2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章 复数 精选题练习（含解析）

2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数精选题练习
一、单选题
1．计算复数（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足：，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．复平面内，复数(为虚数单位)，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知，（i为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．3
5．若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则
7．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
8．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限 B．是一个纯虚数
C． D．
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点的坐标为
B．
C．z在复平面内对应的点与点关于原点对称
D．
11．已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
三、填空题
12．已知复数，那么 ．
13．i是虚数单位，若复数z满足，则 .
14．已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
四、解答题
15．已知，求．
16．已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．
(1)求复数z的模；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
17．已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
18．如图，向量与复数对应，把绕原点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数（用代数形式表示），写出你的思考过程．

19．在复平面内，菱形对角线交点为原点，且两条对角线长度之比为2：1，顶点对应的复数是，设，，三点对应的复数分别为，，，求，，，并计算出，，三点所对应的复数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用复数的除法运算法则求解即可.
【详解】，
故选：A.
2．C
【分析】先由条件解出复数并运算化简，然后求出.
【详解】由，得，
则.
故选：C
3．C
【分析】利用复数的除法运算求出复数及即可判断得解.
【详解】依题意，，
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
4．C
【分析】根据复数的乘法公式及复数相等即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故选:C.
5．B
【分析】利用复数相等的条件即可得解.
【详解】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，
故．
故选：B．
6．B
【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.
【详解】对于A，设，则，，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误．
故选：B.
7．A
【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
8．A
【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案.
【详解】，故.
故选：A.
9．BCD
【分析】先由复数的运算求出，共轭复数的概念求出，即可判断各选项的正误．
【详解】由题意得：，
对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；
对于B项：为纯虚数，故B项正确；
对于C项：，故C项正确；
对于D项：，故D项正确；
故选：BCD.
10．BCD
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的几何意义求解AC，根据共轭复数的概念求解B，根据模长公式即可求解D.
【详解】由题可得，
即在复平面内对应的点的坐标为，与点关于原点对称，A错误，C正确；
，B正确；
，D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可判断A；根据复数的除法运算即可判断B；根据向量的数量积的运算律求出与的夹角的余弦值即可判断C；结合C选项即可判断D.
【详解】因为，，，
所以，则，
对于A，，
故
，
，
所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，设与的夹角为，
若，则，
即，
即，所以，
所以，即与的夹角为，故C错误；
对于D，若，则，
则，
即，由C选项可知与的夹角为，
同理与的夹角为，与的夹角为，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】由复数的运算法则计算可得结果.
【详解】∵，
∴，
故答案为：
13．
【分析】计算，再确定共轭复数即可.
【详解】，，故.
故答案为：.
14．
【分析】l利用纯虚数的概念可求的值，再结合复数除法运算可求复数的值.
【详解】因为复数为纯虚数，可得，所以.
故答案为: .
15．
【分析】根据复数模的定义及模的性质求解.
【详解】因为，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.
（2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.
【详解】（1）解：设，则，
∴，
∴，，
∴，则；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得：，
即实数m的取值范围为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；
（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.
【详解】（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
18．
【分析】由复数代数表示法及其几何意义可知，把绕原点O按逆时针方向旋转120°得到后所对应的复数为，再由复数乘法即可求解.
【详解】因为向量与复数对应，若把绕原点O按逆时针方向旋转得到，
则由复数代数表示法及其几何意义可知，
所对应的复数为，
而，
因此所对应的复数为.
19．答案见解析
【分析】对于、、、是逆（顺）时针方向，及长度比长度为（）分类讨论，分别计算可得.
【详解】若、、、是逆时针方向，且长度比长度为，
则，，，
，，三点所对应的复数分别为，，；

若、、、是逆时针方向，且长度比长度为，
则，，，
，，三点所对应的复数分别为，，；

若、、、是顺时针方向，且长度比长度为，
则，，
，
，，三点所对应的复数分别为，，
；

若、、、是顺时针方向，且长度比长度为，
则，，
，
，，三点所对应的复数分别为，，
．

答案第1页，共2页
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