2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第10章三角恒等变换 精选题练习（含解析）

2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第10章三角恒等变换精选题练习
一、单选题
1．已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．已知函数在区间上恰好有两个最值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知的最大值为2，最小正周期为，是奇函数，则在区间上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列各式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在上有两个不相等的解，则
D．已知函数，当取最大值时，
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心
C．在区间上单调递减
D．在区间上有3个零点
三、填空题
12．已知，则m的值是 ．
13．已知，均为锐角，则 ．
14．已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同实根，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
16．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知函数．
(1)若，求函数在上的值域；
(2)若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值．
19．已知函数的最小正周期为.
(1)将化简成的形式；
(2)设函数，求函数在上的值域.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案.
【详解】因为，都是锐角，所以，
故，
又，所以，
所以
.
故选：B
2．D
【分析】由两角差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可得出的值，再利用可求得的值.
【详解】因为，则，，所以，，
由可得，
所以，，
所以，，故.
故选：D.
3．D
【分析】先把正切化为弦，再分别应用配角公式和正弦的二倍角公式化简即可.
【详解】，
则，
故选：D.
4．C
【分析】结合辅助角公式及正弦型函数图象与性质计算即可得.
【详解】由，当时，，
函数在区间上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知，
解得.
故选：C.
5．C
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】由，
由，
．
故选：C
6．B
【分析】根据，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.
【详解】因为都是锐角，则，
则，
所以
.
故选：B.
7．C
【分析】根据已知条件结合两角和的正切公式可得出关于的方程，由已知可得出，可得出关于的方程，求出的值，利用二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为为锐角，则，
则，
整理可得，解得，
所以，
.
故选：C.
8．A
【分析】由最大值和最小正周期可得和的值，再用三角恒等变换可求的解析式，进而由的奇偶性求得，从而利用余弦函数的单调性得到答案.
【详解】由题意得，，，，∴，则.
，即.
∵是奇函数，∴，，又，∴，
∴，∵，∴，
函数在上单调递减，在单调递增，
∴当，即时，取得最大值，即最大值为，
当，即时，取得最小值，即最小值为，
于是在区间上的值域为.
故选：A.
9．AD
【分析】利用三角公式逐一计算判断.
【详解】对于A：，正确；
对于B：，错误；
对于C：，错误；
对于D：，正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】根据图像求出函数的解析式，即可判断A选项，再由整体代换思想求出函数的对称轴，即可判断B选项；对于C，问题可转化为或在上有两个不相等的解，根据图像可求出a的范围，即可判断C选项；对于D，由降幂公式、两角和的正弦公式及辅助角公式进行化简求最值，即可判断.
【详解】对于A：因为周期，所以．
对于B：代入得，所以，
则，因为，所以，则，其对称轴为，所以是的对称轴．
对于C：因为，所以或，
因为，所以令，所以或有两个解，
结合的图像，与有一个交点，与有一个交点，共两个交点，所以符合题意，答案错误．
对于D：，
令，所以．
所以当时取到最大值，此时．
故选：ABD.
11．AC
【分析】化为，求出函数的周期判断A选项，根据解析式求对称中心纵坐标判断B选项，求出函数的个单调减区间为，而，判断C选项，令，求出或，求出函数在区间上零点个数判断D选项.
【详解】，，A对；
对称中心纵坐标为1，B错；
，则，即的一个单调减区间为
而，在上单调递减，C对；
，则或
或．
，；，；，；，
，在区间上有4个零点，D错．
故选：AC．
12．
【分析】由题意可得出，再由两角差的正弦公式化简即可得出答案.
【详解】由可得：
.
故答案为：.
13．
【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可．
【详解】因为，均为锐角，所以，
则，
所以.
故答案为： ．
14．/
【分析】画出函数的图象，结合图象得，根据对称性把转化为，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可.
【详解】方程在上有两个不同的实根
等价于与的图象在上有两个交点，
如图为函数在上的图象：
由图中可以看出当与有两个交点时，
有，且，此时，
所以
令，因为，则，所以，
记，，因为函数开口向上，且对称轴为，所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题以方程有根为背景考查了正弦函数的对称性及三角恒等变换、余弦型复合函数值域问题.解题的关键是把方程有根问题转化为函数交点问题，利用正弦函数对称性消元，从而转化为余弦型复合函数的最值问题，采用换元法，利用二次函数性质求解最值即可.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出，在所得等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值；
（2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，即可求得的值.
【详解】（1）解：因为，
则，
解得.
（2）解：因为，
又因为，则，，，所以，，
所以，.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
展开整理可得，
即，
解得（舍去）.
因为，所以．
（2）
．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式可求得的值；
（2）方法一：求出的取值范围，利用二倍角的降幂公式求出的正弦值和余弦值，即可得出的正切值；
方法二：由代值计算即可得解；
方法三：计算出的值，利用二倍角的正切公式可得出的方程，求出的取值范围，即可得出的值.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
，
，
所以．
（2）解：方法一：因为，所以，则，，
所以，，
则．
方法二：．
方法三：，解得或，
因为，所以，则，故．
18．(1)
(2)12，
【分析】（1）根据和的单调性可得在上单调递减，进而可求解；
（2）构造，根据，可得关于直线对称，进而可得，即可代入化简得的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.
【详解】（1）若，
因为函数和均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故，
所以函数在上的值域为．
（2），
显然：当时，，
由于方程有三个不等实根，所以必有，
令，则，显然有，
由，
得到，所以函数关于直线对称，
由，可得：，
于是，
，
①，
由可得：②，
将②代入①式可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
由于恰有三个不等实根，且，
所以，此时，
由可得，
故.
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.
（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用周期性求解，即可解答；
（2）利用诱导公式求得，然后根据正弦函数性质求解值域即可.
【详解】（1），
根据题意可得，解得，故.
（2）由（1）知，则，
所以当或时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
故在上的值域为.
答案第1页，共2页
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