2023-2024学年北京重点大学附属实验中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京重点大学附属实验中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某种细胞的直径是毫米，这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.如果二次根式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，为线段的垂直平分线与直线的交点，连结，则( )
A. B. C. D.
5.下列各式中，计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列各组的两个根式，是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
7.如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”已知，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为______．
10.若是一个完全平方式，则的值是 ．
11.如图，在中，为边上的中线，于点，与交于点，连接若平分，，，则的面积为 ．
12.在平面直角坐标系中，点，点的坐标分别为，若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为______．
13. ______．
14.若，则 ______．
15.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则______．
16.如图，已知是的边上的高，若，，，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
因式分解：
；
19.本小题分
先化简，然后从，，，，中，选择一个合适的数代入求值．
20.本小题分
如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分．
求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，是内一点，且，，，求的度数．
22.本小题分
观察，思考，解答：
，
反之，，即，
所以．
仿照上列，化简 ______；
已知，求的值结果需化为最简的二次根式
23.本小题分
已知，，直线是过点的一条动直线不与直线，重合，分别过点，作直线的垂线，垂足为，．
如图，当时，
求证：；
连接，过点作于，过点作交的延长线于点依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；
在直线运动的过程中，若的最大值为，直接写出的长．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点．
如图，若点，，点为，的点，连接，．
______；
求点的纵坐标；
已知点，．
当时，点为，的点，且点的横坐标为，则 ______；
当时，点为，的点，且点的横坐标为，则 ______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
2.【答案】
【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故A错误，不合题意；
，故B错误，不合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不合题意．
故选：．
根据合并同类项法则判断选项；根据同底数幂的乘法法则判断选项；根据幂的乘方与积的乘方法则判断选项；根据同底数幂的除法法则判断选项．
本题主要考查合并同类项法则，同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
先根据线段垂直平分线的性质得到，则利用等腰三角形的性质得到，然后计算即可．
【解答】
解：为线段的垂直平分线与直线的交点，
，
，
．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C错误，不符合题意；
D.，故D正确，符合题意．
故选：．
A.由平方差公式即可判断；先通分，再根据同分母分式的减法计算即可判断；根据多项式除单项式法则计算即可判断；根据多项式乘多项式法则计算即可判断．
本题主要考查平方差公式、分式的加减法、整式的混合运算，熟记，并熟练掌握分式的加减运算法则、整式的混合运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：．
先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，满足条件的点共有个．
故选：．
有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．
本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的点．
8.【答案】
【解析】解：如图，
由题意得，，，，
设，
在中，，
，即，
解得：，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：．
易知，，，设，由含度角的直角三角形性质得，于是，得到，再利用同底等高的三角形面积关系得到，进而阴影部分的面积为．
本题主要考查含度角的直角三角形性质、全等三角形的性质、三角形的面积，解题关键是利用全等三角形的对应边相等构建方程，求出的长．
9.【答案】
【解析】解：为的平分线，为的平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
周长为，
故答案为：
利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化，求出即可．
此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：因为是一个完全平方式，
所以，
所以，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图，
平分，，，
，
，为边上的中线，
，
．
故答案为：．
过点作，由角平分线的性质可得，再由是中线，则有，利用三角形的面积公式可求得的面积．
本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．
12.【答案】或
【解析】解：点、点的坐标分别为、，
．
，
或．
故答案为：或．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长，再根据即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的判定定理是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题可知，，
．
故答案为：．
将化为最简得，进而可合并括号内的同类二次根次，将化为最简得，再将除法化为乘法，最后约分即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：若，
则
．
故答案为：．
直接将的值代入所求式子计算即可得到答案．
本题主要考查二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，
，，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故答案为：
根据勾股定理得到，由折叠的性质得到，，，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是的边上的高，
，是直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
本题可由勾股定理算出的长度，再由得的长度，最后再通过勾股定理得的长度．
本题考查了直角三角形的勾股定理．熟记勾股定理的内容是解决本题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可；
先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：
；

【解析】先提取公因式，再用公式法分解因式即可；
先提取公因式，再用公式法分解因式即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
由题意得：、、，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
又，
；
解：在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】证出，由角平分线的性质可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：为等腰直角三角形，
．
把绕点逆时针旋转可得到，连，如图所示，则，，，
，，
为等腰直角三角形，
，．
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
．
【解析】由等腰直角三角形的性质可得利用旋转的性质可得，，，从而得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可得答案．
此题考查的是旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：；
，
，
原式．
根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算即可；
先化简，然后再化简所求的式子，再将的值代入即可解答本题．
本题考查二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．
23.【答案】证明：，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
补全图形如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由知：，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
；
设，
的最大值为，
，
，当最大时，最小，的值最小，
，
，
有最小值，
当的最大值为时，的值为．
【解析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，二次函数性质的运用，勾股定理等，
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
先证明≌，可得：，，由，运用等量代换即可得出答案；
补全图形如图所示，先证明≌，得出，再由勾股定理可得：，运用等量代换即可得出答案；
由于，设，由勾股定理得，当最大时，最小，的值最小，又，运用二次函数的最值即可得出答案．
24.【答案】 或
【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
，，
，，
为等边三角形，，
，，，
，，
，
，
点为，的点，
与轴所夹锐角为，
点关于直线的对称点为，
，，，
故答案为：．
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
当时，，
如图，过点作轴于，过点作轴于，作轴交直线于，交轴于，连接交轴于，连接交直线于，
点为，的点，
，，，，
，
、关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
故答案为：．
，
，
如图，分两种情况：当时，点在点的右侧，
与的夹角为，
关于的对称线和的夹角也为，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，即，
；
当时，点在点的左侧，
同理可得：，即，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
如图，过点作轴于，过点作轴于，根据定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点．可知为等边三角形，与轴所夹锐角为，则，，，即可求得答案；
先证明≌，根据全等三角形的性质即可求得答案；
过点作轴于，过点作轴于，作轴交直线于，交轴于，连接交轴于，连接交直线于，根据定义可得，，，，、关于直线对称，再由勾股定理即可求得答案；
分两种情况：或，分别画出图象，结合定义即可求得答案．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键．
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