2023-2024学年苏科版九年级数学下册第6章图形的相似达标练习（基础卷）（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学下册第6章图形的相似达标练习（基础卷）
一、单选题
1．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
3．以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点C的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
4．如图，在中，点D，E分别是边，上点，且，若，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，点，分别在上，，，的长（）
A．3 B．4 C．5 D．10
7．如图，在矩形中，，点分别在、边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
8．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　）
A．4 B．10 C． D．
二、填空题
9．设，则 ．
10．如果一个三角形的三边长分别为，，，与其相似的三角形的最大边为，则较大的三角形的面积为 ．
11．如图，，若，则的长 ．
12．如图，，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的长 ．
13．如图，在中，，，点在边上，且，点在边上．当 时，．
14．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、于点M、N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与四边形的面积比为，则的值为 ．

15．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，，各部分长度的比满足，已知，则的长为 ．（结果保留根号）
16．为了测量树木的高度，小壮把老师教学用的直角三角板直立于地面进行测量．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，则树高 m．
三、解答题
17．如图，在中，，求的长度．
18．已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：．
19．如图，正方形的边长为4，点在边上，，连接交于点，过点作，交于点．
(1)求的长；
(2)求的长．
20．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，，现有两动点分别从点同时出发，在线段上沿方向以的速度匀速运动，在线段上沿方向以的速度匀速运动．设运动时间为．在运动过程中，可以成为直角吗？若可以，请求出的值；若不可以，请说明理由．
22．如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．

(1)求的长；
(2)求点E到地面的高度的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，．
A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
故选D．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记定理内容是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
即：
若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，故A不符合题意；
若，则两边成比例，无夹角相等，故不能判定，故B符合题意；
若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定，故C不符合题意；
若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，故D不符合题意；
故选：B
3．D
【分析】此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：；
不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据，得到，在根据相似三角形面积比等于相似比平方得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
【详解】解：∵，
，
，
．
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案．
【详解】解：矩形矩形，且面积比为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选A
8．B
【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
，四边形与四边形相似，
，
，
，
四边形的周长：四边形的周长，
四边形的周长．
故选：B．
9．
【分析】本题考查比例性质，直接根据比例性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
以三边长为，，的三角形是直角三角形
与其相似的三角形的最大边为
这两个三角形的相似比为
设较大的直角三角形的两条直角边分别为
则，
，
较大的三角形的面积为
故答案为：．
11．4
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
由，利用平行线分线段成比例定理，可得出，代入，可求出的长，再结合，即可求出结论．
【详解】解：∵，
故答案为：4．
12．或1或6
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，分、两种情况利用相似三角形的性质分别列比例求解即可；学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
①如果，
则，
又∵，
∴；
②如果，
则，
即，
又∵，
∴是一元二次方程的两根，解得，
∴或6．
综上，可知或1或6．
故答案为：或1或6．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应边成比例，即可求得．
【详解】解：由题意可知，，，，
∵，
∴=，=，
解得，
∴当时，．
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、尺规作图——平行线，根据平行线的作法得，进而可得，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：与四边形的面积比为，
，
依题意得：，
，
，
则的值为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．依据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，，各部分长度的比满足，，
∴，
故答案为：．
16．6
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．
【详解】解：由题意可得，，
，
，
，
即，
解得，
∴树高，
故答案为：6．
17．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例；
（1）利用正方形性质，证明，可得，再根据平行线分线段成比例列式求出，即可求解．
（2）根据平行线分线段成比例列式求解即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
．
20．(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可；
（2）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，则，即可得出；
（3）由（1）知：，则，根据三角形外角的性质可得，，则，、、、四点共圆，由点恰好落在以为直径的圆上，可得，则点也落在以为直径的圆上，连接，则，，根据含角的直角三角形的性质可得，即可得．
【详解】（1）解：证明：是等边三角形，
，，
，
，
在与中，
，
；
（2）过点作交于，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
的值；
（3）连接，
由（1）知：，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
点恰好落在以为直径的圆上，
，
点也落在以为直径的圆上，
，
，
连接，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质．
21．，．
【详解】解：在矩形中，．∵当为直角时，，．，．
【易错点分析】当为直角时，很容易想到，则，解得．发现少了一个解，这是因为由可以得到为直角，而为直角时不必然得到，当时，点分别运动到点，此时与不存在了，但是为直角
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在实际问题中抽象出相似三角形模型是解答本题的关键．
（1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定证明，，再利用三角形相似性质列出比例式，得到方程，即可求出答案；
（2）由可证，然后利用三角形相似的性质列出比例式，得到方程，即可求出答案．
【详解】（1）光在镜面反射中的反射角等于入射角，
，
，
，
，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）由题意可得：，
，
，
，
解得：，
答：点到地面的高度的长为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页