阜南县2023 2024学年第一学期高一期末联考
数学试题（北师大版）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的交集运算直接求解.
【详解】，，，
故选：A.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 3 C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义，可得答案.
【详解】，.
故选：D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数、指数函数的性质及函数奇偶性的定义即可求解.
【详解】解：对A：由指数函数的性质知，不具有奇偶性，故选项A错误；
对B：因为，所以为奇函数，又根据幂函数的性质知在上是增函数，故选项B正确；
对C：因为为偶函数，故选项C错误；
对D：因为在上减函数，故选项D错误.
故选：B.
4. 已知命题，则 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】全称命题的否定为特称命题,方法是：变量词，否结论.
的否定是： .
故选:
5. 5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：5张卡片中卡片上的数字为奇数的有张，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是；
故选：C
6. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C.
7. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.
【详解】因为为增函数,且,
根据零点存在性定理知的零点在区间内.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存性定理.属于基础题型.
8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据函数在上单调递增列出不等式组，然后通过计算即可得出结果.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，解得，实数的取值范围是，
故选：C.
【点睛】方法点睛：在根据分段函数的单调性求参数时，既要注意每一个区间内的函数的单调性，也要注意相邻两个区间的函数解析式之间的关系.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ）
A. 中位数为7 B. 中位数为7.5 C. 极差为9 D. 方差为2
【答案】BC
【解析】
【分析】AB选项，将数据从小到大排列，从而利用中位数的定义进行求解；C选项，利用极差的定义计算即可；D选项，先计算出平均数，从而计算出方差.
【详解】AB选项，按照从小到大排序如下：2,5,7,8,9,11，共6个数据，所以第3和第4个数据的平均数为中位数，即，A错误，B正确；
C选项，极差为，C正确；
D选项，平均数为，故方差为，D错误.
故选：BC
10. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A. B. y=t+1 C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.
【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.
函数的定义域是.
的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；
与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；
与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；
与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.
故选：BD．
11. 甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A. 恰好有1人命中的概率为 B. 恰好有1人命中的概率为
C. 至少有1人命中的概率为 D. 至少有1人命中的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A正确，B不正确．
2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C正确，D不正确．
故选：AC
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为 B. 函数是偶函数
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数有意义求解函数的定义域，进而判断AC选项；结合函数奇偶性的定义判断B选项；结合二次函数的性质求解函数值域，进而判断D选项.
【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，故AC错误；
对于B，由A知函数的定义域为，又，
所以函数是偶函数，故B正确；
对于D，因为，则，
所以函数值域为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如果事件A与事件B互斥，，那么_________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式即可得解.
【详解】因为事件A与事件B互斥，，
所以.
故答案为：.
14. 已知集合，若，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为集合，若，则，解得.
故答案为：.
15. 已知，则 _________________
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的概念直接求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
故答案为：
16. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出剩余10个数的平均数，进而根据方差公式得出的值，即可得出答案.
【详解】由题意知，，，
所以，
所以剩余的10个数的平均数为．
根据方差公式得，
，，
即，，
所以，
所以剩余的10个数的方差为．
故答案为：8.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）； （2）．
【解析】
【分析】
（1）利用对数的运算性质即可得出；
（2）利用根式与指数幂的互化、指数与对数的运算性质、对数恒等式化简求值．
【详解】解：（1）；
（2）
．
【点睛】本题主要考查指数与对数的运算性质，考查根式与指数式的互化，考查对数恒等式，属于基础题．
18. 解关于的不等式.
【答案】若，解集为；若，解集为；若，解集为
【解析】
【分析】找到不等式两个根和，通过讨论和1的大小解不等式即可．
【详解】不等式两个根为和．
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述：若，解集为；若，解集为；若，解集为
【点睛】此题考查二次函数解不等式，关键点比较两个根的大小就能较易写出解集，属于简单题目．
19. 已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|m－4≤x≤3m＋1}．
（1）求A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解出即可；
（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，从而求出m的取值范围，讨论即可.
【小问1详解】
由，
所以，即集合.
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集
所以有
当，满足题意，
当，满足题意，
故，即m的取值范围为：.
20. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
【答案】（1）70.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；
（2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
分．
【小问2详解】
在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，
其中两人得分都在的情况只有，共有1种，
所以两人得分都在的概率为．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明：函数在上单调递增．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质求出，再由求出，即可得到函数解析式，再检验即可；
（2）利用作差法证明即可.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，，
，而，解得，
，则的定义域为且，
即为奇函数，符合题意.
【小问2详解】
函数上单调递增，证明如下：
任意且，
则，
因为，所以，又因为，所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数；
22. 某企业生产某种电子设备的年固定成本为500（万元），每生产x台，需另投入成本（万元），当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，，若每台售价为100（万元）时，该厂当年生产的该电子设备能全部销售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
【答案】（1）；（2）年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得利润最大为1300（万元）
【解析】
【分析】（1）根据年利润的定义，销售收入减固定成本为500（万元）减每生产x台，投入成本（万元）求解。
（2）根据（1）的结果，求每一段的最大值，取最大的为分段函数的最大值.
【详解】（1）当时，有
当时，有，
∴；
（2）由（1）可得：当时，有，
∴时，y取得最大值为1100（万元），
当时，有（当且仅当时取等号）
即当时y取得最大值为1300（万元）
综上可得：年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得利润最大为1300（万元）.
【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，还考查了数学建模和解模的能力，属于中档题.阜南县2023 2024学年第一学期高一期末联考
数学试题（北师大版）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 3 C. D. 10
3. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知命题，则 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
5. 5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）
A B.
C. D.
6. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ）
A. 中位数7 B. 中位数为7.5 C. 极差为9 D. 方差为2
10. 下列函数中，与函数是同一函数是（ ）
A. B. y=t+1 C. D.
11. 甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A. 恰好有1人命中的概率为 B. 恰好有1人命中的概率为
C. 至少有1人命中的概率为 D. 至少有1人命中的概率为
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为 B. 函数是偶函数
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数值域为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如果事件A与事件B互斥，，那么_________.
14. 已知集合，若，则实数________．
15. 已知，则 _________________
16. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
18. 解关于的不等式.
19. 已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|m－4≤x≤3m＋1}．
（1）求A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
20. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明：函数在上单调递增．
22. 某企业生产某种电子设备的年固定成本为500（万元），每生产x台，需另投入成本（万元），当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，，若每台售价为100（万元）时，该厂当年生产的该电子设备能全部销售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
