(共69张PPT)
引领二 信息迁移 探究运用
探究一 定义新概念
探究三 创设新题型
探究四 题设新情境
探究二 设置新运算
探究一 定义新概念
例 1 [2023·湖南长沙长郡中学高三模拟]对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在区间[m，n] D，同时满足下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调函数；②当f(x)的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f(x)的“K区间”．若函数f(x)＝－a(a＞0)存在“K区间”，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：f(x)为减函数，所以，
两式相减化简得＝1.代入
，得 ，
问题转化为函数y＝a与函数y＝x2－x＋1(x≥0)有两个交点，
结合图象可知a∈，故选C.
名师点题
本题考查了新定义的函数，还考查了运算求解的能力，题目新颖，解题时应深刻理解新定义的概念，从而解答问题．
对点训练
1.[2023·山西运城模拟]已知a①f(x)＝－2x＋1；②f(x)＝x2；③f(x)＝＋2；④f(x)＝.
A．①② B．②④
C．②③ D．③④
答案：C
解析：①中，假设f(x)＝－2x＋1是“类方函数”，因为f(x)＝－2x＋1单调递减，所以，即，又a②中，假设f(x)＝x2是“类方函数”，因为f(x)≥0，所以[a，b] [0，＋∞)，所以a≥0，所以f(x)＝x2在[a，b]上单调递增，所以，即，又a③中，假设f(x)＝＋2是“类方函数”，易知f(x)＝＋2在[2，＋∞)上单调递增，且f(x)≥2，所以a≥2，且所以又a④中，假设f(x)＝是“类方函数”，易知f(x)＝在R上单调递减，且f(x)>0，所以a>0，且所以，即即方程＝有两个正数解，由y＝与y＝的图象可知两图象有一个公共点，④不符合．故选C.
探究二 设置新运算
例 2 [2023·湖南岳阳一中一模]定义集合A，B的一种运算：A B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，则A B中的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：因为A B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，A＝{－1，0}，B＝{1，2}，所以A B＝{0，－1，－2}，故集合A B中的元素个数为3，故选C.
名师点题
本题考查了新定义的集合的运算，解题时应深刻理解新运算的概念，从而解答问题．
对点训练
2.[2023·湖南雅礼中学一模]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为( )
A．77 B．49
C．45 D．30
答案：C
解析：因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆中的整点，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)：即图中正方形ABCD中的整点，集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45个．
探究三 创设新题型
角度1 材料型
例 3 据《北京日报》报道，北京9月启动学生体质健康调查，全市约2.5万名学生参加“体检”．北京市普通大、中、小学校的6至22岁京籍、汉族学生均为此次调查对象．全市按城、乡、男、女分为四类，每岁一组．各高校19至22岁学生每校每类每个年龄组样本容量均为102.每所高校应上报有效卡片________张．若其中石景山区和门头沟区减半，则这两个区的每所高校应上报有效卡片________张．
1 632
816
解析：根据题意，各高校19至22岁学生需分成4个年龄组，每个年龄组需分城、乡、男、女四类，每校每类每个年龄组样本容量均为102.
所以每所高校应上报有效卡片102×4×4＝1 632(张)，石景山区与门头沟区的每所高校应上报有效卡片＝816(张)．
名师点题
对于日常在网络、电视或杂志中遇到的关于数据的报道，利用所学统计知识对数据进行分析，并得出相应的结论，是数学在日常生活中的重要应用．本题以学生体质健康调查为背景，考查考生的阅读理解能力和对给出的数据进行统计分析的能力，渗透了数据分析、数学建模等核心素养．
对点训练
3.[2023·安徽省合肥市高三质检]扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为( )
A．15 B．
C．10 D．12
答案：C
解析：设一个圆锥的侧面展开图是半径为27，圆心角为的扇形，设该圆锥的底面半径为r，所以，2πr＝×27，可得r＝9，因此，该圆锥的高为h＝＝18，
故侧面展开图是半径为12，圆心角为的扇形的圆锥的高为h＝×18＝8，
因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为18－8＝10.故选C.
角度2 开放型
例 4 [2022·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解析：(1)由题意可得解得
所以C的方程为x2－＝1.
(2)当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得方程组
消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝，x1－x2＝＝.
因为x1>x2>0，所以x1x2＝>0，即k2>3.
所以x1－x2＝.
设点M的坐标为(xM，yM)，
则yM－y2＝(xM－x2)，yM－y1＝－(xM－x1)，
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)．
因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，
解得xM＝.
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)．
因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，
解得yM＝＝xM.
所以点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
选择①②.
因为PQ∥AB，所以kAB＝k.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则解得xA＝，yA＝ .
同理可得xB＝，yB＝－ .
此时xA＋xB＝，yA＋yB＝.
因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝x，
所以
解得xM＝＝，yM＝＝，
所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
选择①③.
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝x上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则
解得xA＝，yA＝ .
同理可得xB＝，yB＝－ .
此时xM＝＝，yM＝＝.由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.
选择②③.
因为PQ∥AB，所以kAB＝k.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，
则解得xA＝，yA＝ .
同理可得xB＝，yB＝－ .
设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上．
将该直线方程与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上．
名师点题
逐一以其中的两个论断为条件，看能否推出正确结论．
对点训练
4.[2021·全国乙卷]以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可)．
③④
解析：根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．
角度3 探索型
例 5 [2023·长沙市明德中学模拟预测]
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，B1A＝B1C，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，D为AC中点，tan ∠BB1D＝.
(1)求证：BC⊥B1D；
(2)线段B1C1上是否存在一点E，使得AE与平面BCC1B1的夹角的正弦值为？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
解析： (1)证明：因为B1A＝B1C，且D为AC中点，所以B1D⊥AC.
又因为tan ∠BB1D＝，所以cos ∠BB1D＝.
由余弦定理，cos ∠BB1D＝＝，解得B1D＝12.
因为BD2＋B1D2＝，由勾股定理知，BD⊥B1D.
又因为BD＝D，所以B1D⊥平面ABC.
因为BC 平面ABC，所以BC⊥B1D.
(2)过点D作Dx⊥AC，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
在三棱柱ABC A1B1C1中，A(0，－5，0)，B，C(0，5，0)，B1(0，0，12)．
＝＝ C1，又＝＋＝＝(0，5，12)＋λ，
解得＝.
设平面BCC1B1的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，即.
令y＝1，解得平面BCC1B1的一个法向量为m＝.
设AE与平面BCC1B1的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝，
解得λ＝或λ＝－(舍)，
综上，E为线段B1C1上靠近B1的三等分点．
名师点题
求解探索型问题的基本方法
通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．
提醒 对于立体几何中的探索性问题可利用空间向量的坐标运算转化为方程是否有解的问题处理．
对点训练
5.[2023·黑龙江哈九中二模]
在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点F，且椭圆Γ过点(0，)、，过点F的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点(点P在x轴的上方)．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分別为k1、k2，是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)因为椭圆Γ过点(0，)、，则有，解得，所以椭圆Γ的标准方程为＝1.
(2)设存在常数λ，使得k1＋λk2＝0.由题意可设直线l的方程为x＝my＋2，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(5m2＋9)y2＋20my－25＝0，Δ＝900(m2＋1)>0，且y1＋y2＝－，y1y2＝－，－λ＝＝＝.又因为＝1，即＝－，即＝－，
所以－λ＝＝，
即－λ＝
－λ＝
＝＝，即λ＝－，所以存在常数使得k1＋λk2＝0.
角度4 结构不良型
例 6 [2023·甘肃平凉二模]在①a1＝1，nan＋1＝＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
问题：在数列{an}中，已知________________．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析：(1)选择①.因为nan＋1＝(n＋1)an，所以＝.所以是常数列．
又＝1，所以＝1，故an＝n.
选择②.因为＝2n＋1－2，(ⅰ)
所以当n＝1时＝22－2＝2，解得a1＝1，当n≥2时＝2n－2，(ⅱ)
故n≥2时，由(ⅰ)－(ⅱ)可得＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.又a1＝1，所以an＝n.
(2)由(1)可知，bn＝，则Sn＝＝＋…＋.
两式相减得Sn＝＋…＋＝＝.故Sn＝1－.
名师点题
对于结构不良问题，只需从给出的条件中选择一个进行求解即可，一般来说，给出的选择难度都是相同的，都包括逻辑推理与计算两个方面，所以不要过多地考虑条件之间的差异性．解题时将选出的条件融合到已知条件中，然后处理相关的问题即可．其基本步骤如下：
①定条件：即从给出的条件中选取一个相对熟悉的条件，如三角形中的边角关系，数列中项之间的关系，立体几何中的线面关系等．
②构模型：把选取的条件融合到已知条件中，然后构建解决问题的模型．
③解模型：即求解所构建的模型，如求解相关的量等．
对点训练
6.[2023·山东淄博一模]从①＝，②＝，③a sin B sin C－b cos A cos C＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若________，求角B的大小．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析：若选①：＝＝ ，2sin A cos B＝sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A ，
cos B＝ ，B＝ ；
若选②：＝ ，＝，b2＝a2＋c2－ac ，
cos B＝，B＝ ；
若选③：a sin B sin C－b cos A cos C＝b ，sin A sin B sin C－sin B cos A cos C＝sin B，
－cos (A＋C)＝cos B＝ ，B＝.
探究四 题设新情境
角度1 与社会热点的结合
例 7 2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划情况，每个村至少去1人，则不同的选派方法有( )
A．25种 B．60种
C．90种 D．150种
答案：D
解析：方法一 (分组分配)把5名工作人员分成3组，有两类分法：
①分成2个1人组，1个3人组，则不同的分法有＝10(种)；②分成2个2人组，1个1人组，则不同的分法有＝15(种)．
所以共有10＋15＝25(种)分组方法，
故不同的选派方法有＝150(种)．故选D.
方法二 (排除法)因为5个工作人员仅去一个村的选派方法有＝3(种)，
5个工作人员仅去两个村的选派方法有＝90(种)，
所以5个工作人员去三个村的选派方法有35－90－3＝150(种).故选D.
名师点题
本题以2020年脱贫攻坚收官为背景，考查了计数原理与古典概型的概率，体现了统计原理、统计方法在数学教学中的重要地位，突出了对数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的考查．
对点训练
7. [2023·石家庄10月质检]北京冬奥会于2022年2月4日到2022年2月20日在北京和张家口举行．申奥成功后，中国邮政陆续发行多款邮票，图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”、多种冰雪运动等．现从2枚会徽邮票、2枚吉祥物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：方法一 (组合数法)从5枚邮票中任取3枚的基本事件总数为＝10(个)．
3枚中恰有1枚吉祥物邮票的基本事件数为＝6(个).
所以恰有1枚吉祥物邮票的概率为P＝＝.故选C.
方法二 (枚举法)记5枚邮票中吉祥物邮票为x，y，其余三枚为a，b，c，
则从5枚邮票中任取3枚的基本事件为abc，abx，aby，bcx，bcy，acx，acy，axy，bxy，cxy，共10个．
3枚中恰有1枚吉祥物邮票的基本事件为abx，aby，bcx，bcy，acx，acy，共6个．
所以恰有1枚吉祥物邮票的概率为P＝＝.故选C.
角度2 与科技前沿的结合
例 8 [2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)，则( )
A．b1C．b6答案：D
解析：方法一 因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<≤1，所以α1<α1＋，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋.设＝t1，所以α2＋>α2＋，则α1＋<α1＋，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋.
设＝t2，所以α1＋>α1＋，所以b2α3＋，则α2＋<α2＋，所以α1＋>α1＋，所以b4方法二 此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．
由αk∈N*，可令αk＝1，则b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝.分子、分母分别构成斐波那契数列，可得b5＝，b6＝，b7＝，b8＝.对比四个选项，可知选D.
名师点题
本题以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为背景，考查学生综合应用数列、函数、不等式等基础知识观察问题、分析问题和解决问题的能力．
对点训练
8.5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G直接经济产出做出的预测．
由上图提供的信息可知下列说法不正确的是( )
A．运营商的5G直接经济产出逐年增加
B．设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势
答案：C
解析：根据已知统计图，观察白色矩形，可得运营商的5G直接经济产出逐年增加，A正确．观察黑色矩形和灰色矩形，可得设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓，到2029年被信息服务商超过，B正确，C错误．观察灰色矩形和白色矩形，可得信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势，D正确．
角度3 与生产生活的结合
例 9 [2022·全国甲卷]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案：B
解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．
对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差＝×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.
名师点题
本题以垃圾分类为背景，考查了统计图表的应用，考查了数据分析的核心素养．
对点训练
9.[2023·长沙长郡中学模拟]习近平总书记深刻指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化．为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为2 mg/cm3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为1.94 mg/cm3.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为r0(单位：mg/cm3)，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为r1(单位：mg/cm3)，则第n次改良后所排放的废气中的污染物量rn(单位：mg/cm3)满足函数模型rn＝r0－(r0－r1)×50.5n＋p(p∈R，n∈N*)．
(1)试求rn的函数模型；
(2)依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过0.08 mg/cm3.试问：至少进行多少次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标？(参考数据：lg 2≈0.3)
解析：(1)由题意得r0＝2，r1＝1.94，所以当n＝1时，r1＝r0－(r0－r1)×50.5＋p，
即1.94＝2－(2－1.94)×50.5＋p，解得p＝－0.5.
所以rn＝2－0.06×50.5n－0.5(n∈N*)，
故rn的函数模型为rn＝2－0.06×50.5n－0.5(n∈N*)．
(2)由题意可得rn＝2－0.06×50.5n－0.5≤0.08，
整理得50.5n－0.5≥，即50.5n－0.5≥32，可得n≥＋1，
由lg 2≈0.3，得n≥＋1≈5.3，
又因为n∈N*，所以n≥6.
故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标．
角度4 与其他学科的融合
例 10 [2022·全国甲卷]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)
＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04
＝0.6.
(2)由题意得，X的所有可能取值为0，10，20，30.
易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则
P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
所以X的分布列为
则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
名师点题
本题以学校体育比赛为背景，考查了概率的基础知识和求离散型随机变量的分布列与期望的方法，体现了对高考数学的应用性、创新性的考查要求．
对点训练
10.(与物理学科的融合)汽车智能辅助驾驶自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如图所示)将报警时间(单位：秒)划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离(单位：米)分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到表中所给的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[0.5，0.9])．
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 t2＝0.2 t3
距离 d0＝20 d1 d2
若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度不应超过( )
A．65千米/时 B．72千米/时
C．81千米/时 D．90千米/时
答案：B
解析：由已知得报警距离d＝d0＋d1＋d2＋d3＝20＋v＋.
由题意可得d＝20＋v＋<80，
因为k∈[0.5，0.9]，所以当k＝0.5时，报警距离最大，
因此只需20＋v＋<80，解得0所以汽车的行驶速度不应超过20米/秒，即72千米/时．故选B.
(共19张PPT)
引领三 素材创新 弘扬文化
创新一
创新二
创新三
创新一
从古籍名著中浸润数学文化
例 1 [2022·全国甲卷] 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝×2＝，则CD＝2－，所以的弧长的近似值s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
名师点题
本题以沈括研究的圆弧长计算方法“会圆术”为背景，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程，引发学生的学习兴趣．
对点训练
1.[2023·安徽省江南十校高三一模]《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由题意可知：＝，tan ＝＝，所以tan ∠AOB＝＝＝.故选A.
创新二
在先贤的成就中了解数学文化
例 2 [2023·河南省名校联盟1月联考]我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上文字写成公式，即S＝.(其中S为面积，a，b，c为△ABC三个内角A，B，C所对的边)．若b cos C＋c cos B＝4，c＝2，且a＝c(cos B＋cos C)，则利用“三斜求积”公式可得△ABC的面积S＝( )
A．2 B．2
C．4 D．8
答案：B
解析：因为b cosC＋c cos B＝4，由余弦定理可得b＋c＝4，
所以a＝4，又因为a＝c(cos B＋cos C)，由正弦定理可得sin A＝sin C(cos B＋ cos C)，即sin (B＋C)＝sin C cos B＋sin C cos C，
所以sin B cos C＝sin C cos C，因为a>c，所以A>C，所以C<，
所以sin B＝sin C，所以b＝c＝4，
代入S＝ ＝ ＝2.故选B.
对点训练
2. [2023·湖北省圆创联考高三2月第二次联合测评]用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图1)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图2)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆＝1(y≥0)绕y轴旋转一周后得一半橄榄状的几何体(如图3)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A．15π B．30π
C．45π D．60π
答案：B
解析：构造一个底面半径为3，高为5的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h(0≤h≤5)时，小圆锥的底面半径为r，则＝，
∴r＝h，故截面面积为9π－，
把y＝h代入椭圆＝1可得x＝±，
∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2＝9π－，
由祖暅原理可得半个橄榄球形几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝9π×5－×9π×5＝30π.故选B.
创新三
在数学故事中创造数学文化
例3 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，则乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2 米时，乌龟爬行的总距离为( )
A．米 B．米
C．米 D．米
答案：B
解析：通解 设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，
设其公比为q，则a1＝100，q＝，an＝a1qn－1.
令10－2＝100×，解得n＝5，
所以S5＝＝＝，
即乌龟爬行的总距离为米．故选B.
优解 设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，
设其公比为q，则a1＝100，q＝.
令an＝10－2，则Sn＝＝＝＝，
即乌龟爬行的总距离为米．故选B.
名师点题
本题是以“阿基里斯悖论”为背景创设的等比数列求和的问题，破解此类题的基本思路是明确题意，构建出等比数列的模型，再利用等比数列的通项公式、前n项和的公式，即可得出结果．当等比数列{an}的公比q不为1时，其前n项和的公式有两种，一般地，若a1，q与项数已知，常选用公式Sn＝求和，若a1，an与q已知，常选用公式Sn＝求和．
对点训练
3．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”．贝特朗采用“随机半径”“随机端点”“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击几何概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，如图所示，则由“随机端点”求法所求得的弦长AB大于圆O的内接等边三角形ACD边长的概率为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：设“弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长”为事件M，
则满足题意的点B只能落在劣弧CD上．
又因为圆内接等边三角形ACD的顶点恰好将圆周三等分，
故P(M)＝，故选C.(共53张PPT)
引领一 素养导向 五育并举
导向一
导向二
导向三
导向一
用数学的眼光观察世界
素养1数学抽象
“数学抽象”素养的考查重点是学生在各种情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力，在日常生活和实践中善于一般性思考问题，把握事物的本质、以简驭繁，运用数学思想方法解决问题的思维品质．
数学抽象的具体表现包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．
例1. [2022·新高考Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(ⅰ)证明：R＝·；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解析：(1)由题意，得K2＝＝24>6.635，
∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
(2)(ⅰ)证明：∵＝·＝···＝·，
·＝···＝·＝·，
∴R＝·.
(ⅱ)由表格中的数据，得P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
∴P(|B)＝1－P(A|B)＝，P(|)＝1－P(A|)＝，
∴R＝·＝＝6.
价值引领
[素养] 数学抽象、直观想象、逻辑推理．
[五育] 培养学生尊重知识，热爱科学，用所学知识解决实际问题．
[说明]
主要考查了数学抽象、直观想象、逻辑推理的素养，培养了学生尊重科学、热爱科学、用所学知识解决问题．
素养2直观想象
“直观想象”素养的考查重点是学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质的思维品质．
直观想象素养的具体表现包括：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物．
例2. [2022·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案：C
解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3)．故选C.
价值引领
[素养] 直观想象、数学运算．
[五育] 引导学生关注社会主义建设的成果，增强社会责任感．
真题互鉴
2．[2020·新高考Ⅰ卷]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40°
C．50° D．90°
答案：B
解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.
3．[2023·新课标Ⅰ卷改编]下列物体中，不能被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
答案：C
[说明]
此两题展现了我国古代文明，历史上的辉煌成就，提倡文化自信及生活之美教育．
导向二
用数学的思维分析世界
素养3逻辑推理
“逻辑推理”素养的考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式，提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质．逻辑推理素养涉及的行为表现包括：发现问题和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达与交流．
例3. [2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
价值引领
[素养] 逻辑推理、数学运算．
[五育] 全面发展，提升综合素质．
真题互鉴
4.[2023·全国甲卷(理)]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A．120种 B．60种
C．30种 D．20种
答案：B
素养4 数学运算
“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一，但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功，更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力．通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的数学思维品质，其具体表现包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、形成程序化思维．
2
价值引领
[素养] 数学运算．
[五育] 热爱学习，提升基本运算能力．
真题互鉴
5.[2021·全国甲卷]曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为____________．
5x－y＋2＝0
解析：因为y＝，所以y′＝＝.当x＝－1时，y＝－3，y′＝5，所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
6．[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3cos2α－4cosα－4＝0，所以cos α＝－或cos α＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故选A.
[说明]
此两题是用数学基本知识进行运算，解决数学问题．
导向三
用数学的语言表达世界
素养5 数学建模
“数学建模”的考查重点是学生用数学模型解决实际问题，其中涉及数学建模的完整过程，即在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．由于在常规的纸笔测试中较难反映数学建模的完整过程，因此，在编制考查数学建模的测试题时，通常依据数学建模的各个环节来命题．如设置一个实际情境，重点考查学生发现和提出合适的数学问题的能力，或者给定一个初步的数学模型，要求学生依据实际情况对模型进行修正等．
例5 [2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
答案：D
解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且＝0.725，即＝0.725，解得k3＝0.9.故选D.
价值引领
[素养] 数学建模、数学运算．
[五育] 感受中国古代文化，让学生领略中华民族的智慧，增强民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感．
答案：B
8．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
答案：B
解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若则＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
[说明]
此两题旨在用数学建模解决现实生活问题．
素养6 数据分析
“数据分析”核心素养的考查重点是学生基于数据表达现实问题、运用合适的统计方法进行推断和决策的能力，形成通过数据认识事物的思维品质．其具体表现包括：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．
例6 [2023·全国甲卷(文)]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
对照组
试验组
价值引领
[素养] 数据分析、数学运算．
[五育] 热爱科学，保护环境．使用所学数学知识解决实际问题．
真题互鉴
9.[2021·全国甲卷]为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案：C
解析：对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．
[说明]
此两题具有现实意义，了解农村经济情况，治理沙漠，保护环境及野生动物，进行调查统计．
