北京市东城区景山学校2023-2024学年九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市东城区景山学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共7小题，每小题2分，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数满足，则的值可能是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为( )
A. B. C. D.
4.关于的一元二次方程根的情况是( )
A. 无实根 B. 有实根 C. 有两个不相等实根 D. 有两个相等实根
5.为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知在正方形中，是对角线上一个动点，过作、的平行线分别交正方形的边于、和、，若，图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
8.方程的解是______．
9.分解因式： ．
10.已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 ______填“”，“”“”．
11.如图示意图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的高为，测得，，则建筑物的高为______
12.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为______．
13.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．
14.如图，在菱形中，点，分别在，上，只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是______写出一个即可．
15.一次数学考试共有道判断题，每道题分，满分分规定正确的画，错误的画甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为______．
题号
学生 得分
甲
乙
丙
丁
三、解答题：本题共11小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
解不等式组：．
18.本小题分
已知，求代数式的值．
19.本小题分
同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在中，，，求证：．
法一：如图，在上取一点，使得，连接．
法二：如图，延长到，使得，连接．
你选择方法______
证明：
20.本小题分
如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，，．
求证：四边形是菱形；
连接，若，，求的值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为点．
当点的坐标为时，求的值；
当时，对于的每一个值，都有，求的取值范围．
22.本小题分
学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况在两种不同的场景和场景下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为分钟时，在场景，中的剩余质量分别为，单位：克．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与的几组对应值如下：
分钟
克
克
在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；
进一步探究发现，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系请分别求出场景，满足的函数关系式；
查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于克时，才能发挥作用在上述实验中，记该化学试剂在场景，中发挥作用的时间分别为，，则 ______填“”，“”或“”．
23.本小题分
如图，是的直径，为延长线上一点为切线，为切点，于点，交于点．
求证：；
若，，求和半径的长．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
若对于，，有，求的值；
若对于，，存在，求的取值范围．
25.本小题分
如图，在中，，点，分别在边，上，连接，．
求证：；
连接，点为的中点，连接，．
依题意补全图形；
若，求的大小．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点不与重合给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”．
如图，正方形的顶点分别为点，，，．
在点，，中，正方形的“伴随切点”是______；
若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围；
已知点，正方形的边长为若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：表示数的点在数轴上位于和之间，
表示数的点在数轴上位于和之间，
又，
表示数的点位于表示数的点的左侧，
所以的值可能是．
故选：．
先判断出表示的点的位置，再根据判断出表示的大致位置判断选项即可．
本题考查数轴，相反数的概念，以及实数大小比较等知识，熟悉利用数轴比较实数的大小的方法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由图可知，中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么不符合题意．
B.由图可知，中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么不符合题意．
C.由图可知，中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，那么符合题意．
D.由图可知，中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】
解：正多边形的内角和是，
多边形的边数为，
多边形的外角和都是，
多边形的每个外角．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
方程有两个不相等的实根．
故选：．
利用根的判别式得到，根据非负数的性质可得，以此即可判断．
本题主要考查根的判别式、配方法的应用、非负数的性质，掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
，
由折线统计图可得，
故选：．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，
两次都摸到红球的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，
四边形为正方形，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
与之间的函数图象是开口向下的抛物线，
故选：．
根据正方形的判定定理得到四边形为正方形，根据正方形的面积公式求出与的函数关系式，判断即可．
本题考查的是动点问题的函数图象，根据正方形的性质求出与的函数关系式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
9.【答案】
【解析】【分析】
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
【解答】
解：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而减小．
，是一次函数的图象上的两个点，，
．
故答案为：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
解得：，
即建筑物的高是，
故答案为：．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，
，，
，
．
故答案为：．
根据基本作图可判断平分，过点作于，如图，再利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
13.【答案】
【解析】解：过作交的延长线于，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
故答案为：．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：这个条件可以是，理由如下：
四边形是菱形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：因为乙丙的第，题答案相同，且总得分都是分，所以第，两题答案正确；
又因为甲得分分，即甲错两题且第，题与乙，丙不同，所以其余题答案均正确，故这道判断题的答案分别是；
对比丁的答案，可知其第，两题错误，故得分，
故答案为：．
由乙丙的答案和得分得出第，两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得值．
本题考查了推理与论证，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，以乙、丙得分一样为突破口，属于中档题．
16.【答案】解：原式
．
【解析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
17.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】解：原式
，
，
，
原式
．
【解析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
19.【答案】方法一或方法二
【解析】证明：选择方法一：如图，在上取一点，使得，连接，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
选择方法二：延长到，使得，连接，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：方法一或方法二．
选择方法一：如图，在上取一点，使得，连接，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可；
选择方法二：延长到，使得，连接，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，
，，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
．
【解析】根据矩形的性质得到，，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形；
根据菱形的性质得到，，，，，，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，求得，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：将点代入，
得，
，
点坐标为，
；
如图所示：
当时，当时，对于的每一个值，都有，
当时，时，，
解得，
综上所述，满足条件的的取值范围是或．
【解析】将点代入，求出的值，再将点坐标代入反比例函数解析式求的值即可；
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分情况讨论：当时，当时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由题意，作图如下．
由题意，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系．
又点，在函数图象上，
．
解得：．
场景函数关系式为．
对于场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系．
又，在函数图象上，
．
解得：．
场景函数关系式为．
由题意，当时，
场景中，，
场景中，，
解得：，
．
依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
依据题意，分别求出当时的值，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
；
，，
∽，
，
，
半径的长为．
【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论；
设，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理得到，求得；根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：点，在抛物线上，且，，，
；
，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
设抛物线上的四个点的坐标为，，，，
点关于对称轴的对称点为
抛物线开口向上，点是抛物线顶点，
：
当时，，
．
，
不存在，不符合题意；
当时，，
．
，
存在，符合题意；
当时，的最小值为，
，
存在，符合题意；
当时，，
，
，
存在，符合题意；
当时，，
，
，不存在，不符合题意；
综上所述，的取值范围是．
【解析】利用抛物线的对称性即可求解；
设抛物线上的四个点的坐标为，，，，分种情况讨论，根据二次函数的性质判断即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
25.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：图形如图所示；
延长到，使得，连接，，．
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】利用等腰三角形的性质证明即可；
根据要求作出图形；
延长到，使得，连接，，证明≌，推出，，推出，证明≌，推出，再证明可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】，
【解析】解：在半径为的最小圆的内部，
不是正方形的“伴随切点”，
和与半径为的圆相切，
和是正方形的“伴随切点”，
故答案为：，；
如图，由题意可知，点，点为正方形边上的点，
，
与以为半径的相切于点，
，，
，
点在以为直径的上，且，，
符合条件的点组成的图形为除点外，其中，，
当直线与相切时，设切点为，与轴交于点，
与直线垂直，，
，
，
，
将点代入，可得，
当直线经过点时，，此时直线经过，
当直线经过点时，，
直线上存在伴随切点，
的取值范围为；
正方形的边长为，
，
由题可得，
，
，
当，时，，
解得；
当，时，，
解得；
或．
根据新定义，可知，再结合所给的点判定即可；
点在以为直径的上，且，，符合条件的点组成的图形为除点外，其中，，当直线与相切时，设切点为，与轴交于点，求出，将点代入，可得，当直线经过点时，，此时直线经过，当直线经过点时，，从而得到的取值范围为；
由定义可知，当，时，，解得；当，时，，解得；从而得到或．
本题考查圆的综合应用，弄清新定义，当正方形边长为时，，是解题的关键．
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