辽宁省大连市2023—2024学年下学期九年级学期初调研数学试卷（含答案）

辽宁省大连市2023—2024学年下学期九年级学期初调研试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．（3分）下列事件中属于必然事件的是（　　）
A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B．在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球
C．抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上
D．七年级370名学生中至少有2名学生生日是同一天
4．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（　　）
A．115° B．105° C．100° D．95°
5．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　）
A．36° B．60° C．65° D．72°
4题 5题 6题
6．（3分）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（　　）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
7．（3分）如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列说法正确的是（　　）
A．旋转中心是点B B．旋转角是60°
C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D．旋转角是∠ABC
8．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，要使△ABD与△ABC相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（　　）
A． B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．AB2＝AD AC
7题 8题 10题
9．（3分）一个扇形的半径为3，圆心角为40°，则该扇形的面积是（　　）
A．π B．2π C．4π D．8π
10．（3分）初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（　　）
A．甲＞乙＞丙＞丁 B．丙＞甲＝丁＞乙
C．甲＝丁＞乙＞丙 D．乙＞甲＝丁＞丙
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若反比例函数y图象的一支在第三象限，则k的取值范围是 　 　．
12．（3分）若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　．
13．（3分）把点A（﹣3，4）绕原点旋转180°后得到点B，则点B的坐标为　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，△OAB中，点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，点B在x轴上，AO＝AB，AC⊥OB于点C，若S△AOB＝6，则k的值为 　 　．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，P是线段BC上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE．连接DE，直线DE交BC于F．设BP＝x，S△EPF＝y，则y与x之间的函数关系式为 　 　.
14题 15题
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为
﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
17．（8分）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
18．（9分）“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项日，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）．
（1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如表调查：
调查总人数 20 50 100 200 500
参加“述你马拉松”人数 15 33 72 139 356
参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 　 　；（精确到0.1）
（2）小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
19．（8分）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，求河宽AB．
20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，1）和点B（﹣1，﹣4）．
（1）求这两个函数表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上的一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，BD＝8，求⊙O的半径．
22．（12分）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
23．（12分）如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．
（1）求证：CE＝EF；
（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；
（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．D．2．D．3．D．4．B．5．D．6．C．7．C．8．A．9．A．10．D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．k＞1．12．y2＜y1＜y3．13．（3，﹣4）．14．6．15．yx．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
如图，
（2）当x＝4时，y＝5；当x＝0时，y＝﹣3，
∴当0＜x＜4时，﹣4≤y＜5；
（3）由图象可得m＜0或m＞3．
17．解：设⊙O的半径为r．
∵OC⊥AB，
∴AD＝BDAB＝5，
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有：r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
18．解：（1）由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.7．
故答案为：0.7；
（2）小明（来自北京市）记为甲，小军（来自长沙市）记为乙、小红（来自清远市）记为丙、小丽（来自广州市）记为丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有2种，
则恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率为．
19．解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠ABD＝∠ECD＝90°，
又∵∠ADB＝∠EDC（对顶角相等），
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即，
解得AB＝12．
答：河的宽度AB为12m．
20．解：（1）∵点B（﹣1，﹣4）在反比例函数y的图象上，
∴m＝﹣1×（﹣4）＝4，
∴反比例函数解析式为：y．
∵点A（n，1）在y上，
∴n＝4．
∴A（4，1）．
将点A（4，1），B（﹣1，﹣4）代入y＝kx+b，得．
∴．
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣3．
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．
21．（1）证明：连接OD，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OAD+∠AOF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODC中，，
∴，
∴设OD＝r，OC＝3r，
∴BC＝OC+OB＝4r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AEO＝90°，
∴OE∥BD，
∵OA＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OEBD＝4，
∵OE∥BD，
∴∠COF＝∠B，∠CFO＝∠CDB，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴OFBD＝6，
∵∠DOE＝∠DOF，∠OED＝∠ODF，
∴△OED∽△ODF，
∴，
∴，
∴r＝2或r＝﹣2（舍去），
∴⊙O的半径为2．
22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
23．（1）证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：
则∠AHF＝90°，
∵AM平分∠DAH，
∴∠FAH＝45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴FH＝AH，AFAHFH，
∵AFBE，
∴FH＝AH＝BE，
∴AH+AE＝BE+AE，
∴HE＝AB＝BC，
在△FEH和△ECB中，，
∴△FEH≌△ECB（SAS），
∴CE＝EF；
（2）解：∵△FEH≌△ECB，
∴∠FEH＝∠ECB，
∵在Rt△BCE中，∠ECB+∠CEB＝90°，
∴∠FEH+∠CEB＝90°，
∴∠CEF＝90°，
由（1）知，CE＝EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝∠EFC＝45°，
把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，如图2所示：
则∠GCN＝90°，CG＝CN，DG＝BN，
∴∠NCE＝∠GCN﹣∠GCE＝45°，
∴∠NCE＝∠GCE，
在△CEG和△CEN中，，
∴△CEG≌△CEN（SAS），
∴GE＝NE＝EB+BN＝EB+DG，
∴△AEG的周长＝AE+GE+AG＝AE+EB+DG+AG＝AB+AD＝2a；
（3）解：设AE＝x，
由（1）得：FH＝BE＝a﹣x，
则△EAF的面积AE×FHx（a﹣x）（x）2，
∴当x，即点E在AB边中点时，△EAF的面积最大，最大值为．