第十章 三角形的有关证明专题2 活用“三线合一”巧解题（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
专题2 活用“三线合一”巧解题
方法指导：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程.
技巧一 利用“三线合一”求角
1.如图，房屋顶角 过屋顶 A 的立柱 屋檐 求顶架上的的度数.
技巧二 利用“三线合一”求线段
2.如图,在 中, DE于点E，若 且 的周长为 24,求 AE 的长.
技巧三 利用“三线合一”证线段(角)相等
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线, BE⊥AC 于 点 E, 求 证:∠CBE=∠BAD.
技巧四 利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD 平分∠BAC,E 是AD 上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB.
技巧五 利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图，在等腰直角三角形ABC中， BF平分 交BF 的延长线于点 D.求证：
技巧六 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6. 如图, 在 中, 于点 D,且求证：
参考答案
1. 解
.
2.解:△BDC的周长
∴AC=AD+CD=BD+CD=14.∴AB=AC=14.
∵AD=DB,DE⊥AB,
3.证明:∵AB=AC,AD是 BC边上的中线, BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD,∴∠CBE=∠BAD.
4.证明:如图,作EF⊥AC 于点F,
∵EA=EC,
∵AC=2AB,∴AF=AB.
∵AD平分∠BAC交 BC 于点 D,∴∠BAD=∠CAD.
在△BAE和△FAE中,
∴△ABE≌△AFE(SAS),∴∠ABE=∠AFE=90°.
∴EB⊥AB.
5.证明:如图,延长BA,CD交于点E.
由 BF 平分∠ABC,CD⊥BD,BD=BD,易得△BDC≌△BDE,∴BC=BE.
又∵BD⊥CE,∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,∴∠ABF=∠DCF.
又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,∴△ABF≌△ACE(ASA).
∴BF=CE.∴BF=2CD.
6.证明：如图，以点 A 为圆心，AB长为半径画弧交CD 于点E,连接 AE,则AE=AB,
∴∠AEB=∠ABC.
∵AD⊥BC,∴AD是 BE 边上的中线,即 DE=BD.
又∵∠ABC=2∠C,∴∠AEB=2∠C.
又∵∠AEB=∠CAE+∠C,∴∠CAE=∠C.∴CE=AE=AB.
故CD=CE+DE=AB+BD.
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