2024年中考数学总复习验收卷（三）（含解析）

2024年中考数学总复习验收卷（三）
数学试卷
考试范围：初中；考试时间：120分钟；满分：120分
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）
A．37° B．43° C．53° D．54°
5．某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
6．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图所示，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
10．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法保留两位有效数字表示为_______．
12．函数的定义域为________．
13．如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是_____．
14．若圆锥侧面展开图是面积为的扇形，扇形的弧长为，则圆锥的高为______．
15．在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________．
16．图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点．交于点，连接．若的面积是3，则四边形的面积是______．
17．如图，在平面直接坐标系中，点A，，，…都在直线上，点B，，，…都在x轴上，且，轴，，轴，则的横坐标为______．（用含有n的代数式表示）
三、解答题（共7道大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分）
(1)
（2）因式分解：
19．（本题满分5分）解方程：
20．（本题满分8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比__________；
（3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是__________分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
21．（本题满分10分）如图，已知 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点 D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若 AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．
22．（本题满分10分）甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程y(千米)与行驶时间(小时)之间的关系如下图所示，请结合图像回答下列问题：
(1)甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h；
(2)求乙车行驶过程中，y与的函数关系式；
(3)在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？
23．综合与实践（本题满分12分）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF，则四边形BCEF为矩形．
设正方形ABCD的边长为1，则BD==．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形，∴∠A=∠BFE，∴EF∥AD，∴，即，∴BF=，∴BC：BF=1：=：1，∴四边形BCEF为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ；
（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；
（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ．
24．综合与探究（本题满分14分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】利用特殊角的三角函数值得到，然后根据相反数的定义求解即可．
【详解】∵，
∴的相反数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．D
【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方公式的展开即可得出答案．
【详解】解：A、和不是同类项，不能进行合并，故A不正确，不符合题意；
B、和不是同类项，不能进行合并，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、全完平方公式，解题的关键在掌握同类项的定义，合并同类项的法则，以及完全平方公式的展开式．
4．C
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据即可求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠FEG＝90°，
∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53°
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．A
【分析】将该组数据从小到大排列，根据中位数、众数得定义求解即可．
【详解】将该组数据从小到大排列得：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
∴中位数为：4，众数为：5，
故选：A．
【点睛】本题考查中位数与众数的确定，理解中位数的确定方法以及众数的定义是解题关键．
6．C
【详解】由俯视图易得最底层有5个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多有个．
7．A
【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【详解】解：当点P由点A向点D运动，即时，y的值为0；
当点P在上运动，即时，y随着x的增大而增大；
当点P在上运动，即时，y不变；
当点P在上运动，即时，y随x的增大而减小．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
8．B
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
∴摸到1个红球和1个蓝球的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．D
【分析】设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【详解】解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，
，
解得，3≤x≤9，
∵x为整数，也为整数，
∴x=3或6或9，
∴有3种购买方案．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．
10．C
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．．
【分析】根据科学记数法的定义、有效数字的定义即可得
【详解】由科学记数法的定义得：
由有效数字的定义得：保留两位有效数字为
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义、有效数字的定义，熟记各定义是解题关键．
12．且
【分析】根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域．
【详解】由题意得：且，
且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量取值范围时常常要考虑的．
13．AB=BE（答案不唯一）
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，AB=DC，
又∵AD=DE，
∴，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，则DC=BE，
∴ DBCE为矩形；
添加∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形；
添加CE⊥DE， ∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形．
故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
14．12cm##12厘米
【分析】根据圆锥的侧面积=×弧长×母线长，可得圆锥的母线长，然后可以利用勾股定理求得圆锥的高，即可求解．
【详解】解：设母线长为R，由题意得：
，
解得R=13cm．
设圆锥的底面半径为r，
则，解得：r=5，
故圆锥的高为：．
故答案为：12
【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题的关键是牢记圆锥的侧面积=×弧长×母线长．
15．7或5
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由求出BD，再求出BC的长．
【详解】解：如图，∵在Rt△ABD中，，，
∴，即：，
∴，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【点睛】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．
16．5
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数的几何意义得到，根据的中点，利用中线的性质和三线合一得到△OCE和△OAB的面积比为，代入可得结论．
【详解】解：连接，，过作，交轴于，
，反比例函数的图象经过的中点，
，，，，
，
∴CE⊥OB，
∴OE=BE，
，
，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
17．
【分析】根据题意，先求出、、的横坐标，总结规律，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，，
∴，
∵，轴，，轴，
∴，
∴，
，
∴，
即的横坐标为，
，即，
，
∴，
∴，
即的横坐标为，
，即，
，解得，
即的横坐标为，
综上可得，的横坐标为，
故答案为：
【点睛】此题考查了坐标规律的探索问题，涉及了一次函数的性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，得到点的坐标规律．
18．(1)
（2）
【详解】（1）解：
（2）解：．
19．，
【分析】根据题意先求出，再代入求根公式，即求出即可．
【详解】解：，
方程的系数分别是，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程的解，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）20％；（3）84．5分；（4）672人
【分析】（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~1000”这组的频数，从而补全频数直方图；
（2）用“70~80”这组的频数除以样本容量即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．
【详解】解：（1）8÷16％=50人，
50-4-8-10-12=16人，
补全频数直方图如下：
（2）m==20％；
（3）∵“50~80”分的人数已有22人，
∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，
∴中位数是分；
（4）人．
∴优秀人数是672人．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
21．(1)证明见解析；（2）AD=3
【分析】（1）连接OC，先证出∠OCA=∠DAC，得OC∥AD，再由平行线的性质得CD⊥OC，即可得出结论；
（2）连接BC，先由圆周角定理得∠ACB=90°，由角平分线定义得∠DAC=∠BAC=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BC=AB=2，AC=BC=2，进而得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵中，，
∴
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵于，
∴，
∴
∴，
∵为的半径，∴是的切线
（2）解：连接BC，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴BC=AB=2，AC=BC=2，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴CD=AC=，AD=CD=3．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
22．(1)100，60
(2)
(3)2.5小时或3.5小时
【分析】（1）根据图像信息，甲车的时间为4.8小时，乙车的时间为8小时，路程都为千米，利用速度等于路程除以时间可得结果；
（2）利用图中信息用待定系数法列方程可得解析式；
（3）有两种情况，一种情况是两车相遇之前相距80千米，一种情况是两车相遇之后相距80千米，利用路程相等列方程可得结果．
【详解】（1）解：甲车速度为 km/h，乙车的速度为 km/h．
（2）解：设与的关系式为，则
　解得：
与的函数关系式为．
（3）解：当两车相距80千米时，则
或
解得：或
答：在行驶过程中，两车出发小时或小时时，两车相距80千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，读懂图像中的信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和行程问题的数量关系是解题的关键．
24．（1）GH，DG，；（2）证明见试题解析；（3）6．
【详解】试题分析：（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=，由DC=DH+CH=1，得出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；
（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；
（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值．
试题解析：解：（1）由折叠可得：DG=HG，GH=CH，∴DG=GH=CH．设HC=x，则DG=GH=x．∵∠DGH=90°，∴DH=，∴DC=DH+CH=，解得x=，∴tan∠HBC===．故答案为GH、DG，；
（2）∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN∥EF，∴，即BP BF=BE BN，∴1×=BN，∴BN=，∴BC：BN=1：=：1，∴四边形BCMN是的矩形；
（3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．
24．(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，
【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
试卷第1页，共3页