2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的( )
A.
B.
C.
D.
2.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定
4.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. 且 D. 且
5.如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边，若，下面四个结论中，错误的是( )
A. 该圆的半径为
B. 的长为
C. 平分
D. 连接，，则与的面积比为
6.将一元二次方程配方后所得的方程是( )
A. B. C. D.
7.将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的解析式为( )
A. B. C. D.
8.一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支若在个主干上的主干、支干和小分支的总数是个，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在半径为的内有两条互相垂直的弦和，，，垂足为，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，已知圆锥的母线长为，底面半径长为，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为度．( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在矩形中，，，点，，，分别是，的三等分点，连接，，，，，对角线与，，，，分别交于点，，，，设，，的面积依次为，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.抛物线的顶点坐标是______．
14.一布袋中放有一个红和两个黄球，它们除颜色处其他都一个样．童威从中摸出一个球放回后再摸出一个球，则两次摸到的球都是黄球的概率是______．
15.的三边，，的长度是的解，则的周长是______．
16.若二次函数的最小值为，则的值是______．
17.在平面直角坐标系中，将点绕点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为______．
18.如图，已知顶点为的抛物线过点，则下列结论：对于任意的，均有；；若点，在抛物线上，则；关于的一元二次方程的两根为和；；其中正确的有______填序号．
三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解下列方程：
；
．
20.本小题分
某小区外面的一段长米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图所示，那么恰好能够停放辆车．
备注：，，
如果长方形的边与街道的边缘成角，那么按图，图中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？
如果按照图中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
21.本小题分
年月日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲密切协同，圆满完成出舱活动的全部既定任务某校准备从甲、乙两名女生和丙、丁两名男生中随机选人代表学校参加某市组织的中学生“航天知识竞赛”．
如果已经确定女生甲参加，再从其余人中随机选取人，那么女生乙被选中的概率是______．
用列表法或画树状图法求所选代表恰好为名女生和名男生的概率．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边相交．
如图，当反比例函数的图象经过的顶点时，若，求反比例函数的表达式；
如图，若点是第小题反比例函数图象上的一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标；
如图，反比例函数的图象分别交的边，于，两点，连接并延长交轴于点，连接，当时，求：的值．
23.本小题分
黎明同学利用业余时间开设网店销售台灯，第一个月售出，两种型号的护眼台灯各台，售后进行统计得知：型护眼台灯的平均每台利润是元，型护限台灯的平均每台利润是元．经网络调查发现：型护眼台灯每多销售台，则其平均每台利润减少元；每少销售台．则其平均每台利润增加元；型护眼台灯的平均每台利润始终不变．黎明同学计划第二个月销售，两种型号的护眼台灯共台，设型护眼台灯比第一期增加台，第二个月按计划售完型护眼台灯与型护眼台灯的利润分别为、单位：元．
用含的代数式分别表示、；
当取何值时、第二个月按计划售完，两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大？最大总利润是多少？
24.本小题分
先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等如图，点，，，均为上的点，则有小明还发现，若点在外，且与点在直线同侧，则有．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
在图中作出的外接圆保留必要的作图痕迹，不写作法，并求出此圆与轴的另一个交点的坐标；
点为轴正半轴上的一个动点，连接、，当达到最大时，直接写出此时点的坐标．
25.本小题分
已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，，交轴于点．
如图，若点，求抛物线的解析式；
在的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标；
如图，是点左侧一点，，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由“相间端是对面”可知，画有阴影的两个面是邻面，故A、不符合题意，而折叠后，圆形在前面，深色的面朝上，则浅色的面在左面，与原图不符，
只有折叠后符合，
故选：．
根据正方体的展开图的特征，“对面”“邻面”之间的关系进行判断即可．
本题考查正方体的展开与折叠，掌握展开图的特征以及“正面、邻面”之间的关系是正确判断的前提．
2.【答案】
【解析】解：、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
，点为中点，
，
以点为圆心，长为半径作，
点到的距离等于的半径，
与的位置关系是相切，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质可得，根据切线的判定定理即可确定．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质等，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：依题意得：，
解得：且．
故选：．
利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设圆的圆心是，半径是，连接，，，，作交延长线于，于，
是圆内接正六边形的一边，
弧的度数，
是等边三角形，
，
该圆的半径为；
故A选项正确，不符合题意；
是圆内接正方形的一边，
弧的度数，
弧的度数，
是圆内接正三边形的一边，
弧的度数，
弧的度数，
弧弧，
，
平分；
故C选项正确，不符合题意；
弧的长，
故B选项错误，符合题意；
弧弧，
，
，
，
，
，
平分，
，
，，
；
故D选项正确，不符合题意；
故选：．
设圆的圆心是，半径是，连接，，，，作交延长线于，于，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．
本题考查正多边形和圆，圆周角定理，弧长的计算，三角形的面积，关键是掌握圆内接正多边形的性质．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的解析式为：，
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】
【解析】解：、双曲线经过第一、三象限，则则直线应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B、双曲线经过第一、三象限，则所以直线应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、双曲线经过第二、四象限，则所以直线应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、双曲线经过第二、四象限，则所以直线应该经过第一、三、四象限，故本选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数图象所在的象限可以判定的符号，根据的符号来确定直线所经过的象限．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据在个主干上的主干、支干和小分支的总数是个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：作于，于，连接、，如图，
，，
在中，，
在中，，
，
四边形为矩形，
，
在中，．
故选：．
作于，于，连接、，如图，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，，易得四边形为矩形，则，然后根据正切的定义求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形．
11.【答案】
【解析】解：圆锥底面周长，
扇形的圆心角的度数圆锥底面周长．
故选：．
先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式．
12.【答案】
【解析】解：，，，分别是，的三等分点，
，
是矩形，
，
，
，
∽，
，，
，，，分别是，的三等分点，是矩形，
，
，
，
∽，
，
同理得∽，
，
过点作，，，
∽，，
：：：，
，
又，
，
，
同理∽∽，，，
，
故选：．
利用矩形性质，证明三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，表示出三角形面积的关系：：，的面积是个，进而求出的值，再得到，，进而求出它们之和即可．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
依据题意，根据所给顶点式即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解顶点式的意义是关键．
14.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有种结果，
所以两次摸到的球都是黄球的概率是，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
15.【答案】或或
【解析】解：，
解得：，，
当三角形的三边为，，，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是；
当三角形的三边为，，，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是；
当三角形的三边为，，，此时不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
当三角形的三边为，，，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是；
所以三角形的周长是或或，
故答案为或或．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理得出符合的所有情况，再求出三角形的周长即可．
本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：
的对称轴为，
当时，有最小值，
，
整理可得，解得或，
又函数有最小值，
故答案为：．
根据时函数有最值，代入可得到关于的方程，可求得的值．
本题主要考查二次函数的最值，掌握当时函数有最值是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，作轴于点，
点，
，，
则，
，
将点逆时针旋转得到点后，如图所示，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理和旋转的性质即可得到结论．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，根据点的坐标求出，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点为，
当时，，
对于任意的，其函数值，
因此正确；
开口向上，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，
因此不正确；
点，在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，随的增大而增大，
，
因此不正确；
抛物线过点，由对称轴为，根据对称性可知，抛物线还过点，
当时，即方程有两个不相等的实数根和，
因此正确；
对称轴，
，
因此正确；
综上所述，正确的结论有，
故答案为：．
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数、、的关系是正确判断的前提，理解二次函数与一元二次方程的关系是正确判断的关键．
19.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，，，
，
，
，．
【解析】根据因式分解法解一元二次方程；
根据公式法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：图方法停放，可直接得出占用街道的长度即为长方形的宽，米；
图方法停放，如图，
由题意可得，米，，米，
，，
，
米，
按图，图中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是米，米；
车位数
路上最多可以停放辆车．
【解析】图方法停放，可直接得出占用街道的长度；图的方法停放，需要算出点到路边的距离；
在的基础上，可得车位数．
考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
21.【答案】
【解析】解：从剩余的女生乙，男生丙，男生丁名候选人中，任意选择人，
则女生乙被选中的概率为，
故答案为：；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有种可能出现的结果，其中恰好为名女生和名男生的有种，
所以恰好为名女生和名男生的概率为．
已经确定女生甲参加，其余的候选人还有人，即女生乙，男生丙，男生丁，每人被选中的可能性是均等的，因此可求出女生乙被选中的概率；
用列表法表示所有可能出现的结果，再根据规律的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
22.【答案】解：过作于，如图：
是等边三角形，，
，
，
，，
，
，
反比例函数的表达式为；
过作交双曲线于，
则的面积与的面积相等，
由知，，
直线的解析式为，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
解的，不合题意舍去，
；
直线的解析式为，
解得，
，
综上所述，或；
过作于，过作于，过作交于，如图：
是等边三角形，
，
，
，即，
，
，，
，
将代入得：
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，，，
在中，，，
，
，
，
解得或舍去，
，，
，
，，
∽，
，
：．
【解析】过作于，根据是等边三角形，，得，可得，，得到，于是得到结论；
过作交双曲线于，则的面积与的面积相等，由知，，于是得到直线的解析式为，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，解方程组即可得到结论；
过作于，过作于，过作交于，如图：根据等边三角形的性质得到，求得，将代入求得，设，则，，，解直角三角形得到，列方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，等边三角形的性质及应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
23.【答案】解：型护眼台灯比第一期增加台，则型护眼台灯比第一期减少台，
由题意的：，
；
设总利润为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
当时，第二个月按计划售完，两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大，最大总利润是元．
【解析】根据题意直接写出、关于的函数解析式；
根据总利润两种台灯的利润之和写出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式．
24.【答案】解：如图，作的垂直平分线，再作的垂直平分线，两线相交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，则为所作的的外接圆；
过圆心作垂足为，连接、，
，，，
四边形为矩形，
，．
点的坐标为，点的坐标为，
，，
．
，
，
，
，
，，，
，
点的坐标为，
．
设长为，则，
，
，
，
，
，
，
，
此圆与轴的另一个交点的坐标为；
作经过两点，与轴相切于点，如图，
点为轴正半轴上的一个动点，
由阅读材料可得：，点在切点时取等号，
当点与点重合时，达到最大．
点的坐标为，点的坐标为，
，，
．
连接，，过点作于点，则，
．
与轴相切，
．
，，
四边形为矩形，
，．
，
，
．
．
当达到最大时，点的坐标为．
【解析】利用三角形的外接圆的圆心为三角形的各边垂直平分线的交点的性质找出圆心即可；过圆心作垂足为，连接、，利用矩形的判定与性质，求得线段，的长度，设长为，则，利用勾股定理列出方程求得值，再利用垂径定理解答即可得出结论；
作经过两点，与轴相切于点，利用题干中小明得出的结论得到：当点与点重合时，达到最大；连接，，过点作于点，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，矩形的判定与性质，点的坐标的特征，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，基本作图，连接经过切点的半径和作出弦的弦心距是解题的关键．
25.【答案】解：把代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
连接，
把代入，
得，解得点的横坐标，，
，
抛物线交轴于点，
，
设，
则，
平分四边形的面积，
，
整理得，
解得，不合题意，舍去，
点的横坐标为；
过点作轴，垂足为，
，且，
，，
得，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
整理得，
由题意得，
解得，
此时关于的方程的两根之和，
当时，必有正根，
满足条件的最小整数的值为．
【解析】把代入，求出的值即可得到函数解析式；
连接，求出点和点的坐标，设，得则，根据平分四边形的面积，列方程求出点的横坐标；
过点作轴，垂足为，证明为等腰直角三角形，得，得到方程，根据，即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数于一元二次方程，三角形的面积公式等知识，本题的关键是利用数形结合求解题目．
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