辽宁省鞍山市2023—2024学年下学期开学初限时作业训练 九年级数学卷（含答案）

辽宁省鞍山市2023—2024学年（下）开学初限时作业训练卷
数 学
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
4．已知，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
5．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
6．如图，在⊙O中，弦AB＝2、点C是圆上一点且∠ACB＝45°，则⊙O的直径为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
5题 6题 10题
7．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上两点，且x1＜x2＜1，则下列说法正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0
8．若点P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2024的值为（　　）
A．﹣32024 B．1 C．32024 D．52024
9．二次函数y＝ax2﹣bx﹣5的图象与x轴交于（1，0）、（﹣3，0）两点，则关于x的方程ax2﹣bx﹣5＝0的根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
10．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）
A．此抛物线的解析式是yx2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝5，cosC，则AB边的长为　 　．
12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 　 　．
11题 12题 13题
13．抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．如图，AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，延长AC、BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的直径为12cm，则图中的长为 　 　．（结果保留π）
14．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为　 　．
14题 15题
15．如图，是一个底面半径为1cm，高度为2πcm的无盖圆柱形玻璃容器，A、B两点在容器顶部一条直径的两端，现有一只小甲虫在容器外A点正下方1cm的M处，要爬到容器内B点正下方距离底部1cm的N处，则这只小甲虫最短爬行的距离是　 　cm．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（每小题5分，共10分）
（1）计算：cos60°﹣2sin245°+3tan230°+sin30°；
（2）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．若两根为x1、x2且x12+x22＝7，求m的值．
17．（8分）在菱形ABCD中，AC为对角线，E、F分别为BC、DC边上的点，且，射线AE交DF的延长线于点G，射线AF交BE的延长线于点H．求证：AF2＝FC FG；
18．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　 　；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
19．（9分）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：AE∥BC∥FG，AD＝80cm，CD＝60cm，CG＝30cm，∠DAE＝15°，∠CGF＝60°，∠BCD＝120°，∠ABC＝90°．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，）
（1）求点D到FG所在直线的距离．
（2）求BC的长度．
20．（8分）某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%，设小周每月获得利润为w（元）．
（1）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（2）如果小周想要每月获得的利润不低于2000元，那么小周每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，若CE是⊙O的切线．
（1）求证：CE＝BC；
（2）若CD＝4，tan∠BEC，求⊙O半径的长．
22．（12分）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝EC，点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，AE＝AB，AC＝AF，AD＝3，求EF的长．
23．（12分）【发现问题】
如图，某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度y米与喷出的水与池中心的水平距离x米之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．于是小腾以OA所在直线为y轴，垂直于OA的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A，点B的坐标，从而得到y与x函数关系式．
【解决问题】
（1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为（4，2），求抛物线水流对应的函数关系式；
（2）当喷头旋转120°时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含π的式子表示）；
（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x米，当x为多少米时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．D．2．C．3．C．4．D．5．A．6．D．7．D．8．C．9．D．10．A．
二．填空题（共5小题）
11．8．12．．13．2πcm2．14．4．15．π．
三．解答题（共9小题）
16．解：（1）1；（2）m＝﹣1
17．证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，
即∠ACD∠BCD，
∵∠EAF∠BCD，
∴∠ACD＝∠EAF，
∵∠AFC＝∠GFA，∠FCA＝∠FAG，
∴△FAC∽△FGA，
∴AF：FG＝CF：AF，
∴AF2＝FC FG；
18．解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
19．解：（1）如图，过点D作DN⊥FG于点N，
交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，
在Rt△DCP中，∵CD＝60cm，∠DCP＝60°，
∴DP＝CD sin60°＝30（cm）．
在Rt△CHG中，∵CG＝30cm，∠CGF＝60°，
∴CH＝CG sin60°＝15（cm），
∵AM∥BP，
∴∠AMP＝∠BPN＝90°，
∵∠CHN＝∠PNH＝90°，
∴四边形CHNP是矩形，
∴PN＝CH＝15cm，
∴；
（2）在Rt△ADM中，
∵AD＝80cm，∠DAM＝15°，
∴AM＝AD cos15°≈77.6cm．
在Rt△DCP中，
∵CD＝60cm，∠DCP＝60°，
∴CP＝CD cos60°＝30（cm）．
∴BC＝BP﹣CP≈77.6﹣30＝47.6（cm），
故BC的长度约为47.6cm．
20．解：（1）由题意得：
w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵a＝﹣10＜0，20≤x≤20（1+60%），
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w最大＝﹣10（32﹣35）2+2250＝2160．
答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．
（2）设小周每月的成本需要p（元），根据题意得：
p＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000，
∵w＝﹣10x2+700x﹣10000≥2000，
∴30≤x≤40，
又∵20≤x≤32，﹣200＜0，
∴当30≤x≤32时，w≥2000，p随x的增大而减小，
∴当x＝32时，p的值最小，p最小值＝﹣200×32+10000＝3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小周每月的成本最少需要3600元．
21．（1）证明：连接OE，
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥EC，
∴∠OED+∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDB+∠CBE＝90°，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠ODE＝∠CDB，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵∠BEC＝∠CBE，tan∠BEC，
∴tan∠CBD，
∴，
∵CD＝4，
∴BC＝8，
∴EC＝8，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+EC2，即（r+4）2＝r2+82，
解得：r＝6，即⊙O的半径为6．
22．问题1：
证明：延长AE至G，使EG＝AE，连接DG，如图（2）所示：
在△ACE和△GDE中，
，
∴△ACE≌△GDE（SAS）．
∴AC＝GD，∠CAE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴DG＝DF，
∴∠DFG＝∠G，
∴∠DFG＝∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠DFG＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC．
问题2：
解：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，如图（3）所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠CAD，
∴BG∥AC，
∴∠ABG+∠BAC＝180°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∵AC＝AF，
∴AF＝GB，
在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG（SAS），
∴EF＝AG，
∵AG＝2AD＝2×3＝6，
∴EF＝6．
23．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵水流的最高点B的坐标为（4，2），
∴y＝a（x﹣4）2+2，代入A点，
得a（0﹣4）2+2，
解得：a，
y（x﹣4）2+2（x＞0）；
（2）令y＝0，则x＝10，
喷水装置能喷灌的草坪的面积（平方米）；
（3）由矩形GHMN可得，GH＝MN＝2x，NG＝MH，∠MNG＝∠NMH＝90°，
，
过O作OP⊥EF，交EF于点P，
∵∠EOF＝120°，OE＝OF，
∴∠FEO＝∠EFO＝30°，
∵OE＝10（m），
∴OP＝OE sin∠PEO＝5（m），EP＝OE cos∠PEO＝5（m），
同理可得，FP＝5（m），
∵∠ENG＝180°﹣∠MNG＝90°＝∠EPO，∠PEO＝∠NEG，
∴△PEO∽△NEG，
∴，
同理可得，，
∵NP＝EP﹣EN，MP＝FP﹣FM，
∴PM＝PN，
∵MN＝2x（m），
∴PM＝PN＝x（m），NG＝MH＝（5x）（m），
矩形GHMN花坛的面积＝2x×（5x）＝（﹣2x2+10x）（m2），
∴x时，矩形GHMN花坛的面积最大为平方米．