2023-2024学年辽宁省大连市九年级（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省大连市九年级（下）期初数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的图象一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
3.下列事件中属于必然事件的是( )
A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B. 在装有个黄球和个白球的盒子中摸出一个球是红球
C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上
D. 七年级名学生中至少有名学生生日是同一天
4.如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，是正五边形的外接圆，点为上的一点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，，：：，：：，则：的值为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
7.如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列说法正确的是( )
A. 旋转中心是点
B. 旋转角是
C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转
D. 旋转角是
8.如图，中，点在线段上，连接，要使与相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是( )
A.
B.
C.
D.
9.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是( )
A. B. C. D.
10.初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，轴表示级部参赛人数，轴表示竞赛成绩的优秀率该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值，其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是( )
A. 甲乙丙丁 B. 丙甲丁乙 C. 甲丁乙丙 D. 乙甲丁丙
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若反比例函数图象的一支在第三象限，则的取值范围是______．
12.若点，，都在二次函数为常数的图象上，则，，的大小关系是______．
13.把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，中，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，于点，若，则的值为______．
15.如图，矩形中，，，是线段上一动点，连接并将绕顺时针旋转得到线段连接，直线交于设，，则与之间的函数关系式为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为．
求该二次函数的解析式并画出它的图象；
当时，结合函数图象，直接写出的取值范围；
直线与抛物线和直线的交点分别为点，点，点位于点的上方，结合函数的图象直接写出的取值范围．
17.本小题分
九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深寸，锯道长尺如图，已知弦尺，弓形高寸，注：尺寸问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
18.本小题分
“清远市年的首场马拉松比赛”共设两个项日，分别是“半程马拉松”公里和“迷你马拉松”约公里．
为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如表调查：
调查总人数
参加“述你马拉松”人数
参加“迷你马拉松”频率
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为______；精确到
小明来自北京市，小军来自长沙市、小红来自清远市、小丽来自广州市四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
19.本小题分
如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，，使，，与交于点已测得，，，求河宽．
20.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点
求这两个函数表达式；
根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
21.本小题分
如图，为的直径，为延长线上的一点，为上一点，于点，交于点，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
22.本小题分
小蕾家与外婆家相距，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小蕾回家．两人在服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示．
求小蕾从外婆家到服务区的过程中，与之间的函数关系式；
小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
23.本小题分
如图，正方形的边长为，射线是外角的平分线，点在边上运动不与点、重合，点在射线上，且，与相交于点，连结、、．
求证：；
求的周长用含的代数式表示；
试探索：点在边上运动至什么位置时，的面积最大．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点为且开口向下，
抛物线一定经过第三，四象限，
故选：．
根据抛物线的顶点坐标和开口方向求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，根据解析式开口方向及顶点位置求解．
3.【答案】
【解析】解：、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件，故A不符合题意；
B、在装有个黄球和个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件，故B不符合题意；
C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、七年级名学生中至少有名学生生日是同一天，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：四边形是圆内接四边形，
，
而，
，
而，
．
故选：．
根据圆内接四边形的对角互补得到，而与为邻补角，得到．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
是正五边形，
，
，
故选：．
连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：，
，
：：，
，
即，
：：，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出，，求出，，再求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟记平行线分线段成比例定理是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
7.【答案】
【解析】解：、由旋转的性质可知，通过旋转得到，它的旋转中心是点，故选项A不符合题意；
B、，
旋转角为，故选项B不符合题意；
C、两个三角形，既可看成是顺时针旋转又可看成是逆时针旋转，旋转角都是，故选项C符合题意；
D、旋转角是或，故选项D不符合题意；
故选：．
由旋转的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，由旋转的性质得出旋转中心为点是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：在与中，由于，若添加或，
满足“两角对应相等的两个三角形相似”，故要使与相似，可添加一个条件或．
在与中，由于，若添加，即，
满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使与相似，可添加一个条件．
在与中，若添加，由于不能说明，也不能说明三边对应成比例，
故要使与相似，不能添加一个条件．
故选：．
利用相似三角形的判定定理，逐个试验得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，．
故选：．
直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数，
描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
甲、丁两级部的优秀人数相同，
点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，
乙级部的的值最大，即优秀人数最多，丙级部的的值最小，即优秀人数最少，
故选：．
根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定乙级部的优秀人数最多，丙级部的优秀人数最少，甲、丁两级部的优秀人数相同．
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：的图象的一支在第三象限，
，
解得．
故答案为：．
先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果．
本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
12.【答案】
【解析】解：由二次函数为常数可知，对称轴为直线，
，
二次函数开口向上，当时，函数取得最小值，即最小，
且在时，随的增大而增大，
而点的对称点为，
，
．
故答案为：．
先求出二次函数的开口方向，对称轴，再找到点的对称点为，由自变量范围并结合函数的增减性来判断、、的大小．
本题考查了二次函数的增减性质，利用增减性来比较函数值的大小．熟悉二次函数增减性和找到点的对称点是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据点绕坐标原点旋转得到点，可知、两点关于原点对称，
点坐标为，
故答案为．
根据中心对称的性质解决问题即可．
本题主要考查了旋转的性质及关于原点及轴对称的点的坐标的特点．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
又曲线位于第一象限，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质以及反比例函数中的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，
古答案为：
过点作于，由“”可证≌，可得，，由相似三角形三角形的性质可表示出，再表示出即可求解；
本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键．
16.【答案】解：当时，二次函数的最小值为，
二次函数的图象的顶点为，
二次函数的解析式可设为，
二次函数的图象经过点，
．
解得．
该二次函数的解析式为；
如图，
当时，；当时，，
当时，；
由图象可得或．
【解析】设顶点式，再把代入求出得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
根据图象可得答案；
先画出直线，则可得到直线与抛物线的交点坐标为，，然后写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
17.【答案】解：设的半径为．
，
，
在中，，，，
则有：，
解得：，
的直径为寸．
【解析】设的半径为在中，，，，则有，解方程即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：．
故答案为：；
小明来自北京市记为甲，小军来自长沙市记为乙、小红来自清远市记为丙、小丽来自广州市记为丁，
画树状图如下：
共有种等可能的情况，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有种，
则恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率为．
利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
画树状图，共有种等可能的情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
即，
解得．
答：河的宽度为．
【解析】求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
20.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：．
点在上，
．
．
将点，代入，得．
．
一次函数的解析式为：．
一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围为：或．
【解析】将的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值，然后将的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．最后将、的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式．
根据图象即可求得．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据待定系数法求出两函数的解析式，注意数形结合，本题属于中等题型．
21.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
在中，，
，
设，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
或舍去，
的半径为．
【解析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质，可得，从而可得，进而可得，即可解答；
根据已知可设，，从而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得是的中位线，即可求出，然后证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质可得，最后再证明∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及切线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
把代入，得，
从服务区到家的时间为：小时，
小时，
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了小时．
【解析】设与之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可；
根据“时间路程速度”，求出从服务区到家的时间即可解答．
本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式．
23.【答案】证明：过点作于，如图所示：
则，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
解：≌，
，
在中，，
，
，
由知，，
是等腰直角三角形，，
把绕点逆时针旋转至位置，如图所示：
则，，，
，
，
在和中，
≌，
，
的周长；
解：设，
由得：，
则的面积
当，即点在边中点时，的面积最大，最大值为
【解析】过点作于，则，证出是等腰直角三角形，得出，，证出，证明≌，即可得出；
证出，得出是等腰直角三角形，，把绕点逆时针旋转至位置，则，，，得出，进而得出，证得≌，得到，据此解答即可；
设，由得，则的面积，由平方数的非负性质即可得出答案。
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键。
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