2023-2024学年人教版九年级数学下册第二十七章相似达标练习（基础卷）（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学下册第二十七章相似达标练习（基础卷）
一、单选题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则=（ ）

A． B． C． D．1
3．如图，是菱形的对角线，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知，若， ， ，则AE的长是（　　）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
5．如图，小正方形的辺长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点，点E的横坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（ ）
A．180m B．60m C．45m D．30m
二、填空题
9．已知线段，，若线段c是a、b的比例中项，则 ．
10．已知，顶点A、B、C分别与、、对应，，、分别是它们的对应角平分线，则 ．
11．如图，矩形内接于，点在上，点分别在和边上，且边上的高，则矩形的面积为 ．
12．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm．
13．如图，已知直线，，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．
（1）若，，，则的长为 ；
（2）若，，则的长为 ．
14．如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有 个．
15．如图，的中线和中线相交于点G，如果，那么图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在中，，点D是的中点，连接，点E是上一点，且，点F是的中点，连接，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长．
18．如图，中，，点D、E分别在的边、上，且．
(1)求证：．
(2)如果 ，，，求的长．
19．如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G．
(1)求证：；
(2)请求出与四边形的面积之比．
20．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的小正方形，点、、都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，．
(1)在图中标出外接圆圆心点，点的坐标为______，圆半径是_____；
(2)已知与（点、、都是格点）成位似图形，位似中心的坐标是______，与位似比为_______．
22．如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据得到，结合相似三角形判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
当时，不能得到相似，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线可得即可求解．
【详解】∵，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由四边形是菱形，可得，，则可证得，，然后由相似三角形的对应边成比例，易求得，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．
【详解】解： ；
∴；
∵；
∴；
解得： ；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查网格中三角形相似，涉及相似三角形的判定、网格中求角度与线段长等知识，根据题中图形得到，，由三角形相似的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：中，，，
A、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
B、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
C、中的三角形（阴影部分），，则，由两个三角形相似的判定定理可知，，该选项符合题意；
D、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，
∴，，
∴
∴，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点是线段的黄金分割点，且，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】解：设这栋楼的高度为，
∵在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，
∴，
解得：．
故选：C．
9．6
【分析】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项平方等于两线段的积；
【详解】解：∵，，线段c是a、b的比例中项，
∴，
解得：，
故单位：6．
10．/
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据“两个三角形相似，其对应角的角平分线之比等于相似比”进行求解即可
【详解】解：∵且、分别是它们的对应角平分线，
∴，即，
故答案为：．
11．12.5//
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得,设，则，所以证明可得比例式，求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，,
∵是的边上的高，
∴
∴四边形是矩形，
∴
设，则，
∴
∵，
∴，
∴即，
解得，，
∴
∴矩形的面积为,
故答案为：12.5
12．4
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故答案为：4．
13． 10
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，
（1）根据平行线分线段成比例的性质得，再代入计算；
（2）根据平行线分线段成比例得性质得，再代入计算即可．
【详解】（1）∵，，，，
∴，
即，
解得；
故答案为：6．
（2）∵，，，
∴，
即，
解得．
故答案为：10．
14．3
【详解】设．在矩形中，，当时，．即．当时，，即．综上所述，使得以为顶点的三角形与相似，这样的点有3个．
【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的．
15．4
【分析】本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，即可得出结果．
【详解】解：连接并延长交于，则为的中线，
的三条中线、，交于点，
，，
，
，，
．
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线是斜边一半的性质，证明是解题的关键．连接，证明得，根据直角三角形斜边中线的性质可求得的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∵D是的中点，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出，进而得到，再根据两角对应相等两三角形相似即可证明；
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴
∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质；
（1）根据正方形的性质可得，求出，，即可证明；
（2）设正方形的边长是，则的面积是，的面积是，根据相似三角形的性质求出，，再计算出四边形的面积，然后计算即可．
【详解】（1）证明：∵在正方形中，，
∴，，
∴；
（2）解：连接，，
∵是的中点，
∴，
设正方形的边长是，则的面积是，的面积是，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为：，
∴与四边形的面积之比是，即．
20．
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案．
【详解】解:由题意知,,,
∴,
∴,
∵,,,
∴,解得:,
答:树高约是．
故答案为:．
21．(1)，；
(2)，．
【分析】（）如图中，作线段，的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，利用两点间距离公式计算即可；
（）如图中，由，推出点与点，点与点，点与点是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点即为所求；
本题考查了三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题．
【详解】（1）如图中，
作线段，的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， ，连接，
∴
故答案为：，；
（2）如图
由，推出点与点，点与点，点与点是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点即为所求；
观察图象可知，与位似比为，
故答案为：，．
22．秒或秒
【分析】本题主要利用相似三角形的判定，设经过秒和相似，先求出，，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：设经过秒，两三角形相似，则，，
①当与是对应边时，，
即，
解得；
②当与是对应边时，，
即，
解得．
故经过秒或秒，两个三角形相似．
答案第1页，共2页
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