2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修三册第六章 计数原理 精选题练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修三册第六章 计数原理 精选题练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 363.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-05 22:04:31 | ||
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文档简介
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修三册第六章计数原理精选题练习
一、单选题
1．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（ ）
A．24 B．120 C．48 D．60
2．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插人节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
3．已知的展开式中含的项的系数是，则（ ）
A． B．
C． D．
4．“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
5．某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
6．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 龟算 珠算 和计数.某学习小组有甲 乙 丙3人，该小组要收集九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
7．若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
10．若，则的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
11．已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式中常数项是160
C．展开式共有6项 D．展开式所有项系数和是
三、填空题
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、廆术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种 ．（用数字作答）
14．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 .（用数字作答）
四、解答题
15．（1）求值：．
（2）己知，求x．
16．现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
17．已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求的值．
18．某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会．
(1)共有多少种选法；
(2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法．
19．已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
(1)求展开式中的系数的最小值；
(2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】将捆绑在一起，计算得到答案.
【详解】将捆绑在一起，共有种排法.
故选：C.
2．B
【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解.
【详解】这2个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故选：B
3．A
【分析】由二项式定理求出的展开式的通项公式，即可求解.
【详解】由题意，得，
的展开式的通项为，
令，得，则；
令，得，则，
所以展开式中含的项的系数为，
即，所以．
故选：A．
4．B
【分析】根据分组分配的组合问题，即可求解.
【详解】将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区，
所以派出方案种数为．
故选：B．
5．C
【分析】先确定个小品的安排方式，再安排其余个节目，根据分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】用表示不安排中间且不相邻的位置，则有，，，，，，，，，，，共种情况，
个小品有种安排方式；再安排其余个节目，共有种安排方式；
不同排法的种数有种.
故选：C.
6．D
【分析】根据题意，结合分组分配问题，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组，
然后将这3组分配给甲乙丙三个人，
所以不同的分配方案有.
故选：D
7．C
【分析】利用赋值法令、计算即可得.
【详解】令，则，即，
令，则，即，
故，
即，故.
故选：C.
8．B
【分析】根据，利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】，
则.
故选：B．
9．ABC
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算.
【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
10．AC
【分析】由组合数性质求解即可.
【详解】由组合数性质知，或，所以，或，
都满足且．
故选：AC．
11．AB
【分析】先通过展开式第3项的系数是60求出，然后利用二项式定理逐一判断即可.
【详解】的展开式第3项为，
则由已知可得，解得，A正确；
展开式的通项为，
令得，故展开式中常数项是，B正确；
展开式共有项，C错误；
令可得展开式所有项系数和是，D错误.
故选：AB.
12．20
【分析】先求出的展开式通项，然后分情况讨论，，从而可求解.
【详解】 的第项为，
令，解得，令，得，
代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为20.
故答案为：20.
13．10800
【分析】首先排歌曲和舞蹈，再排小品、相声、魔术，最后根据分步乘法即可得到答案.
【详解】先将歌曲和舞蹈节目排好，有种，
再将小品、相声、魔术这3个节目排好，有种，
则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
故答案为：10800.
14．120
【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解.
【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为.
故答案为：
15．（1）；（2）或
【分析】（1）利用组合数性质，即可求出结果.
（2）利用组合数性质，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
（2）由，得到或，解得或，
经验证，符合题意，所以或.
16．(1)16
(2)150
【分析】（1）由特殊元素优先的原则，先排球，再排，两球，其余小球任意排；
（2）把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
【详解】（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据所有二项式系数的和为列式求解；
（2）写出通项，令指数等于即可求得答案.
【详解】（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴解得．
18．(1)210
(2)140
【分析】（1） 由组合的定义即可求解；
（2）1：有2名队长，可以分选一名队长及分二名队长求解；法2：也可以从反面求解.
【详解】（1）解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法．
（2）法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长．
若选中1名队长，则有种选派方法；
若选中2名队长，则有种选派方法；
∴队长中至少有1人参加，有种方法．
法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法．
19．(1)49
(2)
【分析】（1）根据题意得，从而可得，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）可得，从而可得，令，求得，从而问题可解.
【详解】（1）根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为，
故当或时，的系数的最小值为49.
（2）由（1）知，则，，
因为的展开式的通项为，
令（*）即，因为，所以.
因为成立，所以，
所以.
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（ ）
A．24 B．120 C．48 D．60
2．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插人节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
3．已知的展开式中含的项的系数是，则（ ）
A． B．
C． D．
4．“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
5．某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
6．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 龟算 珠算 和计数.某学习小组有甲 乙 丙3人，该小组要收集九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
7．若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
10．若，则的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
11．已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式中常数项是160
C．展开式共有6项 D．展开式所有项系数和是
三、填空题
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、廆术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种 ．（用数字作答）
14．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 .（用数字作答）
四、解答题
15．（1）求值：．
（2）己知，求x．
16．现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
17．已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求的值．
18．某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会．
(1)共有多少种选法；
(2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法．
19．已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
(1)求展开式中的系数的最小值；
(2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】将捆绑在一起，计算得到答案.
【详解】将捆绑在一起，共有种排法.
故选：C.
2．B
【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解.
【详解】这2个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故选：B
3．A
【分析】由二项式定理求出的展开式的通项公式，即可求解.
【详解】由题意，得，
的展开式的通项为，
令，得，则；
令，得，则，
所以展开式中含的项的系数为，
即，所以．
故选：A．
4．B
【分析】根据分组分配的组合问题，即可求解.
【详解】将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区，
所以派出方案种数为．
故选：B．
5．C
【分析】先确定个小品的安排方式，再安排其余个节目，根据分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】用表示不安排中间且不相邻的位置，则有，，，，，，，，，，，共种情况，
个小品有种安排方式；再安排其余个节目，共有种安排方式；
不同排法的种数有种.
故选：C.
6．D
【分析】根据题意，结合分组分配问题，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组，
然后将这3组分配给甲乙丙三个人，
所以不同的分配方案有.
故选：D
7．C
【分析】利用赋值法令、计算即可得.
【详解】令，则，即，
令，则，即，
故，
即，故.
故选：C.
8．B
【分析】根据，利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】，
则.
故选：B．
9．ABC
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算.
【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
10．AC
【分析】由组合数性质求解即可.
【详解】由组合数性质知，或，所以，或，
都满足且．
故选：AC．
11．AB
【分析】先通过展开式第3项的系数是60求出，然后利用二项式定理逐一判断即可.
【详解】的展开式第3项为，
则由已知可得，解得，A正确；
展开式的通项为，
令得，故展开式中常数项是，B正确；
展开式共有项，C错误；
令可得展开式所有项系数和是，D错误.
故选：AB.
12．20
【分析】先求出的展开式通项，然后分情况讨论，，从而可求解.
【详解】 的第项为，
令，解得，令，得，
代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为20.
故答案为：20.
13．10800
【分析】首先排歌曲和舞蹈，再排小品、相声、魔术，最后根据分步乘法即可得到答案.
【详解】先将歌曲和舞蹈节目排好，有种，
再将小品、相声、魔术这3个节目排好，有种，
则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
故答案为：10800.
14．120
【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解.
【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为.
故答案为：
15．（1）；（2）或
【分析】（1）利用组合数性质，即可求出结果.
（2）利用组合数性质，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
（2）由，得到或，解得或，
经验证，符合题意，所以或.
16．(1)16
(2)150
【分析】（1）由特殊元素优先的原则，先排球，再排，两球，其余小球任意排；
（2）把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
【详解】（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据所有二项式系数的和为列式求解；
（2）写出通项，令指数等于即可求得答案.
【详解】（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴解得．
18．(1)210
(2)140
【分析】（1） 由组合的定义即可求解；
（2）1：有2名队长，可以分选一名队长及分二名队长求解；法2：也可以从反面求解.
【详解】（1）解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法．
（2）法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长．
若选中1名队长，则有种选派方法；
若选中2名队长，则有种选派方法；
∴队长中至少有1人参加，有种方法．
法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法．
19．(1)49
(2)
【分析】（1）根据题意得，从而可得，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）可得，从而可得，令，求得，从而问题可解.
【详解】（1）根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为，
故当或时，的系数的最小值为49.
（2）由（1）知，则，，
因为的展开式的通项为，
令（*）即，因为，所以.
因为成立，所以，
所以.
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