2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第9章平面向量 精选题练习（含解析）

2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第9章平面向量精选题练习
一、单选题
1．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
4．已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2 B． C． D．3
6．在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．平行四边形中，，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
10．下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
11．若向量满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
12．已知，，则向量在上的投影向量的坐标为 ．
13．向量，满足，，，则 .
14．已知，，，若，则 .
四、解答题
15．已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
16．已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
17．在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
18．已知坐标平面内三点，，．
(1)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(2)若是线段上一动点，求的取值范围．
19．如图，点D是中BC边的中点，，.

(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可.
【详解】因为，
所以，
解得，
故选：A.
2．B
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为四边形为矩形，为中点，
所以，
所以.
故选：B
3．B
【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.
【详解】若存在非零实数使得，即，又，，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选 ：B
4．D
【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.
【详解】,
,
即,
.
故选：D.
5．A
【分析】先设，于是得到点O是的重心，则，再结合三角形面积公式即可求出的面积与的面积，进而得到答案.
【详解】不妨设，如图所示，

根据题意则，即点O是的重心，
取的中点，连接，则三点共线，且，
所以边上的高是边上的高的倍，
，即，
同理可得：，，
所以有，
又因为，
那么，
故的面积与的面积的比值为.
故选：A.
6．B
【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.
【详解】，不符合题意.
，符合题意.
，不符合题意.
，不符合题意.
故选：B

7．C
【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，代入坐标即可求得.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则
故选：C
8．C
【分析】根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得.
【详解】平面向量两两夹角相等，则或，
当时，即向量同向共线，则，
当时，
.
故选：C
9．ABD
【分析】根据向量的概念以及平行向量的概念判断求解.
【详解】对A, 有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误；
对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；
对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；
对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；
故选:ABD.
10．AD
【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.
【详解】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
11．BC
【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D.
【详解】对于A：因为，，
所以，所以，故A错误；
对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，且，
所以在上的投影向量为，故D错误；
故选：BC
12．
【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案.
【详解】因为，，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：.
13．
【分析】由题设条件可得，，，联立可得，即，即可得解.
【详解】由题意，，，
，，
，
.
故答案为：.
14．
【分析】根据向量的线性运算，结合向量的垂直关系，列方程可得解.
【详解】由，，得，
又，则，解得，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】根据数量积的计算规则计算.
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量基本定理求出答案；
（2）先求出，结合（1）中所求的，利用向量数量积公式求出的值.
【详解】（1）因为，所以，
由题得；
（2）由已知得，
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）设（），依题意可得，根据向量相等的坐标表示得到方程组，解得即可；
（2）设，，用的式子表示、，从而转化为关于的二次函数，即可求出的取值范围.
【详解】（1）设（），依题意可得，
又，，，所以，，
所以，解得，即.
（2）设，，
则，所以，则，
所以，
因为，所以当时取最小值，
当时取最大值，
所以的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，
所以；
（2）因为点G是的重心，
所以
.
（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，
又，所以，所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页