2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第11章解三角形精选题练习（含解析）

2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第11章解三角形精选题练习
一、单选题
1．已知在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，且，那么一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．如图所示，已知圆的半径为2，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的俯角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．若中的内角所对的边分别为，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，则边的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（ ）
A．400 B． C．800 D．
二、多选题
9．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为边上的中点，则的最大值为
10．若的三个内角的正弦值为，则（ ）
A．一定能构成三角形的三条边
B．一定能构成三角形的三条边
C．一定能构成三角形的三条边
D．一定能构成三角形的三条边
11．在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
三、填空题
12．已知的内角所对的边分别为，已知，，则外接圆的半径为 ．
13．在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为 ．
14．在中，内角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为 .
四、解答题
15．已知在中，三边所对的角分别为，已知．
(1)求；
(2)若外接圆的直径为4，求的面积．
16．在中，的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知点在线段上，且，求长.
17．已知向量，满足，，．
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)求；
(3)在中，若，，求的面积．
18．在中，角的对边分别是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
19．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若的平分线交于，且，求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理得，
所以．
故选：D．
2．C
【分析】利用正弦定理对已知条件进行转化求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，，
即，
∴，
∵，
∴，故.
故选：C.
3．D
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
4．D
【分析】利用已知条件求出，再利用利用三角函数得到即可.
【详解】设与相交于，过作于，
，则，
在中，，则，
在中，，在中，，则，
所以.
故选：D
5．A
【分析】在中求得的值，中利用正弦定理求出的值，再在中求出即可．
【详解】在中，，，则，
在中，，，
由正弦定理得，解得，
在中，，
所以山的高度为.
故选：A
6．B
【分析】由，利用正弦定理得到，，从而A，B均为锐角，然后利用弧度制得到逐项判断.
【详解】解：因为，所以，则，又，则，所以A，B均为锐角，
如图所示：
则，因为，，所以，则，故B正确；
若均为锐角，则，，，故A，C，D错误；
故选：B
7．D
【分析】根据余弦定理以及三角形的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，即，
由于为钝角，所以，
解得，
所以的取值范围，也即的取值范围是.
故选：D
8．B
【分析】根据题意，过点作于点，可得，在中解三角形可得解.
【详解】如图，过点作于点，
，，
，，
在中，.
故选：B.
9．CD
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，利用正弦定理可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.
【详解】根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由，
因为，所以，故A错误；
由上可知：，故有两解，故B错误；
若为锐角三角形，
则，且，即，
由正弦定理可知：，故C正确；
若D为边上的中点，则，
由余弦定理知，
根据基本不等式有，当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故选：CD.
10．AD
【分析】根据正弦定理边角化，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A，由正弦定理得，
所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，
对于B，由正弦定理得，
例如，则，
由于，，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，
对于C, 由正弦定理得，
例如：、、，则、、，
则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；
对于D，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，
所以，故D正确，
故选：AD
11．AC
【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确；
由及正弦定理，可得,
化简可得.
因为，所以，所以，即.
因为，所以，故B错误；
因为，所以且，代入，
可得，解得，.
因为，，，
所以由正弦定理可得，
由，可得，
化简可得，解得或（舍），故C正确；
.
故选:AC.
12．/
【分析】利用正弦定理进行边角互化，或者利用余弦定理进行角化边，可得，再由正弦定理即可求出结果.
【详解】解法一：由正弦定理得，，
化简得，，
所以
由正弦定理得，因为，所以为正三角形，
由，
所以外接圆的半径．
解法二：由余弦定理得，，化简得，
因为，所以为正三角形，
由，得，所以外接圆的半径为．
故答案为：.
13．
【分析】由题意可得A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，则当最小时，需最小，当时，最小，结合题意可计算出此时的长度，即可得的最小值.
【详解】由，，故A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，
又，故最小时，需最小，当时，最小，
由，故此时，由正弦定理可得，
．
故答案为：.
14．/
【分析】利用进行化简得，再利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而利用三角形的面积公式可得答案.
【详解】由得，
化简得，又，∴，∴.
又，且，∴，
∴的面积，面积的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为．
所以，
又，则，因为，所以．
（2）由正弦定理，，则，
由余弦定理，，
解得或（舍去），
故的面积．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.
【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，
即，而，
所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
为三角形内角，则，而，于是，
在中，由正弦定理得，
所以.
17．(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）根据平面向量数量积的性质及定义即可求解；
（2）根据平面向量数量积的性质及定义即可求解；
（3）根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵，
∴＝＝0，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∴；
（3）由（1）知，
∴，
∴的面积为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题设条件求得，即得，在三角形中即可求得角；
（2）由（1）和可利用正弦定理将边分别用的三角函数表示，运用三角形面积公式，经三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，最后结合角的范围和三角函数的图象即得.
【详解】（1）由可得：，则.
由，又因，故得：.
（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，则：，
记的面积为，则
，
因，则，故，所以，面积的最大值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得.
（2）借助等面积法及基本不等式即可得.
【详解】（1），则，
由正弦定理可知：，
又，化简得，
即，
所以，，
即，因为，所以，从而；
（2）由题意可得：，
且，即，
化简得，即，
因为，所以
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9.
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