2023-2024学年湖南省娄底市新化县高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省娄底市新化县高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设：，：，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.如图，给定菱形，点从出发，沿在菱形的边上运动，运动到停止，点关于的对称点为，与相交于点，为菱形边上的动点不与，重合，当时，面积的最大值为，则关于的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的有( )
A. B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数，使
10.若，，则下列各式中，恒等的是( )
A. B.
C. D.
11.下列弧度与角度的转化正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.已知幂函数的图象过点，则 ______．
15.的部分图象如图，则其解析式为______．
16.设函数的定义域为，若满足：在内是单调增函数；存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”，若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调增区间；
求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值．
20.本小题分
已知二次函数满足，且的图象经过点．
求的解析式；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的，两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入千万元与投入的资金千万元的函数关系为与都为常数，其图象如图所示．
试分别求出生产，两种芯片的毛收入千万元与投入资金千万元函数关系式；
现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金
22.本小题分
已知函数，其中为常数若函数在区间上，则称函数为上的“局部奇函数”；若函数在区间上满足，则称函数为上的“局部偶函数”．
若为上的“局部奇函数”，当时，解不等式；
已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，，对于上任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由中不等式，得到，即，
，
，
故选：．
求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：当时，可能，不能推出；
反之，当时，可以推出．
因此，是成立的必要不充分条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
，，
函数的零点所在的区间是．
故选：．
判断函数的单调性，由，，结合函数零点判定定理得答案．
本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
，
，
又，
所以．
故选：．
根据二倍角的余弦公式求出，根据辅助角公式求出，根据两角和的正切公式求出，结合三角函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换的应用以及三角函数的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的最小正周期为，故，
所以，
把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
故函数的解析式为．
故选：．
直接利用正弦型函数的性质和函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性的应用，属于基础题．
利用函数在定义域上是减函数，将转化为：求解，注意定义域．
【解答】
解：函数在定义域上是减函数，
且，
则有：
解得：．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：因为四边形是菱形，且关于的对称点为，所以，
先研究从运动到的情况，
设，，则，然后可得，
因为从运动到与从运动到时，对应的面积最大值的变化规律是相反的，
所以设，
，，显然，
结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在上单调递增，选项正确．
故选：．
先研究从运动到的情况，可设，，则，然后可得且，从运动到与从运动到时，对应的面积最大值的变化规律是相反的．
本题考查二次函数的性质和应用以及学生的建模能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，正确；
对于，所有的正方形都是矩形，正确；
对于，，，错误；
对于，因为，所以，即有两个实数，使，正确．
故选：．
利用配方法即可判断，利用正方形概念判断，解二次方程判断．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：，故选项A不正确；
对于，根据对数的运算法则得，故B正确；
对于：，故选项B不正确；
对于：，故选项D正确．
故选：．
根据对数运算法则和性质即可判断．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，对；
对于，，错；
对于，，对；
对于，，错．
故选：．
利用角度与弧度的转化关系即可判断各选项
本题主要考查了角度与弧度的转化，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为关于的不等式的解集为，
所以，所以，，所以，选项A正确；
因为，，所以，当且仅当时取等号，解得，选项B正确；
，当且仅当时取等号，选项C错误；
，当且仅当且，即，时取等号，选项D正确．
故选：．
根据一元二次不等式与二次方程的关系可得，的关系，结合基本不等式分别检验各选项，即可得解．
本题考查了不等式与对应方程根的关系，以及利用基本不等式求最值的问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据指数幂的运算性质计算即可．
本题考查了指数幂的运算性质，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用幂函数的解析式求解，用待定系数法是解决本题的关键．
【解答】
解：设幂函数，
函数的图象过点，
，
解得，
则，
则，
则．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由题意，且，
而，可得，
且，，，
可得，
所以函数的解析式为
故答案为：
由函数的图象可知的值，由过的点，，可得周期，进而可得的值，再将点代入可得的值，即求出函数的解析式．
本题考查由三角函数图象求三角函数的解析式的方法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，函数且在定义域上为单调递增函数，则，而时，不满足条件，所以，
设存在，使得在上的值域为，
所以，即，
所以，是方程的两个不等的实根，设，则，
所以方程等价为的有两个不等的正实根，
即，所以，解得
故答案为：
先根据对数型复合函数的单调性求得，然后根据“成功函数”的定义列方程，从而转化为二次方程有两正根的问题，利用二次函数根的分布列不等式求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解；集合，集合，
则或，
故或．
因为，所以，解得，
故的取值范围为．
【解析】先化简集合，，再利用集合的运算求解；
根据集合关系列出不等式，求出参数范围．
本题主要考查了集合交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：，
，
，
；
，
又，
原式．
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系，是基础题．
化简后利用同角三角函数的基本关系可得结果；
先利用诱导公式化简，再构造分母转化为正切，利用第一问的正弦值即可求出结果．
19.【答案】解：因为函数
；
函数最小正周期是；
当，，
即，，
函数单调递增区间为，；
；
所以当时，即时，取得最小值．
【解析】函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出的单调递增区间；
由可得：，所以当时，即时，取得最小值．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．
20.【答案】解：设，则，
因为，
所以，得，，
因为的图象经过点，
所以，即，
故．
设，
因为当时，不等式恒成立，
所以，即，
解得．
故的取值范围是．
【解析】设出函数的解析式，得到关于，，的方程，求出即可；
设，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．
本题主要考查二次函数的解析式，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为，
且时，，代入解得，则生产芯片的毛收入；
将，代入，得，解得，
所以，生产芯片的毛收入为．
公司投入亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片，
公司所获利润，
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为千万元．
【解析】根据待定系数法，可求出解析式；
将实际问题转换成二次函数求最值的问题，即可求解．
本题考查实际问题，考查分段函数，考查二次函数的最值问题，属于综合题．
22.【答案】解：若为上的“局部奇函数”，
所以，
即，
整理可得，
所以，解得，
所以，
由，可得，
所以，解得，
又因为，所以，
所以不等式的解集为；
若为上的“局部奇函数”，由知，，
若为区间上是“局部偶函数”，可得，
即，整理可得，
所以，即，
所以，
令，
当时，，在单调递增，
当时，，当时，，
所以当时，，
当时，此时为局部偶函数，
当时，，在单调递增，
此时
所以
对于上任意实数，，，不等式恒成立，
可得，即，
解得：，
所以实数的取值范围是．
【解析】利用局部奇函数的定义可得即可求得的值，然后利用指数函数，对数函数的性质即得；
先利用局部奇函数和偶函数的定义求出分段函数的解析式，再由换元法结合单调性求出分段函数的最值，解不等式即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用，还考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
第1页，共1页