2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用 精选题练习（含解析）

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用精选题练习
一、单选题
1．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．记函数的导函数为，且函数，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．设定义在上的奇函数满足当时，，则函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数有两个不同的零点，符号表示不超过的最大整数，如，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．
C．
D．若，则的取值范围为
7．已知函数和有相同的最小值.若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
10．若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的单调递减区间是
B．在点处的切线方程是
C．若方程只有一个解，则
D．设，若对，使得成立，则
三、填空题
12．函数的单调增区间为 .
13．已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
14．已知定义在上的连续偶函数，其导函数为，当时，不等式成立，若对任意的，不等式恒成立，则正整数的最大值为 ．
四、解答题
15．已知函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
16．已知函数的图象在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
17．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．
18．设．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，关于的方程有两个不相等的实数解，求的取值范围．
19．已知．
(1)若在恒成立，求a的范围；
(2)若有两个极值点s，t，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
2．A
【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解.
【详解】因为，所以不是的零点，
当时，令，得，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，且当时，，如图所示，
所以当时，与的图象有且仅有两个交点，此时函数恰好有两个零点.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
3．D
【分析】求导得，代入求得，再代入即可.
【详解】，则，
即，解得，
，
故选：D.
4．A
【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.
【详解】，令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
5．D
【分析】结合奇函数的特点求出时的解析式，然后利用导数的几何意义求解切线的方程.
【详解】由题意，，解得，即当时，．
当时，，所以，
此时，故所求切线的斜率为，又，
故函数在点处的切线方程为，即．
故选：D．
6．D
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合条件列不等式求a的取值范围，举例判断B，由此判断A，结合零点存在性定理判断C，D.
【详解】函数的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，
函数在上至多只有一个零点，与条件矛盾，故舍去；
当时，由可得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为函数有两个不同的零点，可得，
所以，所以，
所以，故A错误，
由，可得，即与有两个交点，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，，当时，，又，
函数的图象如图所示，
不妨设，则，，
结合图象，若，此时，此时，故B错误；
因为，，所以，，
当时，，则，
当时，则，
所以，当时，，
此时，，故C错误，
因为，
若则，，，，
所以，，，
所以，
所以，
若，则，，，且，
所以，，，
所以，，
所以，，
又，所以，所以，故满足条件的不存在，
所以的取值范围为，故D正确，
故选：D.
【点睛】关键点睛：函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性，并结合零点存在性定理列关系式.
7．A
【分析】首先利用导数求出两个最小值，从而得到，再代入得，化简得，最后设新函数，利用导数求解其最大值即可.
【详解】依题意，，可知时，，此时单调递减；
时，，此时单调递增；
则时，取得极小值，也即为最小值；
又时，，此时单调递减；
时，，此时单调递增；
则时，取得极小值，也即为最小值.
由，解得.
因为，所以，
可知，且，所以，
令，则，当，此时单调递增；
当，此时单调递减；
故时，取极大值，也即为最大值.
故选：A.
【点睛】关键点点点睛：本题的关键是通过导数求出两函数最小值，从而解出，再代入减少变量得，最后设新函数，利用导数求出其最大值即可.
8．D
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】由已知得
．
故选：D．
9．AC
【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC
10．BCD
【分析】对A：利用基本不等式求得的最大值，即可求得目标式的范围，从而判断；对B：直接使用基本不等式，结合指数运算，即可判断；对C：构造函数，利用导数研究其单调性和值域，将转化为，即可判断；对D：构造函数，利用导数研究其最大值，结合适度放缩，即可判断.
【详解】因为，故可得，当且仅当取得等号；
对A：，故A错误；
对B：，当且仅当时取得等号，故B正确；
对C：令，，
故在单调递增，，即当，；
，又，即，解得，故；
故，也即，故C正确；
对D：令，则
，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故的最大值为；
由C可知，，则，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题CD选项的判断，解决的关键在于构造，以及，利用导数研究其单调性和最值，从而实现问题的解决.
11．BD
【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数的值域为，的值域为G，由求解判断.
【详解】函数，，，
令，得或；令，得；
可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图：

对于，由上述分析可得A错误；
，由，，得，
所以切线为，故B正确；
对于C，由方程只有一解，由图象可知，或，故C错误；
对于D，设函数的值域为，函数的值域为，
对于， ，，
对于，，，
若，，使得成立，
则，故D正确，
故选：BD.
12．
【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间.
【详解】函数，，
单调递增，单调递减，所以单调递增，
当时，，所以当时，，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
13．
【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合，通过直线与的图象相切时的临界值，即可求解的取值范围.
【详解】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
，两边平方后得，
所以的图象是以为圆心，半径为1，并且在轴的下半部分的半圆，
，，得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
如图，画出函数的图象：
直线恒过定点，当直线与相切时，
设切点，
，可得，由，解得：，
则切线的斜率为2，
当直线与，相切时，直线与半圆相切，由，解得：，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确画出函数的图象，并会根据直线与曲线相切，求直线的斜率.
14．5
【分析】由为偶函数，所以可整理为，
根据所给条件可构造函数，当可得，
函数在上单调递减，利用为奇函数再转化成当时，恒成立即可得解.
【详解】令，因为当时，不等式成立，
所以，所以，所以函数在上单调递减．
由题意得，且，
所以是奇函数，所以在上单调递减．
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，所以，所以．
因为，所以当时，上式显然成立．
当时，，令（），
所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以正整数的最大值为5．
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解，
（2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）当时，，
则，
令，由于，解得；
令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，故的值域为.
（2）若对任意，不等式恒成立，
则，故，
当时，，显然不满足题意，舍去，
当时，记，
则，
由于，令，则；
令，则或；
故在上单调递增，在上单调递减，
由于，
当时，即，此时在上单调递增，
故满足题意，
当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，
要使恒成立，则且，
解得，
综上可得
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据切线的方程可得，即可求解，
（2）求导，得函数的单调性，即可比较端点值以及极值点处的函数值得最值.
【详解】（1），，
所以，解得，
（2）由（1）得，
当，令，解得或，
故在和单调递增，在单调递减，
又，，
，
由于，，
所以
17．(1)
(2)
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，分类讨论的取值，即可结合函数的单调性求解极值.
【详解】（1）由题意，，则，
又，故所求的切线方程为．
（2）由题意，，故．
若，则，故当时，，当时，，
故当时，函数取到极小值；
若，则令，解得或，
要使函数在处取到极小值，则需，即，
此时当时，，当时，，当时，，满足条件．
综上，实数m的取值范围为．
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，求出函数的值域为，构造函数，其中，利用导数求出函数的最大值，可得出，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数的定义域为，且，
当时，对任意的，，
此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，由可得，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）解：由（1）可知，当时，函数的减区间为，增区间为.
所以，，
且当时，；当时，.
此时，函数的值域为，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，所以，对任意的，，
当且仅当时，，如下图所示：
对任意的，关于的方程有两个不相等的实数解，则，
故实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意转化为恒成立，令，求得，再令，利用导数求得，得到在单调递减，即可求解；
（2）根据题意，转化为是的两不等正根，即是的两不等正根，结合二次函数的性质，求得，进而求得的取值范围．
【详解】（1）解：由函数，因为在上恒成立，
即在恒成立，
令，可得，
令，可得，
所以在单调递减，所以，
所以恒成立，所以在单调递减，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
（2）解：因为有两个极值点，
可得是的两不等正根，
即是的两不等正根，则满足，解得，
则
，
所以的取值范围为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
答案第1页，共2页
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