是0。 区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。 2.表示法不同:平方根表示为±,而算术平方根表示为。学生活动3： 学生仍以小组为单位总结性质 教师巡视并进行引导，由学生发言总结后，教师进行补充。 学生独立思考，分析并写出前后所学算术平方根与平方根的联系与区别 同桌之间相互讨论所写出的联系与区别 教师总结活动意图说明： 学生开展合作探究，提高学生口头语言表达能力和总结归纳能力。让学生分工合作，充分发挥不同学生的优点，逐步培养学生的团结合作精神和协作意识，激发他们学习数学的兴趣。环节四：典例分析教师活动4： 例2： 求下列各式的值： (1) (2) - (3) ± 解：(1)因为6 =36，所以 =6 (2)因为0.9 =0.81，所以- =-0.9 (3)因为() =，所以±=± 学生活动4： 学生根据平方根的概念计算 教师巡视并指导活动意图说明： 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
板书设计 6.1.3平方根
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果x =a,那么下列说法错误的是(B ) A. 若x确定,则a的值是唯一的 B. 若a确定,则x的值是唯一的 C. a是x的平方 D. x是a的平方根 2.下列说法正确的有( A ) ①-2是-4的一个平方根; ②a 的平方根是a; ③2是4的平方根; ④4的平方根是-2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 选做题： 已知(2x+1) -121=0,求x的值.。 解：由(2x+1) -121=0,得(2x+1) =121, 所以2x+1=±11. 所以2x+1=11或2x+1=-11, 解得x=5或x=-6 【综合拓展类作业】 4.一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数。 因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解。 解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1) ＝(2＋1) ＝9。 方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是( B ) A.任何数的平方根都有两个 B.一个正数的平方根的平方就是这个数 C.负数也有平方根 D.非负数的平方根都有两个 2.若2x+1的平方根是±5，则5x+4的算术平方根是8 选做题： 3.一个数的算术平方根为2a-6，平方根为±(a-1)，求a的值与这个数 解：分两种情况： ①当2a-6=a-1时，可得a=5，此时2a-6=4，4 =16； ②当2a-6=-(a-1)时，可得a=，此时2a-6= - ，不符合题意，此种情况不存在。 所以a的值为5，这个数为16。 【综合拓展类作业】 4.阅读材料:学习了估算后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值. 小明的方法: 因为<<,设=3+k(0教学反思 本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式x =a和已有算术平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了．有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法．
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第六单元
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 本章内容属于“数与代数”领域有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识.本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容.这样的方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。揭示出无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。
学情分析 这一阶段学生的观察力、想象力迅速提高，充满了好奇心和求知欲，但运用数学意识的思想比较薄弱。因此对的探索是本课的关键，不仅得到实数的概念，还有利于培养解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；2.会用计算器求算术平方根；3.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。会平方根的表示法和求非负数的平方根；4.认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想。（二）教学重点、难点教学重点：算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念；理解平方根、立方根、无理数、实数的概念，会一个数的算术平方根、平方根、立方根的符号表示。教学难点：会用有理数估计无理数的大小。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数6.1平方根36.2立方根16.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1平方根理解算术平方根、平方根的概念以及符号表示；会用计算器计算算术平方根、平方根；理解乘方和开方的互逆关系；4.会数值大小比较。学生通过理解相关概念，掌握算术平方根、平方根的性质，通过相关性质的掌握能综合运用于练习和实际问题。且能够运用有理数比较无理数的取值范围。任务1：学生能利用算术平方根、平方根的性质综合题，解决实际生活中的相关问题任务2：（1）能将计算器计算算术平方根、平方根应用到实际问题中；（2）学生会利用计算器或者数轴比较大小任务3：学生能够利用数轴与实数一一对应的关系解决问题6.2平方根1.理解立方根的概念及符号表示2.理解立方与开立方互为逆运算3.掌握立方根的性质4.掌握平方根与立方根的区别与联系学生通过理解相关概念及符号表示以及立方根的性质进行简单运算，且会用类比的方法比较大小任务1：学生能利用立方根的概念和性质解决教材相关问题任务2：会区分立方根与平方根 6.3实数1.掌握无理数与实数的概念2.知道实数与数轴上的点一一对应。3.会求实数的相反数和绝对值4.会对实数进行简单的运算学生通过理解实数的概念以及运算规律可进行简单计算；学生可利用实数与数轴一一对应的关机比较大小任务1：学生可利用实数的概念、分类、运算法则求相反数、绝对值，并且能很好的完成教材的联系，并能学以致用解决实际问题任务2：学生可以结合先前所学相关知识解决综合问题
《第六章》单元教学设计
任务1：通过例子引出算术平方根的概念及表示
6.1.1算术平方根
任务2：例题探究算术平方根的性质
任务3：例题解析
任务1：探究正方形问题引出算术平方根的估算及大小比较
6.1.2用计算器求算术平方根及大小比较
任务2：通过动手操作掌握用计算器求正有理数的算术平方根
任务3：例题解析
任务1：通过例子引出平方根的概念及表示
任务2：例题探究平方根的性质
任务3：探究算术平方根与平方根的区别与联系
6.1.3平方根
实数
任务4：例题解析
任务1：通过例子引出立方根的概念及表示
任务2：例题探究立方根的性质
任务3：探究平方根与立方根的区别与联系
6.2立方根
任务4：探究用计算器求立方根
任务5：例题解析
任务1通过例子引出实数的概念及分类
任务2：通过例题，动手操作探究实数与数轴上的点
6.3.1实数
任务3：进行实数大小的比较
任务4：例题解析
任务1：通过做例题掌握实数的相关概念。如相反数、绝对值
6.3.2实数
任务2：探究实数的运算及近似计算
任务3：例题解析
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