广西百所名校2023-2024学年高二下学期入学联合检测数学试题（含解析）

高二年级2024年春季学期入学联合检测卷
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列的首项为，公比为，则该数列的第3项为（ ）
A． B． C．6 D．9
2．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．在空间直角坐标系中，已知平面，的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
5．在四面体ABCD中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知过点的直线l与圆M：交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为．从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（参考数据：取，）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若直线：，：，：，：，则（ ）
A． B．与之间的距离为
C． D．与的倾斜角互补
10．在数列中，，且，则（ ）
A． B．为等比数列
C． D．为等差数列
11．已知，分别是椭圆M：的左、右焦点，点P在椭圆M上，且，则M的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．抛物线的准线方程为________．
13．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线：和：上，且AB的中点为，则________，直线AB的一般式方程为________．
14．已知向量在向量上的投影向量的模为，则________，使为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16．（15分）
已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上不同的两点，且直线AB的斜率为5，线段AB的中点为Q，证明：点Q在直线上．
17．（15分）
如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，△PAB是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，，，E为棱PD的中点．
（1）证明：平面PAB．
（2）求直线BE与平面PAC所成角的正弦值．
18．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
19．（17分）
已知A，B为抛物线C：上的两点，△OAB是边长为的等边三角形，其中O为坐标原点．
（1）求C的方程．
（2）过C的焦点F作圆M：的两条切线，．
（i）证明：，的斜率之积为定值．
（ii）若，与C分别交于点D，E和H，G，求的最小值．
高二年级2024年春季学期入学联合检测卷
数学参考答案
1．A 该数列的第3项为．
2．B 因为，所以曲线在点处的切线的斜率为．
3．D设，，则，所以与的夹角的余弦值为．
4．B 椭圆的上顶点为，双曲线的渐近线方程为，则椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．
5．C 由题意得
6．C 易知，分别是递增、递减数列．设函数，则在上单调递增，
所以在上单调递增，所以是递增数列．
7．D 因为，所以点P在圆M内．易得，当时，取得最小值，且最小值为．
8．C 由题意得甲、乙每天的生长速度均为等比数列，两个等比数列分别设为，，其前n项和分别设为，，则，．
由，得
解得或（舍去），
由，得．
因为
所以n的最小值为8．
9．BCD 由，得，所以与重合，，A错误，C正确．
与之间的距离为，B正确．
因为与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，D正确．
10．ABD 因为，且，
所以，，A正确，C错误．
因为，所以，又，
所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3，
所以，所以，
所以为等差数列，且公差为3，B，D均正确．
11．AC 由题意得
则，．
由，，得，即，
得，
所以M的离心率的取值范围为．故选AC．
12． 因为，所以，所以抛物线的准线方程为．
13．1；由题意得，得．
设，
由
得
即，，则直线AB的方程为，即．
14．5；（或）
因为，所以．
通过计算可得，当或时，均不是整数，
当时，．由此可得新数列为5，18，31，44，……，该数列是首项为5，公差为13的等差数列，
所以．
15．解：（1）设的公差为d，则， 2分
解得， 4分
所以 6分
（2）由（1）知， 8分
所以 9分
11分
（或） 13分
16．（1）解：因为， 1分
所以根据双曲线的定义可知，点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为4的双曲线的右支． 3分
由，，得，， 5分
所以C的方程为 7分
（2）证明：设，，
则 8分
两式相减并整理得 9分
设，依题意可得 10分
所以， 11分
即，
所以 13分
即，所以点Q在直线上． 15分
【注】第（1）问中C的方程也可以写为，
若C的方程写为，扣1分．
17．（1）证明： 2分
，即． 3分
平面平面ABCD，平面平面， 4分
平面PAB． 5分
（2）解：如图，分别取AB，BC的中点O，F，连接OP，OF．
，平面PAB． 6分
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 7分
则，，，，， 9分
，， 10分
设是平面PAC的法向量，则 11分
令，得，则 12分
故直线BE与平面PAC所成角的正弦值为 15分
18．解：（1），则 1分
令，得，． 2分
当时，，在上单调递增． 3分
当时，令，得，令，得， 4分
所以在，上单调递增，在上单调递减． 5分
当时，令，得，
令，得， 6分
所以在，上单调递增，在上单调递减． 7分
（2）当时，在上单调递增，则，
所以满足题意． 9分
当时，在处取得极大值，在处取得极小值， 10分
所以
解得 12分
当时，在处取得极大值，在处取得极小值， 13分
所以 15分
解得 16分
综上，a的取值范围为 17分
19．（1）解：易知A，B关于x轴对称，连接AB，交x轴于点M（图略）．
不妨设，则，
由题意得
得 2分
则，得． 4分
故C的方程为． 5分
（2）（i）证明：由（1）得，易得，的斜率均不为0，
设：，：．
由 6分
得，
同理可得 7分
则m，n可以看作方程的两根，
易得，
所以 8分
所以，的斜率之积为，是定值． 9分
（ii）设，，，，
由
得 10分
易得，则 11分
所以， 12分
同理可得 13分
由，得，
则得，， 14分
所以
， 16分
当，即时，
取得最小值，且最小值为 17分