重庆市沙坪坝区第八中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试模拟试卷（含答案）

重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）2的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（　　）
A．中 B．国 C．繁 D．华
3．（4分）下列调查中，适合普查的是（　　）
A．调查全国中学生的视力情况
B．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量
C．调查一批电池的使用寿命
D．调查市场上某种饮料的质量情况
4．（4分）估计的值在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
5．（4分）如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM：OP＝4：5，则cosα的值等于（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝3：7，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（　　）
A．12 B．16 C．21 D．49
7．（4分）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（　　）
A．24 B．30 C．35 D．48
8．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝2∠D，且AB＝3，则AC的长度是（　　）
A．1 B． C． D．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（　　）
A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D．
10．（4分）有n个依次排列的整式：第1项是（x+1），用第1项乘以（x﹣1），所得之积记为a1，将第1项加上（a1+1）得
到第2项，再将第2项乘以 （x﹣1）得到a2，将第2项加（a2+1）得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；
②；
③若a2023＝0，则x2024＝1；
④当x＝﹣1时，第k项的值为．
以上结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（）﹣1+（）0＝　 　．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 　 　．
13．（4分）已知a是关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的一个根，则代数式10a﹣2a2﹣5的值为 　 　．
14．（4分）有三张正面分别写有数字1，2，3的卡片，它们除数字外其余完全一样．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字相同的概率是 　 　．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，连接AC，取AC中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边AD，AB于点E，F，则图中阴影部分的面积是 　 　．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为 　 　．
17．（4分）如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE'与AC边相交于D点，恰好BE'是∠ABC的角平分线，若，则BD的长为 　 　．
18．（4分）对于一个四位自然数，若满足 a+d＝b+c，则称这个四位数为“等和数”，记F（m）＝a+b+c+d．例如：m＝2345，∵2+5＝3+4，∴2345 是“等和数”，F（2345）＝2+3+4+5＝14；则F（2053）＝　 　；已知M，N均为“等和数”，其中M＝1000x+10y+345，N＝5000+100x+10y+n（其中2≤x≤9，0≤y≤5，0≤n≤9，x、y、n都是整数），如果能被5整除，则N＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算．
（1）x（x+2）﹣（x+1）（x﹣1）； （2）．
20．（10分）如图，在 ABCD中，点E在线段AD上，AE＝AB，完成下列作图和填空．
（1）利用尺规作∠BAD的角平分线交线段BC于点F，连接BE，EF（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AF⊥BE．
证明：∵BF∥AE，
∴　 　．
又∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠EAF．
∴　 　．
∴AB＝FB．
又∵AB＝AE，
∴FB∥AE且FB＝AE．
∴　 　．
又∵AB＝AE，
∴四边形ABFE为菱形．
∴AF⊥BE（ 　 　）．
21．（10分）文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．万州区正全力争创全国文明城区、国家卫生城区．某校开展“双创”的知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
九年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八年级 86 85 b 56
九年级 86 a 88 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1050名学生，九年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．
（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？
23．（10分）如图1，在△ABC中，，BC＝4，AD为BC边上的中线，点P为AD的中点，PQ∥BC交AC于点Q，动点M以每秒1个单位长度的速度沿A→P→Q的路径运动（包含起点和终点），过点M作MN∥BC交AB于点N，设运动时间为t秒，记y＝MP+MN，请回答下列问题：
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当时t的取值范围．
24．（10分）冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东30°方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，
（1）求CD的长度；（精确到1米）
（2）小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，过点P作BC的平行线交y轴于点E，求2PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点N是抛物线上一点，连接NB，当线段NB的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使∠MNA＝∠CAN．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（10分）在△ABC中，把线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接AD．
（1）如图1，已知AB＝7，BC＝5，，求AC的长；
（2）如图2，已知∠CAB＝45°，点F和点E分别为BC和AD的中点，连接EF，求证：；
（3）如图3，已知AB＝6且BC＝2AC，把线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AM，连接DM，请直接写出DM的最小值．
重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试模拟试卷（答案）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）2的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【答案】C
2．（4分）下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（　　）
A．中 B．国 C．繁 D．华
【答案】A
3．（4分）下列调查中，适合普查的是（　　）
A．调查全国中学生的视力情况
B．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量
C．调查一批电池的使用寿命
D．调查市场上某种饮料的质量情况
【答案】B
4．（4分）估计的值在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】B
5．（4分）如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM：OP＝4：5，则cosα的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
6．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝3：7，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（　　）
A．12 B．16 C．21 D．49
【答案】D
7．（4分）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（　　）
A．24 B．30 C．35 D．48
【答案】D
8．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝2∠D，且AB＝3，则AC的长度是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（　　）
A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D．
【答案】A
10．（4分）有n个依次排列的整式：第1项是（x+1），用第1项乘以（x﹣1），所得之积记为a1，将第1项加上（a1+1）得
到第2项，再将第2项乘以 （x﹣1）得到a2，将第2项加（a2+1）得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；
②；
③若a2023＝0，则x2024＝1；
④当x＝﹣1时，第k项的值为．
以上结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（）﹣1+（）0＝　4　．
【答案】4．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 　7　．
【答案】见试题解答内容
13．（4分）已知a是关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的一个根，则代数式10a﹣2a2﹣5的值为 　﹣7　．
【答案】﹣7．
14．（4分）有三张正面分别写有数字1，2，3的卡片，它们除数字外其余完全一样．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字相同的概率是 　　．
【答案】．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，连接AC，取AC中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边AD，AB于点E，F，则图中阴影部分的面积是 　8﹣2π　．
【答案】8﹣2π．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为 　﹣2　．
【答案】﹣2．
17．（4分）如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE'与AC边相交于D点，恰好BE'是∠ABC的角平分线，若，则BD的长为 　2　．
【答案】2．
18．（4分）对于一个四位自然数，若满足 a+d＝b+c，则称这个四位数为“等和数”，记F（m）＝a+b+c+d．例如：m＝2345，∵2+5＝3+4，∴2345 是“等和数”，F（2345）＝2+3+4+5＝14；则F（2053）＝　10　；已知M，N均为“等和数”，其中M＝1000x+10y+345，N＝5000+100x+10y+n（其中2≤x≤9，0≤y≤5，0≤n≤9，x、y、n都是整数），如果能被5整除，则N＝　5645　．
【答案】10，5645．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算．
（1）x（x+2）﹣（x+1）（x﹣1）；
（2）．
【答案】（1）2x+1；
（2）．
20．（10分）如图，在 ABCD中，点E在线段AD上，AE＝AB，完成下列作图和填空．
（1）利用尺规作∠BAD的角平分线交线段BC于点F，连接BE，EF（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AF⊥BE．
证明：∵BF∥AE，
∴　∠AFB＝∠FAE　．
又∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠EAF．
∴　∠BAF＝∠BFA　．
∴AB＝FB．
又∵AB＝AE，
∴FB∥AE且FB＝AE．
∴　四边形ABFE是平行四边形　．
又∵AB＝AE，
∴四边形ABFE为菱形．
∴AF⊥BE（ 　菱形的对角线互相垂直　）．
【答案】∠AFB＝∠FAE，∠BAF＝∠BFA，四边形ABFE是平行四边形，菱形的对角线互相垂直．
21．（10分）文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．万州区正全力争创全国文明城区、国家卫生城区．某校开展“双创”的知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
九年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八年级 86 85 b 56
九年级 86 a 88 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　86　，b＝　84　，m＝　30　．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1050名学生，九年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）86；84；30；（2）九年级的成绩更好，理由见解析；（3）645．
22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．
（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？
【答案】（1）该学习小组实际参观博物馆的同学有15人；
（2）“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米．
23．（10分）如图1，在△ABC中，，BC＝4，AD为BC边上的中线，点P为AD的中点，PQ∥BC交AC于点Q，动点M以每秒1个单位长度的速度沿A→P→Q的路径运动（包含起点和终点），过点M作MN∥BC交AB于点N，设运动时间为t秒，记y＝MP+MN，请回答下列问题：
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当时t的取值范围．
【答案】（1）y＝；
（2）图象见解析；函数y的最小值为1．
（3）．
24．（10分）冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东30°方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，
（1）求CD的长度；（精确到1米）
（2）小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．
【答案】（1）约2572.6米；
（2）小外先到达终点D．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，过点P作BC的平行线交y轴于点E，求2PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点N是抛物线上一点，连接NB，当线段NB的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使∠MNA＝∠CAN．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+x﹣2；
（2）2PD+PE有最大值为，此时点P（﹣，﹣）；
（3）存在，点M的坐标为：（﹣6，7）．
26．（10分）在△ABC中，把线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接AD．
（1）如图1，已知AB＝7，BC＝5，，求AC的长；
（2）如图2，已知∠CAB＝45°，点F和点E分别为BC和AD的中点，连接EF，求证：；
（3）如图3，已知AB＝6且BC＝2AC，把线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AM，连接DM，请直接写出DM的最小值．
【答案】（1）4；（3）2﹣8．