2023-2024学年广西柳州重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西柳州重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.设则( )
A. B. C. D.
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.白居易的别毡帐火炉写道：“赖有青毡帐，风前自张设”古代北方游牧民族以毡帐为居室如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为，圆柱的高为，底面圆的直径为，则该毡帐的侧面积单位是( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
6.在第届杭州亚运会期间，某项目有，，，四个不同的服务站，现需要将包含甲在内的名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到服务站的不同分法的种数为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在直线上，若，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某单位为了更好地开展法律知识学习活动，举办了一次知识竞赛，其名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 图中的
B. 成绩不低于分的职工约人
C. 名职工的平均成绩是分
D. 若单位要表扬成绩由高到低前职工，则成绩分的职工肯定能受到表扬
10.如图，正方体的棱长为，为的中点，下列判断正确的是( )
A. 平面
B. 直线与直线是异面直线
C. 在直线上存在点，使平面
D. 直线与直线所成角是
11.下列结论正确的是( )
A. 名运动员争夺项比赛冠军每项比赛无并列冠军，那么获得冠军的可能种数为
B. 当时，的最小值为
C. 数列满足且，则数列的通项公式是
D. 曲线在点处的切线的方程是
12.如图，双曲线：的左右顶点为，，为右支上一点不包含顶点，，，，直线与的渐近线交于、，为线段的中点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 到两条渐近线的距离之积为
C.
D. 若直线与的斜率分别为，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，若与平行，则的值是______．
14.将，，，，共名同学排成一排，则与之间恰好有名同学的概率为______．
15.已知函数若是的零点，是的图象的对称轴，当时，有且只有两个极值点，则 ______．
16.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的极值；
若在区间内单调递增，求的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如图，若是外接圆的劣弧上一点，且，，求．
19.本小题分
记数列的前项和为，对任意正整数，有．
证明：数列为常数列；
求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱上一点，，平面与棱交于点．
求证：为的中点；
求二面角的余弦值．
21.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为．
Ⅰ求抛物线的方程；
Ⅱ记、的面积分别为，，求的最小值．
22.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ当时，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：解不等式可得：，
因为，所以集合，
又，
所以，
所以中元素的个数为．
故选：．
先解不等式，求出集合，然后得到，即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
可得．
故选：．
先求解，再求模长即可．
本题主要考查复数的模长，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，为坐标原点，
由三角函数的定义得，，，
．
故选：．
根据三角函数的定义和诱导公式运算求解．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于圆锥的高为，圆柱的高为，底面圆的直径为，则圆锥的母线长为，
故圆锥的侧面积为；
圆柱的侧面积为；
故毡帐的侧面积为．
故选：．
首先求出圆锥的侧面积，进一步求出圆柱的侧面积，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：组合体的侧面积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设公比为，
，，成等差数列，，
则，解得：或舍去，
，，故．
故选：．
设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案．
本题主要考查等差与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
当服务站安排两人时，除甲外的其余人每人去一个服务站，不同的安排方法有种，
当服务站只安排有人甲时，其余人分成组，再安排到剩余的个服务站，不同的安排方法有，
所以不同的安排方法有种．
故选：．
根据已知条件可知，肯定有一个服务站安排两个人，该问题分为两类，一类是服务站安排两人，一类是服务站只安排人，运用分类加法及分步乘法计数原理分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以轴，则点横坐标为，点横坐标为，
所以，
因为
则点在角平分线上，所以四边形为菱形，
则，所以，
即，
所以，
即，
整理可得：，
即，
解得，因为，
所以．
故选：．
由题意首先由已知条件可得四边形为菱形，且将，的横坐标表示出来，由，所以，可得关于，的方程，进而求出双曲线的离心率．
本题考查椭圆的性质的应用，四边形为菱形的求法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，即，整理得．
又，，
令，，
，
令得，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
且，且时，，作出函数的图象，如图所示，
若的整数有且仅有两个，即的整数有且仅有两个，
显然，且需满足，即，
解得，
即的取值范围是
故选：．
等价于，令，，求导可知的单调性和极值，画出的大致图像，数形结合只需满足，从而求出的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由频率分布直方图得：，
解得，故A正确；
对于，成绩不低于分的职工人数为，故B正确；
对于，平均成绩为，故C错误；
对于，的频率为，
的频率为，
第分位数为，故D错误．
故选：．
利用频率分布直方图判断；利用频数判断；利用平均数判断；利用百分位数判断．
本题考查频率分布直方图、频数、平均数、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，正方体的棱长为，
由图可知直线，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于，由图可知直线与直线都在平面中，故B错误；
对于，连接，，，取的中点，
则，平面，
平面，即在点处时，可使平面，故C正确；
对于，取的中点，可证平面，
即为直线与平面所成角，
，，，故D错误．
故选：．
直线容易判断A正确；取的中点，则，由图形容易说明，在同一平面内，易判断B错误，取的中点易证平面，判断B正确；求解线面角判断D正确．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系及距离，考查空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，名运动员争夺项比赛冠军每项比赛无并列冠军，
由分步乘法计数原理可得获得冠军的可能种数为，
故A错误；
对于，当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故B正确；
对于，设，
则，
又因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以
所以为常数，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
故C正确；
对于，函数的导函数为，
则，
所以函数的图象在点处的切线的方程是，
即，
故D错误．
故选：．
由分步乘法计数原理及基本不等式的应用，结合数列通项公式的求法及导数的应用逐一判断．
本题考查了分步乘法计数原理及基本不等式的应用，重点考查了数列通项公式的求法及导数的应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对，等轴双曲线的离心率为，所以A正确；
对：双曲线：的渐近线为，
设，到两条渐近线的距离为，，
则，所以错；
对：，
，
所以，C正确；
对：设与双曲线及其渐近线依次交于，，，，
设，，则，
由得中点的横坐标为，
由得中点的横坐标为，
所以和的中点重合，即为双曲线弦的中点，由点差法得
，
，
设直线的斜率为斜率为，
则，所以D正确．
故选：．
对，根据等轴双曲线的离心率即可判断；对，结合渐近线与点到直线的距离即可；对，由，结合即可；对结合点差法即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：向量，，
，
又与平行，
，解得．
故答案为：．
根据平面向量的坐标运算与向量平行的坐标表示列出方程求出的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：将，，，，这名同学从左至右随机地排成一排，
基本事件总数为：，
则符合“与之间恰好有名同学”的事件个数为：
，
与之间恰好有名同学的概率为．
故答案为：．
利用古典概型、排列组合能求出与之间恰好有名同学的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据正弦函数的性质结合函数的对称性可得：，
所以，，
因为，所以，
又，所以，且在处取不到极值，
又当时，有且只有两个极值点，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，
又，，
所以，，
因为是的图象的对称轴，
所以或，
即或，
当时，
因为，
所以时，满足，此时，
所以；
当，
因为，此时无解．
综上所述，．
故答案为：．
根据函数的对称性可推得，，，根据已知得出，结合的取值范围以及已知，即可得出，进而根据不等式的性质得出，求出，，进而根据对称轴，求出，代入即可得出答案．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题设可得，
故，，
因为，故，故，
故即，
而，故，
故为等比数列，故．
所以．
故答案为：．
由题设中的递推关系可得，据此可得，故可求．
本题考查函数的导数和数列的通项求法、等比数列的定义和通项公式，考查转化思想、运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
令，解得，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值；
由题意知，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，由二次函数的图象及性质可知，，
，即实数的取值范围为．
【解析】将的值代入，求导，然后解不等式可得函数的单调性，从而可得函数的极值；
转化为在区间上恒成立求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
则由正弦定理可得，，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
在中，由余弦定理得，
所以，
由圆的内接四边形的性质可知，
在中，由余弦定理得，
即，解得或舍．
【解析】利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可求解；
利用余弦定理分别在和解三角形可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：依题意，，，，
两式相减得：，即，
整理得，
即，因此，
所以数列是常数列．
当时，，解得，
由得：，于是，
则，
所以．
【解析】利用给定的递推公式，结合计算推理作答．
由求出数列的通项，再利用裂项相消法求和作答．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：因为平面，，平面，所以，，
在中，，，所以，
在直角梯形中，由，，所以，所以，
因为，所以为的中点，因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，所以，所以为的中点；
因为平面，，平面，所以，，
又，所以，，两两相互垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于所以，
因为平面，且，
所以平面，又平面，所以，又，且为的中点，
所以，，且，平面，所以平面，
所以是平面的一个法向量，．
由题意，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【解析】首先求出，即可得到为的中点，再证明平面，由线面平行的性质得到，即可得到，从而得证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了二面角的计算问题，是中档题．
21.【答案】解Ⅰ由已知及抛物线的几何性质可得，，
抛物线的方程为．
Ⅱ设直线：，：，
，，，
由
同理可得，从而，
点到的距离，
，
．
又，
．
当且仅当，即时有最小值．
【解析】本题考查抛物线定义与性质以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题．
Ⅰ根据抛物线性质可得，即得结果，
Ⅱ设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求，再利用基本不等式求最值．
22.【答案】解：Ⅰ由已知，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，若，得，函数单调递增，
若，得，函数单调递减；
综上所述：当，函数在上单调递增，
当时，函数在单调递增，在单调递减；
Ⅱ证明：由，得，
即证，
当时，设函数，
则，在上单调递增，
所以
所以成立；
当时，要证成立，
即证
设函数，，
则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
设，
则，在上单调递减，
所以，即，
所以，
综上：成立．
【解析】Ⅰ求导，然后分和讨论分别求单调性；
Ⅱ当时，通过证明可得结论；当时，转化为证明，不等式两边分别构造函数，求出函数最值即可得结论．
本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了构造函数解决综合问题的能力，考查了函数思想及转化思想，属于难题．
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