2023-2024学年数学七年级二元一次方程组单元测试试题（鲁教版（五四制））基础卷二含解析

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2023-2024学年数学七年级二元一次方程组（鲁教版（五四制））单元测试 基础卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）二元一次方程的一个解是（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）把代数式改写成用含x的式子表示y的形式是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）既在直线上，又在直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
7．（本题3分）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
9．（本题3分）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，吨为基本段，吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费元是用水量吨的函数，其图象如图所示．（1）基本段每吨水费2元；（2）若某用户该月用水20吨，应交水费为46元；（3）与x的函数解析式：；（4）若某月一用户交水费48元，则该用户用水21吨，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题3分）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）能被整除；
（2）若能被整除，则或；
（3）若能被整除，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）将方程 变形为用x 的式子表示 y，那么 ．
12．（本题3分）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
13．（本题3分）写一个以为解的二元一次方程组 ．
14．（本题3分）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y是 ．
15．（本题3分）已知方程是关于的二元一次方程，则 ．
16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则方程组的解为 ．
17．（本题3分）如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为2.5，则关于x、y的方程组的解是 ．
18．（本题3分）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解方程组：
(1) (2)
20．（本题8分）解方程组
(1) (2)
21．（本题10分）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)若是该函数图象上的两点，求证：．
22．（本题10分）明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价．
(2)该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？
23．（本题10分）已知直线与直线的交点坐标为，
(1)试确定方程组的解．
(2)直接写出方程组的解．
24．（本题10分）阅读材料，回答问题．
解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可化为，解得即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法．
(1)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组中，的值为______，的值为______；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组
25．（本题10分）阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是的值是．
请你仿照以上做法解答下题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值。
(2)已知关于二次三项式有一个因式是，若另一个因式的值为0，且为非零整数，
①请你用含的式子表示；
②在①的条件下，求使得为整数的所有的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可．
【详解】解：A、方程组中方程不是整式方程，
∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意．
B、∵方程组中方程是二次方程，
∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
C、∵方程组含有三个未知数，
∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
D、方程组是二元一次方程组，符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键．将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
【详解】解：∵将代入原方程，左边右边，
∴A选项符合题意；
∵将代入原方程，左边右边，
∴B选项不符合题意；
将代入原方程，左边右边，
∴C选项不符合题意；
∵将代入原方程，左边右边，
∴D选项不符合题意．
故选：A．
3．D
【分析】此题考查了解二元一次方程．把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：把代数式改写成用含x的式子表示y的形式是．
故选：D
4．C
【分析】本题考查求两条直线的交点问题，联立两个函数解析式，求出交点坐标即可．
【详解】解：联立，得：，
∴既在直线上，又在直线上的点是；
故选C．
5．B
【分析】本题考查了列二元一次方程组；由小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，根据小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．列出方程组即可．
【详解】解：小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，
根据题意得：，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数购买排球的总钱数”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．
【详解】解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得，
，
则，
∵x、y均为正整数，
∴、或、或、或、，
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了根据一次函数的交点求解二元一次方程组的解，解题的关键是掌握一次函数的交点是对应二元一次方程组的解，据此求解即可.
【详解】解：由图像可得，函数和的图象交于点P的坐标为，
则二元一次方程组的解为，
故选：B
8．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论．
【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
则工厂有40名工人，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查一次函数的应用，求一次函数的解析式，利用待定系数法求函数表达式是解题的关键．
（1）根据“每吨水费=水费用水吨数”计算即可；
（2）利用待定系数法求出时y关于x的函数表达式，计算当时对应y的值即可；
（3）利用待定系数法求出y与x的函数解析式表示为分段函数即可；
（4）根据图象，判断函数值为48时对应x的取值范围，从而把代入相应的函数进行计算．
【详解】基本段每吨水费（元），
（1）正确；
当时，
设y与x的函数关系式为（，为常数，且），
将，和，代入，
得，
解得，
，
当时， ，
（2）不正确；
当时，
设y与x的函数关系式为（为常数，且），
将，代入，
得，
解得，
；
当时，设y与x的函数关系式为（，为常数，且），
将，和，代入，
得，
解得，
；
综上所述，；
（3）不正确；
根据图象可知，，
对应x的取值范围是，
，
解得，
（4）正确；
综上所述，（1）（4）正确，（2）（3）不正确．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了因式分解的应用，整式除法，解三元一次方程组；
（1）因式分解，即可判断；
（2）因式分解，即可判断；
（3）由因式分解可设，展开对比系数得方程组，解方程组，即可判断；
理解因式分解，能对所给整式进行正确的因式分解是是解题的关键．
【详解】解：（1），能被整除，结论正确；
（2），则或，结论正确；
（3）能被整除，
将整式因式分解后，
有一个因式为，
设
，
，
，
解得：，
结论正确；
综上所述：（1）（2）（3）都正确，正确的个数为；
故选：D．
11．/
【分析】根据等式性质进行解答即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质，即等式两边加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
13．（答案不唯一）
【分析】同时满足二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解的定义即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及其解法，题目难度不大，只需满足条件即可．
14．
【分析】本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，把x看作是已知，可先移项，再系数化为1即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，是代入法解方程组的前提，掌握表示方法是解本题的关键．
15．2
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟记“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程”是解题关键．由二元一次方程的定义得到，，再代入计算即可．
【详解】解：方程是关于的二元一次方程，
，，
，
故答案为：2．
16．/
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】∵函数与的图象交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题，把代入，得出，则两个一次函数的交点；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：把代入，
解得，
函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式，
所以关于，的方程组的解是．
故答案为：．
18．14
【分析】本题主要考查了一次函数的最值．熟练掌握一次函数的图象与性质，确定两个函数图象的交点，函数的增减性，是解决问题的关键．
联立两个函数的解析式，得出两函数图象的交点坐标，接下来将自变量分成两段讨论m的值，最后比较得出结论即可．
【详解】联立两函数的解析式，得，，
解得，，
∴两函数图象交点为，
∵当时，，且的值随x的增大而减小，
∴当时，；
∵当时，，且的值随x的增大而增大，
∴当时，；
∴在的范围内，m的最大值为14．
故答案为：14．

19．(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法即可求解．
（2）利用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：，
将①式带入②式得：
，
解得：，
把带入①式得：
，
原方程组的解为：．
（2），
得：，
得：，
得：，
解得：，
将带入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法及加减消元法是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用加减法解方程组求出x和y的值即可解答；
（2）利用加减法解方程组，求出x和y的值即可解答.
【详解】（1）解：，
用②-①可得，
把代入①得，，
解得，
∴方程组的解为，
（2）
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把，代入一次函数，计算即可证明结论．
【详解】（1）解：由题意得
解得
（2）把分别代入得
，
．
22．(1)A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元
(2)当该商店购进A纪念品40件，B纪念品60件时，该店获利最大，最大利润是700元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用．
（1）可分别假设两种纪念品的进价，列出二元一次方程组求解；
（2）可设种纪念品的件数，列出一次函数，根据一次函数的性质可求．
【详解】（1）设种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：种纪念品每件的进价为15元，种纪念品每件的进价为25元；
（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意得
，整理得：
∵，∴随的增大而增大，
∵，∴当时，最大，最大值为700，
此时．
答：当该商店购进纪念品40件，纪念品60件时，该店获利最大，最大利润是700元．
23．(1)；
(2)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．
（1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
（2）根据中心对称的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线与直线的交点坐标为，
∴方程组的解为；
（2）解：如图，直线与直线的交点与点关于原点对称，
∴方程组的解为．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键．（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解；（2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解．
【详解】（1）解：设，，
原方程组可化为，
的解为，
，
故答案为：，；
（2）
设，，
原方程组可化为，
解得,
即，
解得，
原方程组的解为．
25．(1)另一个因式是，m的值是
(2)①，②
【分析】此题主要考查了因式分解的意义，一元二次方程根与系数的关系，正确假设出另一个因式是解题关键．
（1）直接利用已知例题进而假设出另一个因式是，求出答案即可．
（2）根据题意可得，再利用，可确定m的取值范围，再由，即可解答．
【详解】（1）解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
，
解得：，
所以，另一个因式是，m的值是．
（2）解：①设另一个因式是，
依题意得，，
展开得：，
，
另一个因式的值为0，
即，
，
；
②关于二次三项式有一个因式是，若另一个因式的值为0，
，
，
又为非零整数，
为除0外的任何整数，
由①可知：，且为整数，
当，
当，
当，
当，
答：使得为整数的所有的值有：．
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