2023-2024学年湖南省长沙市开福区重点学校七年级（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市开福区重点学校七年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒，截止到年月日，全球新冠肺炎确诊病例超万例将万用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.下列所示的四个图形中，和是同位角的是( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 是三次三项式 B. 的系数是
C. 的常数项是 D. 是单项式
5.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. B. C. D.
6.如图，下面哪个条件能判断的是( )
A.
B.
C.
D.
7.下列是根据等式的性质进行变形，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路，这样做的理由是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 过一点可以作无数条直线 D. 两点确定一条直线
9.如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点点不在直线，，上，设，下列各式：，，，，的度数可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，则 ______， ______．
12.若，则多项式的值是______。
13.若是关于的一元一次方程，则 ______．
14.若点、、在一条直线上且，，则线段的长为______．
15.如图，，若，，则______．
16.对于正数，规定，例如：，，，，利用以上规律计算：的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
．
．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
如图，点是线段上一点，且，．
试求出线段的长；
如果点是线段的中点，请求线段的长．
21.本小题分
甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短．
求乙三角形第三条边的长；
甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由；
22.本小题分
已知，如图，在直线上，在直线上，若，．
求证：．
若，求．
23.本小题分
列方程解应用题：
某社区超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：注：获利售价进价
甲 乙
进价元件
售价元件
该超市将第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？
该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
24.本小题分
知识背景：已知，为有理数，规定：，，例如：，．
知识应用：
若，求的值；
求的最值；
知识迁移：若有理数，，满足，且关于的方程有无数解，，求的值．
25.本小题分
如图，直线与直线、分别交于点、，与互补．
试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
如图，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：；
如图，在的条件下，连接，是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
根据科学记数法的表示形式解答．
此题考查科学记数法的表示方法．
3.【答案】
【解析】解：图中，和是同位角，
故选：．
利用同位角定义进行解答即可．
此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成““形．
4.【答案】
【解析】解：、是二次三项式，故此选项错误；
B、的系数是，故此选项错误；
C、的常数项是，故此选项错误；
D、是单项式，故此选项正确．
故选：．
直接利用多项式以及单项式的相关定义分析得出答案．
此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
根据数轴上点的特征可得，且，据此逐项判断可求解．
本题主要考查数轴，有理数的乘法及加法，掌握数轴上点的特征是解题的关键．
【解答】
解：由数轴可知：，且，故A选项错误；
所以，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
故选：．
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定逐项判断即可得出答案．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等式的性质．
根据等式的性质进行逐一判断即可．
【解答】
解：若，则，故A选项错误，不符合题意；
B.若，则，故B选项错误，不符合题意；
C.若，则，故C选项错误，不符合题意；
D.若，则，故D选项正确，符合题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：
因为从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
所以过点作于点，这样做的理由是垂线段最短．
故选：．
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
9.【答案】
【解析】解：由翻折知，，
，
，
故选：．
由轴对称的性质可求出的度数，可由式子直接求出的度数．
本题考查了翻折变化轴对称的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
10.【答案】
【解析】解：如图过点作，
，
，
，，
．
如图，过作的平行线，
又有，
，，
．
如图过点作，
，
，
，，
．
如图，由，可得，
．
当点在的下方时，同理可得，或．
综上所述，的度数可能为，，，．
故选B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
11.【答案】
【解析】解：，
，，解得，．
故答案为：，．
先根据非负数的性质求出、的值即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方与绝对值都是非负数是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
原式，
故答案为：。
原式后两项提取变形后，把已知等式代入计算即可求出值。
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
13.【答案】
【解析】解：根据题意知：且．
解得．
故答案是：．
根据一元一次方程的特点求出的值．只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是是常数且．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
14.【答案】或
【解析】解：当在线段上时：；
当在的延长线上时，；
故答案为：或．
A、、在同一条直线上，则可能在线段上，也可能在的延长线上，应分两种情况进行讨论．
考查了两点间的距离，本题是求线段的长度，能分清有两种情况，正确进行分类讨论是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，
，
故答案是．
根据平行线的性质得到，，求出的度数，根据代入即可求出答案．
本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能灵活运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：因为，
，
，
，
，，
，
，
所以，，，，
所以
．
故答案为：．
按照定义式规定，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可．
本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
原式
．
【解析】利用有理数混合运算法则，掌握正确的运算顺序即可求解．
本题考查的是有理数混合运算，掌握有理数运算法则是解这道题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
【解析】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．
去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．
【解析】移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解是多少即可．
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解是多少即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
20.【答案】解：因为，，
所以．
所以．
因为点是线段的中点，
所以．
因为，
所以．
【解析】本题主要考查了线段中点的意义，两点之间的距离，正确使用线段的中点的意义是解题的关键．
求出线段，用可得结论；
利用线段中点的意义，求出线段，用即可．
21.【答案】解：第二条边长为，第三条边比第二条边短．
第三条边长：．
答：乙三角形第三条边的长是．
乙三角形的周长为：．
甲、乙三角形的周长的差为：．
因为，所以甲三角形的周长较大．
答：甲三角形的周长大．
【解析】第三条边比第二条边短，所以用第二条边长减去，求得第三条边长．
先将乙三角形的三条边相加得到乙三角形的周长，再用甲三角形的周长减去乙三角形的周长，所得的差大于，说明甲三角形的周长大；所得的差小于，说明乙三角形的周长大．
本题考查了因式分解的计算，关键根据题意写对式子．
22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
；
解：由知，
，
，
，
，
．
【解析】求出，推出，根据平行线的性质和已知推出，根据平行线的判定即可推出．
由平行线的性质可得，又根据平行线的性质即可求出．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟练掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键．
23.【答案】解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
则，
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品两种商品分别为件或件．
设第二次乙种商品是按原价打折销售，
根据题意得：，
解得：．
答：第二次乙商品是按原价打折销售．
【解析】设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出该超市购进甲、乙两种商品各多少件；再根据总利润单件利润销售数量，列式计算即可求出结论；
设第二次乙种商品是按原价打折销售，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程，根据总利润单件利润销售数量列式计算；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】解：因为，，
所以，
所以，，
所以；
，
因为表示点到和的距离之和，
所以，
所以有最小值；
知识迁移：整理得，
因为方程有无数解，
所以，
所以，
所以；
所以；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以
．
【解析】本题考查新定义，绝对值，理解定义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
根据题中的新定义列出等式，再利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果；
根据题中的新定义列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出最小值即可；
知识迁移：求出，，再计算绝对值即可．
25.【答案】解：如图，，
与互补，
．
又，，
，
；
如图，由知，，
．
又与的角平分线交于点，
，
，即．
，
；
的大小不会发生变化，理由如下：
平分
的大小不会发生变化，其值为．
【解析】利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角、互补，所以易证；
利用中平行线的性质推知，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证；
利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得；然后由图形中角与角的和差关系求得即可．
本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
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