人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 提优检测卷（含解析）

二次根式提优检测卷（原卷版）
总分 150分 时间 120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若是正整数，最小的正整数n是（　　）
A．6 B．3 C．48 D．2
3．如果，那么（　　）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
4．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠3 D．m≥﹣1且m≠3
5．若x﹣y，xy，则代数式（x﹣1）（y+1）的值等于（　　）
A．2 B． C． D．2
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）
A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b
7．下列各数中与2的积是有理数的是（　　）
A．2 B．2 C． D．2
8．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（　　）
A． B． C．7 D．
9．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A．9 B．8或10 C．13或14 D．14
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．比较大小：3　 　．（选填“＞”、“＝”或“＜”）
12．化简　 　．
13．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是　 　．
14．已知a、b满足a﹣b+1，则ab的值为　 　．
15．若x3，则的值为　 　．
16．若，则的值是 　 　．
17．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数．例如：min{1，2}＝1．因此，min{}＝　 　；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　．
18．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（20分）计算：
（1）2； （2）（）﹣1（1）0﹣|2|；
（3）； （4）（3）（3）﹣（1）2．
20．（10分）（1）已知y8x，求的平方根；
（2）当﹣4＜x＜1时，化简2．
21．（10分）已知x，y．
（1）求x2+xy+y2．
（2）若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求ax+by的平方根．
22．（12分）观察、思考、解答：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2
反之3﹣22﹣21＝（1）2
∴3﹣2（1）2
∴1
（1）仿上例，化简：；
（2）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
（3）已知x，求（） 的值（结果保留根号）
23．（8分）小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积．
24．（10分）一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
25．（10分）阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，我们来进行以下的探索：
设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn
，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：　 　﹣　 　（　 　﹣　 　）2
（3）a﹣4（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．
26．（10分）阅读下列解题过程：
1；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①　 　；②　 　；
（2）应用：求的值；
（3）拓广：　 　．
第16章 二次根式提优检测卷（解析版）
总分 150分 时间 120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根．
2．若是正整数，最小的正整数n是（　　）
A．6 B．3 C．48 D．2
思路引领：先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值．
解：4，由于是正整数，所以n的最小正整数值是3，
故选：B．
总结提升：此题考查二次根式的定义，解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简．
3．如果，那么（　　）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
思路引领：根据二次根式的性质（a≥0，b≥0）得出x≥0且x﹣6≥0，求出组成的不等式组的解集即可．
解：∵，
∴x≥0且x﹣6≥0，
∴x≥6，
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的乘除法的应用，注意：要使成立，必须a≥0，b≥0．
4．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠3 D．m≥﹣1且m≠3
思路引领：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案．
解：依题意得：．
解得 m≥﹣1且m≠3．
故选：D．
总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件，本题属于基础题型．
5．若x﹣y，xy，则代数式（x﹣1）（y+1）的值等于（　　）
A．2 B． C． D．2
思路引领：将所求代数式展开，然后将（x﹣y）和xy的值整体代入求解．
解：原式＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣11﹣1＝22；
故选：B．
总结提升：此题主要考查了整体代入在代数求值中的应用．
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）
A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b
思路引领：现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，
：|a|＞|b|，
则a+b＜0，
原式＝﹣a﹣[﹣（a+b）]＝﹣a+a+b＝b．
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
7．下列各数中与2的积是有理数的是（　　）
A．2 B．2 C． D．2
思路引领：利用平方差公式可知与2的积是有理数的为2．
解：（2）（2）＝4﹣3＝1；
故选：D．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算；熟练掌握运算规律是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（　　）
A． B． C．7 D．
思路引领：先根据两个小正方形的面积求出两个小正方形的边长，从而可求大正方形的边长，可得大正方形的面积，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得出两个长方形的面积和．
解：∵两小正方形的面积分别是2和5，
∴两小正方形的边长分别是和，
∴大正方形的边长为（），
则大正方形的面积为（）2＝25＝7，
∴两个长方形的面积和为72﹣5．
故选：B．
总结提升：本题考查完全平方公式以及二次根式，解题时注意运用数形结合的思想．
9．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
思路引领：根据最简二次根式的定义，判断即可．
解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、2，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、a（a≥0），不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：A．
总结提升：本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
10．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A．9 B．8或10 C．13或14 D．14
思路引领：分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为13；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为14．
综上可知，三角形的周长为13或14．
故选：C．
总结提升：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．比较大小：3　＞　．（选填“＞”、“＝”或“＜”）
思路引领：求出3，再比较即可．
解：3，
故答案为：＞．
总结提升：本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
12．化简　 　．
思路引领：根据二次根式的性质解答．
解：∵π＞3，
∴π﹣3＞0；
∴π﹣3．
总结提升：解答此题，要弄清性质：|a|，去绝对值的法则．
13．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是　 　．
思路引领：将n代入n（n+1），比较＞15还是≤15，若＞15输出结果；若≤15，再输入，直到结果大于15是输出结果即可．
解：将n代入n（n+1），
得（1）＝215，
∴将n＝2代入n（n+1），
得（2）（3）＝6+52＝8+515，
故答案为8+5．
总结提升：本题考查了实数的运算，找出运算的公式是解题的关键．
14．已知a、b满足a﹣b+1，则ab的值为　 ．
思路引领：直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵a+3，
若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，
故a＜2，
∴2﹣a＝a+3，
∴a，
∵a﹣b+1，
∴a﹣b+1＝1或0，
∴b或，
∴ab＝±．
故答案为：±．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的值是解题关键．
15．若x3，则的值为　 　．
思路引领：先将被开方数分解因式，再把x代入二次根式，运用平方差公式进行计算．
解：∵x3，
∴
1．
总结提升：主要考查了二次根式的化简和因式分解以及平方差公式的运用．
注意最简二次根式的条件是：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．
上述两个条件同时具备的二次根式叫最简二次根式．
16．若，则的值是 　　．
思路引领：先变形得到7，两边平方后得到，则，然后计算．
解：∵7，
∴7，
两边平方得6﹣x＝49﹣1411﹣x，
∴，
∴7，
∴．
故答案为：．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，利用整体的数学思想解决问题．
17．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数．例如：min{1，2}＝1．因此，min{}＝　　；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　﹣1或2　．
思路引领：通过比较与的大小填空；通过先比较（x﹣1）2与x2的大小，然后根据新定义运算法则得到方程并解答．
解：∵，
∴min{，}；
∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
∵（x﹣1）2﹣x2＝x2﹣2x+1﹣x2＝1﹣2x，
∴当x时，则x2＝1，
∴x＝﹣1或1（舍），
当x时，则（x﹣1）2＝1，
解得：x＝2或0（舍），
综上所述：x的值为﹣1或2．
故答案为：；﹣1或2．
总结提升：此题主要考查了实数的比较大小，新定义，关键是正确理解题意和分情况讨论．
18．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　73　．
思路引领：找出一系列等式的规律为n（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可确定出a+b的值．
解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
总结提升：此题考查了二次根式的性质及化简，找出题中的规律是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（20分）计算：
（1）2；
（2）（）﹣1（1）0﹣|2|；
（3）；
（4）（3）（3）﹣（1）2．
思路引领：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算；
（3）利用二次根式的乘除法则运算；
（4）利用平方差公式和完全平方公式计算．
解：（1）原式＝434
＝43
＝2；
（2）原式＝﹣2﹣21﹣（2）
＝﹣2﹣21﹣2
＝﹣3；
（3）原式2
＝42
＝4；
（4）原式＝32﹣（）2﹣（3﹣21）
＝9﹣5﹣（4﹣2）
＝4﹣4+2
＝2．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）（1）已知y8x，求的平方根；
（2）当﹣4＜x＜1时，化简2．
思路引领：（1）根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得到y的值，代入代数式求出代数式的值，最后求平方根即可；
（2）根据完全平方公式对原式进行变形，根据二次根式的性质化简即可．
解：（1）∵2x﹣1≥0，1﹣2x≥0，
∴2x﹣1＝0，
解得x，
∴y＝4，
∴原式4，
∴4的平方根是±2；
故原式的平方根是±2；
（2）∵﹣4＜x＜1，
∴原式2
＝|x+4|﹣2|x﹣1|
＝x+4+2（x﹣1）
＝x+4+2x﹣2
＝3x+2．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，平方根，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
21．（10分）已知x，y．
（1）求x2+xy+y2．
（2）若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求ax+by的平方根．
思路引领：（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出x+y和xy的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；
（2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
解：（1）x2，y2，
x+y＝（2）+（2）＝2，xy＝（2）×（2）＝5﹣4＝1，
x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（2）2﹣1＝19；
（2）∵23，
∴42＜5，02＜1，
∴a2﹣42，b＝0，
∴ax+by＝（2）（2）+（2）×0＝5﹣4＝1，
∴ax+by的平方根是±±1．
总结提升：本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出x+y和xy的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键．
22．（12分）观察、思考、解答：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2
反之3﹣22﹣21＝（1）2
∴3﹣2（1）2
∴1
（1）仿上例，化简：；
（2）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
（3）已知x，求（） 的值（结果保留根号）
思路引领：（1）根据题目中的例题可以解答本题；
（2）根据题目中的例题，可以将变形，从而可以得到m、n、a、b的关系；
（3）先化简x，然后再化简所求的式子，再将x的值代入即可解答本题．
解：（1）；
（2）a＝m+n，b＝mn，
理由：∵，
∴，
∴a＝m+n，b＝mn；
（3）∵x，
∴（）
＝﹣1．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．
23．（8分）小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积．
思路引领：根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为4cm，2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（24）cm，
∴空白部分的面积＝（24）×4﹣12﹣16
＝816﹣12﹣16
＝（﹣12+8）cm2．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
24．（10分）一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
思路引领：（1）根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
解：（1）∵一个三角形的三边长分别为5，，，
∴这个三角形的周长是：
5
；
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是：．
总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式的意义．
25．（10分）阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，我们来进行以下的探索：
设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn
，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：　 　﹣　 　（　 　﹣　 　）2
（3）a﹣4（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．
思路引领：（1）利用完全平方公式把（m﹣n）2展开即可得到用含m，n的式子分别表示出a，b；
（2）利用（1）中的表达式，令m＝2，n＝1，则可计算出对应的a和b的值；
（3）利用（1）的结果得到2mn＝4，则mn＝2，再利用m，n都为正整数得到m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，然后计算对应的a的值即可．
解：（1）∵a﹣b（m﹣n）2，
∴a﹣bm2﹣2mn+5n2，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn；
（2）取m＝2，n＝1，
则a＝4+5＝9，b＝4；
（3）∵2mn＝4，
∴mn＝2，
而m，n都为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
当m＝2，n＝1时，a＝9；
当m＝1，n＝2时，a＝21．
即a的值为9或21．
故答案为m2+5n2，2mn；9，4，2，1．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26．（10分）阅读下列解题过程：
1；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①　　；②　　；
（2）应用：求的值；
（3）拓广：　﹣1　．
思路引领：（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．
解：（1）①；
②；
故答案为：；；
（2）
1
1；
（3）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：此题主要考查了分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键．