(共29张PPT)
6.2立方根
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
本节是在学生了解了算术平方根、平方根的概念和求法之后，对方根的进一步研究.学习立方根的意义在于：（1）它有着广泛应用，因为空间形体都是三维的，有关体积的计算经常涉及开立方.（2）立方根是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一样，立方根对进一步研究奇次方根的性质具有典型代表意义
教学目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2.会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．
3.了解立方根的性质．
4.区分立方根与平方根的不同．
新知导入
【提问】 要制作一种容积为27m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
新知讲解
一、立方根的概念
解：设这种包装箱的棱长为x m，则
= 27.
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
因为= 27，所以x = 3.
因此这种包装箱的棱长为3 m.
新知讲解
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果=a,那么x叫做a的立方根。
一、立方根的概念
根指数
被开方数
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
读作:三次根号 a，
算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2。因此，也可读作“二次根号 a”。
新知讲解
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根.
一、立方根的概念
27
-27
125
-125
3
-3
5
-5
立方
开立方
新知讲解
二、立方根的性质
根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为23=8，所以8的立方根是( )；
因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3=0，所以0的立方根是( )；
因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )；
因为( )3=-，所以-的立方根是( )。
2
0.4
0.4
0
0
-2
-2
-
-
【探究】
新知讲解
二、立方根的性质
正数的立方根是______；
负数的立方根是______；
0的立方根是______。
正数
负数
0
新知讲解
二、立方根的性质
因为 =_____，- =_____，所以 ___- ；
因为 =_____，- =_____，所以 ___ - 。
规律：一般地， =_____
（互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数）
-
-2
-2
-3
-3
=
=
【探究】
新知讲解
二、立方根的性质
例1：求下列各式的值：
(1) (2) (3)
解：（1） = 4；（2） = - ；
（3） = - .
新知讲解
平方根与算术平方根的联系与区别：
三、平方根与立方根的联系与区别
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
非负数
新知讲解
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。
四、用计算器求立方根
一些计算器设有 健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)。
例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行：
依次按键 1845 ，显示：12.2649408147445。
这样就得到 的近似值12.2649408147445。
新知讲解
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。
四、用计算器求立方根
一些计算器设有 健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)。
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根。
例如用这种计算器求，
可以依次按键 1845 ，显示：12.2649408147445。
新知讲解
用计算器计算…， ，，,,…，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到0.001），并利用你发现的规律求， ，的近似值.
四、用计算器求立方根
规律：被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）。
【探究】
典例分析
例2：
利用计算器求下列各式的值.
（1）
12
25
±13
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列说法正确的是（ ）
A．-1的倒数是1 B．-1的相反数是-1
C．1的算术平方根是1 D．1的立方根是±1
C
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.一个数的立方根是它本身,则这个数是( )
A.1 B.0或1
C.-1或1 D.1,0或-1
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3.求下列各数的立方根:
(1)0.001; (2)-; (3)3; (4)106.
解：(1)因为0.1 =0.001,所以0.001的立方根是0.1
(2)因为(-) = -,所以-的立方根是-.
(3)因为3=,() =,所以3的立方根是.
(4)因为(10 ) =106,所以106的立方根是10 ,即100
课堂练习
【综合实践类作业】
4. 已知4x-37的立方根为3,求2x+4的平方根。
解：由题意知=3,
所以4x-37=3 =27,解得x=16.
所以2x+4=2×16+4=36.
因为(±6) =36,
所以36的平方根是±6.
课堂总结
立方根
1.立方根的概念
2.立方根的性质
3.平方根与立方根的联系与区别
4.用计算器求立方根
板书设计
6.2立方根
立方根
立方根的概念
立方根的性质
平方根与立方根的联系与区别
用计算器求立方根
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列说法:
①正数都有平方根;②负数都有平方根;
③正数都有立方根;④负数都有立方根.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个C.3个 D.4个
C
作业布置
【知识技能类作业】
2.如果一个数的立方根与其算术平方根相同,那么这个数是( )
A.1 B.0或1
C.0或±1 D.任意非负数
B
作业布置
【知识技能类作业】
3. 已知=1-a ,求a的值。
解：立方根等于它本身的数有0,1,-1.
当1-a =0时,a =1,则a=±1;当1-a =1时,a =0,则a=0;当1-a =-1时,a =2,则a=±.
所以a的值为0或±1或±.
解：本题运用了验证法,通过验证可知一个数的立方根等于它本身的数有0,1,-1,从而建立方程求出a的值。
作业布置
【综合实践类作业】
4. 我们知道a+b=0时,a +b =0也成立,若将a看成a 的立方根,b看成b 的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立;
(2)若与互为相反数,求1-的值.
解：(1)因为2+(-2)=0,而且2 =8,(-2) =-8,有8-8=0,所以结论成立.
所以“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由(1)验证的结果知,1-2x+3x-5=0,所以x=4,所以1-=1-2=-1.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《 6.2立方根》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是在学生了解了算术平方根、平方根的概念和求法之后，对立方根的进一步研究。学习立方根的意义在于：（1）它有着广泛应用，因为空间形体都是三维的，有关体积的计算经常涉及开立方.（2）立方根是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一样，立方根对进一步研究奇次方根的性质具有典型代表意义。
学习者分析 七年级学生思维活跃，好奇心强，希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教。因此，在教学过程中，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，激发他们的兴趣。一方面通过学案与课件，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面创造条件和机会，让学生自主练习，合作交流，培养学生学习的主动性、与人合作的精神，激发学生的兴趣和求知欲，感受成功的乐趣。
教学目标 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根． 2.会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算． 3.了解立方根的性质． 4.区分立方根与平方根的不同．
教学重点 立方根的概念、求法和性质
教学难点 立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 提问： 要制作一种容积为27m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？ 学生活动1： 学生根据经验计算棱长活动意图说明： 形成准确概念的首要条件，是使学生获得丰富且合乎实际的感性材料.因此进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，引导学生分析现实生活中常见的实例，使学生在解决实际问题的同时，获得对立方根的感性认识。环节二：新知讲解教师活动2： 立方根的概念 解：设这种包装箱的棱长为x m，则 x = 27. 这就是要求一个数，使它的立方等于27. 因为3 = 27，所以x = 3. 因此这种包装箱的棱长为3 m. 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x^3=a,那么x叫做a的立方根。 读作:三次根号 a， 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 算术平方根的符号√a，实际上省略了中的根指数2，因此，√a也可读作“二次根号 a”。 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根. 立方根的性质 探究：根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？ 因为23=8，所以8的立方根是( 2 )； 因为(0.4 ) =0.064，所以0.064的立方根是(0.4 )； 因为( 0 ) =0，所以0的立方根是( 0 )； 因为( -2 ) =-8，所以-8的立方根是( -2 )； 因为(- ) =-，所以-的立方根是(- )。 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0。 探究：因为 =-2，- =-2，所以 =- ； 因为 =-3，-=-3，所以 =- 。 规律：一般地，=- （互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数） 例1：求下列各式的值： (2) = (3) 解：（1） = 4；（2） = - ； = - 学生活动2： 学生根据以往经验可以写出计算过程 组织学生讨论立方根的概念，教师巡视，并选小组代表发言，其他小组补充 教师引导，师生共同归纳立方与开立方互为逆运算 学生自主作答，教师出示正确答案 学生以小组为单位讨论立方根的性质，教师逐步引导，巡视。师生归纳总结活动意图说明： 对有些相近或相似关系的概念，可以使用类比的方法去研究，所以可以借助平方根的概念来实现对立方根概念的理解和建构，学生从中体会到类比这一思想方法。设置的问题，既可以深化理解立方根的概念，同时由于学生已有关于平方运算与开平方运算互逆关系的经验，所以学生能自主建构立方运算与开立方运算的互逆关系，利用开立方和立方互为逆运算的关系，把求一个数的立方根转化为立方运算的问题。环节三：新知讲解教师活动3： 平方根与立方根的联系与区别 平方根与算术平方根的联系与区别： 用计算器求立方根 实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。 一些计算器设有健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)。 例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行： 依次按键 1845 =，显示：12.2649408147445。 这样就得到 的近似值12.2649408147445。 有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根。 例如用这种计算器求，可以依次按键1845 =，显示：12.2649408147445。 探究：用计算器计算…， ， ， ), ),…，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到0.001），并利用你发现的规律求 ， ， 的近似值. 规律：被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）。学生活动3： 学生仍以小组为单位总结区别与联系 教师巡视并进行引导，由学生发言总结后，教师进行补充。 学生独立操作计算器，教师巡视，多媒体出示标准答案活动意图说明： 只有提供足够数量的素材，学生才容易发现规律、产生归纳的心理需求，自发地进行归纳.上述问题，教师给学生提供足够的动笔机会，教师保持缄默，及时巡视、面批、个别辅导，学生先做后说，在“做中学”，经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法。环节四：典例分析教师活动4： 例2：利用计算器求下列各式的值. （1） （2） （3）± 解：(1)12 (2)25 (3)±13学生活动4： 学生根据立方根的概念和性质计算 教师巡视并指导活动意图说明： 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
板书设计 6.2立方根
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是（ C ） A．-1的倒数是1 B．-1的相反数是-1 C．1的算术平方根是1 D．1的立方根是±1 2.一个数的立方根是它本身,则这个数是( D ) A.1 B.0或1 C.-1或1 D.1,0或-1 选做题： 3.求下列各数的立方根: (1)0.001; (2)-; (3)3; (4)106. 解：(1)因为0.1 =0.001,所以0.001的立方根是0.1 (2)因为(-) = -,所以-的立方根是-. (3)因为3=,(3/2) =27/8,所以3的立方根是. (4)因为(10 ) =106,所以106的立方根是10 ,即100 【综合拓展类作业】 4.已知4x-37的立方根为3,求2x+4的平方根。 解：由题意知=3, 所以4x-37=3 =27,解得x=16. 所以2x+4=2×16+4=36. 因为(±6) =36, 所以36的平方根是±6.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法: ①正数都有平方根;②负数都有平方根; ③正数都有立方根;④负数都有立方根. 其中正确的有( C ) A.1个 B.2个C.3个 D.4个 2.如果一个数的立方根与其算术平方根相同,那么这个数是( B ) A.1 B.0或1 C.0或±1 D.任意非负数 选做题： 3.已知=1-a ,求a的值。 解：立方根等于它本身的数有0,1,-1. 当1-a =0时,a =1,则a=±1;当1-a =1时,a =0,则a=0;当1-a =-1时,a =2,则a=±. 所以a的值为0或±1或±. 解：本题运用了验证法,通过验证可知一个数的立方根等于它本身的数有0,1,-1,从而建立方程求出a的值。 【综合拓展类作业】 4.我们知道a+b=0时,a +b =0也成立,若将a看成a 的立方根,b看成b 的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数. (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立; (2)若与互为相反数,求1-的值. 解：(1)因为2+(-2)=0,而且2 =8,(-2) =-8,有8-8=0,所以结论成立. 所以“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的. (2)由(1)验证的结果知,1-2x+3x-5=0,所以x=4,所以1-=1-2=-1.
教学反思 这节课是一节概念教学课，关键是让学生学会去体验概念的生成过程，并能运用概念解决数学问题和实际问题。我以学生生活的实例引出立方根的概念及其解的含义，首先学生自学，对于立方根的概念，学生对比已学过的平方根比较易于理解。合作探究重点放在平方根和立方根的关系上。运用体验生活、类比观察、探究建模、灵活运用、归纳提升、作业检测，使学生能掌握立方根的概念及性质运算．整个教学过程结构严谨、目标明确，重点能突出，难点能突破，完全可以完成教学目标。
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第六单元
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 本章内容属于“数与代数”领域有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识.本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容.这样的方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。揭示出无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。
学情分析 这一阶段学生的观察力、想象力迅速提高，充满了好奇心和求知欲，但运用数学意识的思想比较薄弱。因此对的探索是本课的关键，不仅得到实数的概念，还有利于培养解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；2.会用计算器求算术平方根；3.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。会平方根的表示法和求非负数的平方根；4.认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想。（二）教学重点、难点教学重点：算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念；理解平方根、立方根、无理数、实数的概念，会一个数的算术平方根、平方根、立方根的符号表示。教学难点：会用有理数估计无理数的大小。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数6.1平方根36.2立方根16.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1平方根理解算术平方根、平方根的概念以及符号表示；会用计算器计算算术平方根、平方根；理解乘方和开方的互逆关系；4.会数值大小比较。学生通过理解相关概念，掌握算术平方根、平方根的性质，通过相关性质的掌握能综合运用于练习和实际问题。且能够运用有理数比较无理数的取值范围。任务1：学生能利用算术平方根、平方根的性质综合题，解决实际生活中的相关问题任务2：（1）能将计算器计算算术平方根、平方根应用到实际问题中；（2）学生会利用计算器或者数轴比较大小任务3：学生能够利用数轴与实数一一对应的关系解决问题6.2平方根1.理解立方根的概念及符号表示2.理解立方与开立方互为逆运算3.掌握立方根的性质4.掌握平方根与立方根的区别与联系学生通过理解相关概念及符号表示以及立方根的性质进行简单运算，且会用类比的方法比较大小任务1：学生能利用立方根的概念和性质解决教材相关问题任务2：会区分立方根与平方根 6.3实数1.掌握无理数与实数的概念2.知道实数与数轴上的点一一对应。3.会求实数的相反数和绝对值4.会对实数进行简单的运算学生通过理解实数的概念以及运算规律可进行简单计算；学生可利用实数与数轴一一对应的关机比较大小任务1：学生可利用实数的概念、分类、运算法则求相反数、绝对值，并且能很好的完成教材的联系，并能学以致用解决实际问题任务2：学生可以结合先前所学相关知识解决综合问题
《第六章》单元教学设计
任务1：通过例子引出算术平方根的概念及表示
6.1.1算术平方根
任务2：例题探究算术平方根的性质
任务3：例题解析
任务1：探究正方形问题引出算术平方根的估算及大小比较
6.1.2用计算器求算术平方根及大小比较
任务2：通过动手操作掌握用计算器求正有理数的算术平方根
任务3：例题解析
任务1：通过例子引出平方根的概念及表示
任务2：例题探究平方根的性质
任务3：探究算术平方根与平方根的区别与联系
6.1.3平方根
实数
任务4：例题解析
任务1：通过例子引出立方根的概念及表示
任务2：例题探究立方根的性质
任务3：探究平方根与立方根的区别与联系
6.2立方根
任务4：探究用计算器求立方根
任务5：例题解析
任务1通过例子引出实数的概念及分类
任务2：通过例题，动手操作探究实数与数轴上的点
6.3.1实数
任务3：进行实数大小的比较
任务4：例题解析
任务1：通过做例题掌握实数的相关概念。如相反数、绝对值
6.3.2实数
任务2：探究实数的运算及近似计算
任务3：例题解析
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