2023-2024学年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系达标练习（基础卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系达标练习（基础卷）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-05 20:58:58 | ||
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文档简介
2023-2024学年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系达标练习（基础卷）
一、单选题
1．如图，在边长为的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（ ）
A． B． C． D．
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小朋周末在公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长80米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小朋身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，，，，则的值是( )
A． B．2 C． D．
7．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题
9．如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是
10．在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，若测得坡道的坡度为，则相邻两树间的坡道距离为 ．
11．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
12．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是 ．
13．如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．则点B的坐标为 ； ．
14．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
15．如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为，点的仰角为，点到建筑物的距离为米，则 米．
16．如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．
三、解答题
17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．
18．在中，，求的长．
19．如图，在菱形中，于点E， ，．
(1)求的长．
(2)则的值．
20．如图，在中，．
(1)求的长；
(2)延长至，使，连接，直接写出的值．
21．如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接．
(1)若与相似，求t的值；
(2)连接、，若，求t的值．
22．如图，图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板长为1.7米，与地面的夹角为，支架长为，为，手柄与地面平行．求跑步机手柄的一端距离地面的高度．（精确到）（参考数据：，，，，，）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．根据网格结构找出所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】解：如图，，，，
，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了余弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中，余弦等于邻边与斜边的比．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，根据坡度的定义可知，的比值和的长度，即可求的值，即可解题．
【详解】解：如图：
根据题意知∶，，
设，则，
则，
解得∶ ，(舍去)，
∴他的高度上升了，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，如图，过点A作于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作于C，
在中，，
则（米），
故选：A．
5．C
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故选C．
6．B
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，欲求的值，只需通过解直角三角形求得的值即可．
【详解】解：设菱形边长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
7．C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
8．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握、、角的三角函数值是解题的关键，按照题中所给式子进行运算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
故选：B．
9．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，连接，利用勾股定理计算出，然后利用勾股定理的逆定理可得到，再根据正切的定义进行计算即可，利用勾股定理的逆定理推动出为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，，，
∴为直角三角形，，
∴，
故答案为：．
10．
【详解】如图，坡度为，即．
【易错点分析】如果对株距、坡度、坡道距离不理解，就不能正确画出图形，不能够准确地把实际问题转化为解直角三角形的问题．
11．/30度
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
12．/0.6
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】∵四边形为矩形，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，
∴，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．
13． /
【分析】①由题意，过点B作于H，根据，，可得，即可得出；
②根据题意，，可得，所以，在中，可得．
【详解】解：①如图，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴点B的坐标为；
故答案为：；
②∵，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
14．5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．
15．/
【分析】根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案；
【详解】在 中，
则
在 中，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．
【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可．
【详解】解：设海里，
依题意得，，，海里，
海里，海里，
海里，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键．
17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴和是直角三角形，
∵，
∴设，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得（舍），，
∴，，
即点A的坐标为：，点B的坐标为：．
18．12
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据菱形的性质得到等式，即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，然后证明便可计算答案．
【详解】（1）解：，，
，
设，则，
菱形，
，
，
解得，
；
（2）解：，
由（1）可得，
在，由勾股定理可得，
菱形，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角函数值，勾股定理的应用，菱形的性质以及平行线的性质，熟练掌握三角函数值和勾股定理的应用是解题的关键．
20．(1)6
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理．
（1）过A点作于D点，先根据求出的长，进而可知的长，再根据可求出的长，由此可得的长；
（2）作于F点，先根据勾股定理求出的长，再根据求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的值．
熟练掌握三角函数的定义及用面积法求三角形的高是解题的关键．
【详解】（1）解：过A点作于D点，
则，
，
，
．
，
，
．
（2）解：作于F点，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
21．(1)或
(2)
【分析】（1）分两种情况：①当时，；②当时，，再根据，，，，代入计算即可；
（2）过P作于点M，，交于点N，则有，，，根据，得出，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵中，，，，
∴根据勾股定理得：，
①当时，，
∵，，，，
∴，
解得，；
②当时，，
∴，
解得，t＝；
∴或时，与相似；
（2）解：过P作于点M，，交于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
22．1.1米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题；
过点作于，交于．在中，根据三角函数可求，在中，根据三角函数可求，再根据即可求解．
【详解】解：过点作于，交于．
，
．
与地面的夹角为，为，
，
在中，，
则（米）．
在中，，
则（米）．
则（米）．
，
跑步机手柄的一端距离地面的高度等于为1.1米．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，在边长为的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（ ）
A． B． C． D．
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小朋周末在公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长80米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小朋身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，，，，则的值是( )
A． B．2 C． D．
7．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题
9．如图，在正方形网格中，点都在格点上，则的正切值是
10．在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，若测得坡道的坡度为，则相邻两树间的坡道距离为 ．
11．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
12．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是 ．
13．如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．则点B的坐标为 ； ．
14．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
15．如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为，点的仰角为，点到建筑物的距离为米，则 米．
16．如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．
三、解答题
17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．
18．在中，，求的长．
19．如图，在菱形中，于点E， ，．
(1)求的长．
(2)则的值．
20．如图，在中，．
(1)求的长；
(2)延长至，使，连接，直接写出的值．
21．如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接．
(1)若与相似，求t的值；
(2)连接、，若，求t的值．
22．如图，图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板长为1.7米，与地面的夹角为，支架长为，为，手柄与地面平行．求跑步机手柄的一端距离地面的高度．（精确到）（参考数据：，，，，，）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．根据网格结构找出所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】解：如图，，，，
，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了余弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中，余弦等于邻边与斜边的比．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，根据坡度的定义可知，的比值和的长度，即可求的值，即可解题．
【详解】解：如图：
根据题意知∶，，
设，则，
则，
解得∶ ，(舍去)，
∴他的高度上升了，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，如图，过点A作于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作于C，
在中，，
则（米），
故选：A．
5．C
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故选C．
6．B
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，欲求的值，只需通过解直角三角形求得的值即可．
【详解】解：设菱形边长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
7．C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
8．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握、、角的三角函数值是解题的关键，按照题中所给式子进行运算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
故选：B．
9．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，连接，利用勾股定理计算出，然后利用勾股定理的逆定理可得到，再根据正切的定义进行计算即可，利用勾股定理的逆定理推动出为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，，，
∴为直角三角形，，
∴，
故答案为：．
10．
【详解】如图，坡度为，即．
【易错点分析】如果对株距、坡度、坡道距离不理解，就不能正确画出图形，不能够准确地把实际问题转化为解直角三角形的问题．
11．/30度
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
12．/0.6
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】∵四边形为矩形，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，
∴，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．
13． /
【分析】①由题意，过点B作于H，根据，，可得，即可得出；
②根据题意，，可得，所以，在中，可得．
【详解】解：①如图，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴点B的坐标为；
故答案为：；
②∵，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
14．5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．
15．/
【分析】根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案；
【详解】在 中，
则
在 中，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．
【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可．
【详解】解：设海里，
依题意得，，，海里，
海里，海里，
海里，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键．
17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴和是直角三角形，
∵，
∴设，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得（舍），，
∴，，
即点A的坐标为：，点B的坐标为：．
18．12
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据菱形的性质得到等式，即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，然后证明便可计算答案．
【详解】（1）解：，，
，
设，则，
菱形，
，
，
解得，
；
（2）解：，
由（1）可得，
在，由勾股定理可得，
菱形，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角函数值，勾股定理的应用，菱形的性质以及平行线的性质，熟练掌握三角函数值和勾股定理的应用是解题的关键．
20．(1)6
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理．
（1）过A点作于D点，先根据求出的长，进而可知的长，再根据可求出的长，由此可得的长；
（2）作于F点，先根据勾股定理求出的长，再根据求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的值．
熟练掌握三角函数的定义及用面积法求三角形的高是解题的关键．
【详解】（1）解：过A点作于D点，
则，
，
，
．
，
，
．
（2）解：作于F点，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
21．(1)或
(2)
【分析】（1）分两种情况：①当时，；②当时，，再根据，，，，代入计算即可；
（2）过P作于点M，，交于点N，则有，，，根据，得出，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵中，，，，
∴根据勾股定理得：，
①当时，，
∵，，，，
∴，
解得，；
②当时，，
∴，
解得，t＝；
∴或时，与相似；
（2）解：过P作于点M，，交于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
22．1.1米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题；
过点作于，交于．在中，根据三角函数可求，在中，根据三角函数可求，再根据即可求解．
【详解】解：过点作于，交于．
，
．
与地面的夹角为，为，
，
在中，，
则（米）．
在中，，
则（米）．
则（米）．
，
跑步机手柄的一端距离地面的高度等于为1.1米．
答案第1页，共2页
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