2023-2024学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数达标练习（基础卷）（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数达标练习（基础卷）
一、单选题
1．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
2．把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线过四点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的顶点在轴上，则等于( )
A． B． C． D．
8．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
9．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
10．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．

12．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．（精确到1米）
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 ．

14．如图所示，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篦笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当 时，养鸡场的面积最大．

15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线；
乙说：与轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9．
请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式： ．
16．如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为 ．

三、解答题
17．二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为，求该二次函数的解析式．
18．已知抛物线（为常数）．
(1)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围．
(2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值．
19．已知抛物线过点和点
(1)求这个函数的关系式；
(2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
20．已知函数，
(1)当为何值时，此函数是一次函数？
(2)当为何值时，此函数是二次函数？
21．已知抛物线：经过点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值．
22．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，

(1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围；
(2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数（是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴且，
∴且．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变次项的系数∶关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
【详解】解：∵函数的顶点为，
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为，
∴将函数的图像向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵抛物线过，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴．
故选：C
4．B
【分析】本题考查了二次函数及一次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及一次函数的图象与系数的关系．根据一次函数和二次函数的图像确定a、c的符号，逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意；
B、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项正确，故符合题意；
C、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意；
D、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出与的正负，即可作出判断．
【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限，
，，即，，
则一次函数不经过第一象限．
故选A．
6．D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
7．D
【分析】顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是．根据顶点公式即可求得的值．
【详解】抛物线的顶点纵坐标是： 则
得到：
解得．
故选：D．
【点睛】考查了二次函数的性质，熟记二次函数顶点的坐标公式是解题的关键．
8．A
【详解】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．根据图象关于的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
【解答】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点，
根据图象可得关于的不等式的解集是：．
故选：．
9．
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：根据二次函数的顶点式可得，二次函数的图象的顶点坐标为．
故答案为：．
10．1
【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：1．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当、、三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．先求出，，如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，然后证明当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
；
抛物线解析式为，
；
如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，

，
，
当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，
的最小值，
故答案为：．
12．18
【分析】本题考查了二次函数的应用，无理数估算，掌握解法是解题的关键．可得，从而可求，，由即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
解得：，，
，，
(米)；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线开口向上，因此大于，越大抛物线开口越小，越小抛物线开口越大，因此抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值，由此可解．
【详解】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、，
点的坐标为．
抛物线开口向上，
，
当抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】根据题意可以得到鸡场的面积与鸡场的长度的函数关系式为，根据二次函数的性质可以解答.
【详解】解：设鸡场的面积为y平方米，则由题意可得，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，养鸡场的面积最大，
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质.
15．或
【分析】根据顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，求出顶点的纵坐标，进而得到定点坐标，根据对称性，得到两个交点坐标为，待定系数法进行求解即可．
【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点距离为6，顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，设顶点的纵坐标为，
则：与轴的两个交点分别为：，，
∴，
∴顶点坐标为或，
当顶点坐标为时，设抛物线的解析式为：，把代入，得：
，
∴；
∴；
当顶点坐标为时，同法可得：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．
【分析】由二次函数求出A、两点坐标，再求出点C的坐标，即可求出、得值，然后根据面积公式即可得出答案．
【详解】
，
令
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标是解题的关键．
17．
【分析】根据“当时，函数的最小值为”设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式．
【详解】解：∵当时，函数的最小值为，
∴设二次函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意设二次函数的解析式为是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）将一般式配成顶点式即可求解；
（2）由抛物线的对称轴及当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小可确定；分别求出当时和时的函数值，根据当时有最小值，可进一步确定的范围．即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线的顶点为
∵抛物线的顶点在第二象限
∴
解得：
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小
∴
当时，；当时，
∵当时有最小值
∴
解得：
综上：
∴整数的值为
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式、抛物线的对称轴和增减性等知识点．熟记相关性质是解题关键．
19．(1)
(2)当时，函数随的增大而增大
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．
（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而增大．
【详解】（1）解：把点和点代入得
，解得
所以这个函数的关系式为；
（2）解：这个函数的关系式为；
对称轴，
，
抛物线开口向下，
当时，函数随的增大而增大．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式．
20．(1)
(2)且
【分析】（1）一般地，形如（，为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定义进行作答即可．
（2）形如 （为常数，且）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作答即可．
【详解】（1）解：若函数为一次函数，
则有，
解得，
所以，当时，此函数是一次函数；
（2）解：若函数为二次函数，
则有，
解得且，
所以，当且时，此函数是二次函数．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义、解一元二次方程及解不等式等知识，理解并掌握一次函数和二次函数的定义是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）把代入进行计算即可得；
（2）抛物线：的顶点为，根据函数图象的平移得抛物线的顶点为，而关于原点的对称点为，把代入进行计算即可得．
【详解】（1）解：把代入得：，解得，
∴；
（2）解：抛物线：的顶点为，
将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则抛物线的顶点为，
而关于原点的对称点为，把代入得：
，
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法、平移变换等知识，解题的关键是掌握这些知识点．
22．(1)
(2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化，
【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可；
（2）四边形的面积为减去的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，
∴，，
∴的面积关于出发时间的解析式为．
（2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化，
．
【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页