2023-2024学年高中数学苏教版选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何 精选题练习（含解析）

2023-2024学年高中数学苏教版选择性必修第二册第6章空间向量与立体几何精选题练习
一、单选题
1．下列四对向量中，平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，空间四边形中，，且，则（ ）

A． B．
C． D．
4．设空间向量，，若，则实数k的值为（ ）
A．2 B． C． D．10
5．在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在棱长为2的正方体中，直线平面，是的中点，是线段上的动点，则直线与侧面的交点的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正四面体中，是的中点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．不存在点，使得直线与平面所成的角为
C．的最小值为
D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是
10．在长方体中，为的中点，点满足，则（ ）
A．若为的中点，则三棱锥体积为定值
B．存在点使得
C．当时，平面截长方体所得截面的面积为
D．若为长方体外接球上一点，，则的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．，，，四点共面 B．
C．直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为1
三、填空题
12．已知空间向量，则 ， ．
13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 .
14．如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .
四、解答题
15．如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，.

(1)证明：；
(2)若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
16．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
(1)证明：直线平面；
(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
17．如图，在三棱柱中，底面侧面.
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)在（2）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面⊥平面，点P在侧棱上．
(1)当P为侧棱的中点时，求证：⊥平面PBC；
(2)若平面与平面夹角的大小为，求的值．
19．已知四棱锥平面，四边形为梯形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)平面与平面的交线为，求直线与平面夹角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据“，使得”判断两个向量是否平行.
【详解】因为：，故A中的两向量不平行；
因为：，故B中的两向量不平行；
因为：，故C中的两向量平行；
因为：，故D中的两向量不平行.
故选：C
2．B
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.
故选：B.
3．A
【分析】由已知可得，结合求解即可.
【详解】如图所示，
因为，
又因为，
所以.
故选：A.
4．A
【分析】由向量平行的坐标表示求解．
【详解】由题意，解得．
故选：A．
5．D
【分析】建立空间直角坐标系，设，且，根据将表示为的函数，再换元求的范围即可.
【详解】
取的中点，连接，如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则.
因为是棱上一动点，设，且，
所以.
因为，所以.
令，则.
又函数在上为增函数，
所以线段的长度的取值范围为.
故选：D
6．A
【分析】先建立空间直角坐标系，设出点的坐标，保证四点共面，从而得到向量与平面的法向量垂直，进而分析得出的方程表示的轨迹是什么，求解即可.
【详解】分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系；
其中点，，
由于直线平面，设，如图所示：
在矩形中，易得，可得：，

可得点满足，从而，
设平面的法向量为，
且，，
可得，即，不妨取，
由于直线与侧面的交点，设点，
可得四点共面，
且，显然，
得方程，显然方程在平面内表示一条直线，
当时，点，此时两点重合，
当时，，点，设线段的中点为，此时两点重合，
从而可得直线与侧面的交点的轨迹为线段，
且，
故选：A.

7．A
【分析】借助空间向量线性运算计算即可得.
【详解】.
故选：A.
8．A
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解.
【详解】过点作交于点，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，所以，
所以两两互相垂直，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，为的中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，解得，即可取，
显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
故选：A.
9．BCD
【分析】方法一：AB选项，利用空间向量的方法判断；C选项，将的长度转化为与，距离之和，然后根据几何性质判断；D选项，利用函数的性质得到时最小，然后根据球的性质求弧长即可；
方法二：A选项，根据三垂线定理判断；B选项，利用空间向量的方法判断；C选项，将转化为平面上的长度，然后根据两点之间线段最短求最小值即可；D选项，根据题意得到球半径最小值为到的距离，然后根据球的性质求弧长.
【详解】方法一：

如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，,
，则，
对于A，因为为正方体，
所以，
由三垂线定理得，，
因为，平面，
所以平面，
是平面一个法向量，
假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错．
对于B，若存在，与所成角为，则或，或，
，不满足条件，
假设不成立，B对．
对于C，
．
表示与，距离之和，

，，C对．
对于D，，
时最小，，，
设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，，
因为，
所以球与面为圆心，为半径的圆弧，
因为，
所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确；

方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确；

对于B，同法一，B正确；
对于C，可将面与面摊平，，C正确．

对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为，
截面圆半径，
过作分别交，于，，，

球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确，
故选：BCD．
10．ACD
【分析】证明面即可得证三棱锥体积为定值；作出平面截长方体所得截面为矩形，计算面积即可；建系将的最小值转化为，计算即可.
【详解】对于A：因为为的中点，为的中点，所以，面，面，所以面，故A正确；
则到面的距离为定值，所以体积为定值．
对于B：在平面的投影为，
设在平面的投影为，则在直线上.
则平面，平面，所以，
若，，所以平面，
平面，则，
因为四边形为正方形，所以与不垂直，所以B错．
对于C：平面与平面重合，平面与平面重合，
所以延长会与有交点，因为，
所以延长与交于点，取中点，
则平面截长方体所得截面为矩形，所以面积为．故C正确；
对于D：长方体外接球球心为中点，半径为，
由阿氏球得，在直线上必存在一点，使得，
此时点在延长线上，且满足，
以为原点，建系如图，所以，则，
因为，所以．故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离即为三棱锥的高，即可得体积为定值；与长方体截面有关的问题，由点线面的位置关系需作出截面，然后计算面积等.
11．BD
【分析】根据直线的位置关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断C；根据空间距离的向量求法可判读D.
【详解】对于A，连接，则平面，平面，
平面平面，故不相交；
又，,平面，
故不平行，否则重合，不合题意，
即为异面直线，故，，，四点不共面，A错误；
对于B，以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，则，
则，即，故，B正确；
对于C，，则,
故，
而直线与所成角的范围为，故直线与所成角的余弦值为，C错误；
对于D，，
则点到直线的距离为，D正确，
故选：BD
12．
【分析】利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】因为，
所以，，，
所以，.
故答案为：；.
13．/
【分析】根据与平面的法向量垂直可求出的值，然后利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】由已知可得，且平面的一个法向量为，
则，则，解得，
因为，故点到平面的距离为.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为平面，则，，又四边形是正方形，
则，以为坐标原点，分别为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，且，则，
，，又是线段的中点，则，
则，，则，
设异面直线与所成角为，即，
则，所以，
即异面直线与所成角的正切值为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；
（2）利用台体体积公式求出，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.
【详解】（1）底面为平行四边形，
，.
，，
由余弦定理可得：，，
则，，
侧棱平面，平面，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，.
（2）四棱台中的体积为，
，
，
，解得：.
如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则有，所以
平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
16．(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）以为原点，分别以方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可证；
（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．
【详解】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系.
.
.
设平面的法向量为，
则由，取得.
因为，所以
解得.
所以，且平面，所以平面
（2）设平面的法向量为
则由，解得.
所以，
解得.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，再由线面垂直的判定定理即可证明结论.
（2），再求点到平面的距离，转化为求平面与平面间距离，进而即可求解；.
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）平面平面平面，
平面平面，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
平面，
平面.
（2）
因为，所以是等边三角形
过做垂直于于点
因为平面平面，所以
又于所以平面
平面与平面间距离大小为，即到平面的距离为.
.
（3）以为原点，及平面过点的垂线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
所以，
平面，
即为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
，
平面与平面的夹角的余弦值为
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形性质证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）由题意证明两两垂直，建立空间直角坐标系，设,求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合平面与平面夹角的大小为，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为为等边三角形，
所以，
因为为等边三角形，
所以，所以；
在等腰和等腰中，因为P为的中点，所以，
又因为，平面，
所以平面；
（2）如图，取的中点O，连接，则在等边和等边中，
有，所以为平面与平面的夹角．
因为平面平面，所以，即，
所以两两垂直，
以点O为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝a，
则，
因为P在上，设，，
则，
由，可得，
解得，
即．
显然平面ABC的一个法向量为，
设平面PBC的法向量为，
因为，
所以，即，
令，则，所以，
因为平面与平面夹角的大小为，
所以
所以．又，解得，
即.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到各线段长，由勾股定理逆定理得到垂直关系，得到线面垂直，进而得到面面垂直；
（2）解法一：作出辅助线，得到，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，由线面角的求解公式得到答案；
解法二：作出辅助线，得到，利用等体积法得到点到平面的距离，从而求出直线与平面夹角的正弦值.
【详解】（1）连接，过A作的垂线交于点，
因为四边形为梯形，，，

所以，因为，由勾股定理得，
又因为，所以，所以，
由勾股定理逆定理得，所以，
因为面面，所以，
与交于点，，所以平面，
因为面，所以平面平面；
（2）解法一：延长交于点，
因为平面，且平面，所以，
即为平面与平面的交线，
由（1）知，，，
因为面面，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：
所以，

设面的方向量为，
则，
令得，故，
设直线与平面的夹角为，
所以，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
解法二：延长交于点，因为面，且面，所以，
即为面与面的交线，
作于点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为面面，所以，
在中，，所以，
因为，，，所以，同理可得，
所以为等边三角形，
因为，，，
所以，
故，
，
设点到平面的距离为，由，
故，解得，

因为面，所以在中，，
设与平面得夹角为，则，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
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