2023-2024学年吉林省延边州高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省延边州高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，下列式子错误的是( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. ：，，且是真命题
B. ：，，且是真命题
C. ：，，且是假命题
D. ：，，且是假命题
3.定义运算，则函数的图象是( )
A. B. C. D.
4.当时不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知相互啮合的两个齿轮，大轮齿，小轮齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A. B.
C. D.
7.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若方程有个不同的根，，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则角的终边位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是( )
A. B. C. D.
11.已知实数，，，则下列命题中错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.若实数，满足，则下列选项正确的是( )
A. 且 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.函数的定义域为______．
14.设为锐角，若，则______．
15.若命题“，”是真命题，则的取值范围为______．
16.已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
求图中阴影部分表示的集合；
若非空集合，且，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，
求：；
19.本小题分
设函数，且．
求实数的值及函数的定义域；
求函数在区间上的最小值．
20.本小题分
已知函数．
求函数单调递减区间；
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在的值域．
21.本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为米，最低点距离地面米，摩天轮上均匀设置了个座舱如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，己知关于的函数关系式满足其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为米？
22.本小题分
设函数是定义域为的奇函数．
求实数值；
若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
在的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，，，故ABD正确；
而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误．
故选：．
先求出集合，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解．
本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据含有一个量词的否定，：，，
则：，，因为当时，，所以是真命题．
故选：．
根据含有一个量词的否定，求出，然后判断命题的真假即可．
本题主要考查了含有量词的命题的否定及命题真假判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当时，，当时，，
，
故选：．
得出的函数解析式，从而得出的图象．
本题考查了分段函数的图象，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，表达式，当且仅当时取等号．
当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
故选：．
化简不等式的左侧，利用基本不等式求出表达式的最小值，然后求出的范围．
本题考查函数恒成立，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
5.【答案】
【解析】解：因为相互啮合的两个齿轮，大轮齿，小轮齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了个齿，
所以小轮此时转动周，
即小轮转动的角度为．
故选：．
通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点．
故选：．
利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解．
本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．
所以，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则，解得．
故选：．
根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解．
本题考查幂函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：作函数与的图像如下：
因为方程有个不同的根，，，，且，
可知，关于对称，即，且，
则，即，则，即，则，
当，得或，则，，
故，，
则函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数取得最小值为，而当时，函数取最大值为，
即函数的值域为，
即的取值范围是，
故选：．
作出函数与的图像，得到，关于对称，，化简条件，利用对勾函数的性质可求解．
本题主要考查分段函数的应用，考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，此时的终边位于第三象限；
或，，此时的终边位于第二象限，
故选：．
利用三角函数的定义即可解答．
本题考查任意角的三角函数，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数的图象经过定点，
令，得或，此时，则或，
当点在角的终边上，则；
当点在角的终边上，则；
综上：或，故AD正确，BC错误．
故选：．
根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出和即可．
本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，，故A不正确；
对于，若，可知，则成立，故B正确；
对于，若，则，，
所以，故C不正确；
对于，因为，取，，，
可得，，此时，故D不正确．
故选：．
根据不等式的基本性质，结合反例逐一判断各选项，即可得到本题的答案．
本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等式是否成立的知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由，可得，，
所以且，即，故A正确；
对于，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于，因为，
可得，即，所以，
当且仅当，即，即，时，等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于，因为，则，
所以，故D正确．
故选：．
对于，利用指数函数的性质即可判断；对于，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，解得，
即函数的定义域为．
故答案为：．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
由已知直接利用诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
当时，恒成立，
当时，，解得，
综上，的取值范围是．
故答案为：
考虑与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为对任意的，总存在与使得成立，
所以，
，对称轴为，
因为，
所以当时，，
当时，函数在上单调递增，
所以，
所以，解得；
当时，函数在上为常数函数，满足；
当时，函数在上单调递减，
所以，
所以，解得；
综上，，即实数的取值范围为．
故答案为：．
根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先根据二次函数知识求得，然后根据的符号讨论，利用单调性求得最值，列不等式即可求解．
本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，得，
而，，
则或，
所以；
因为，，则，
若非空集合，且，
则有，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】由韦恩图分析得，再化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解；
先求得，利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解．
本题主要考查了集合的基本运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，
所以，
所以；
．
【解析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用诱导公式化简所求即可求解；
由以及两角和的余弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为，
由，得，
则，解得，
又，解得，
所以的定义域为；
由得，
因为，令，，
令，则函数在单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为．
【解析】根据题意直接代入可求得，再利用对数函数的真数大于零，求得的定义域；
先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，属于中档题．
20.【答案】解：
，
所以由，解得，
所以函数单调递减区间为；
因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为，
所以，
所以由正弦函数性质可知，
所以在的值域为．
【解析】先结合三角恒等变换得，再求函数单调递递减区间即可；
根据图象平移写出的解析式，结合正弦型函数性质求值域即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换，函数的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
21.【答案】解：其中，，，
由题意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式为：，；
令，则，即，
因为，则，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天轮分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米．
【解析】利用正弦型函数的一般式结合题意，求出，，，；
根据求出的表达式，将化简求得．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：已知，
因为是定义域为的奇函数，
所以，
解得，
此时，
又，
满足函数为奇函数，
所以；
证明：由知，
若，
可得，
则函数为减函数，
任取，
此时
，
因为，，
所以，
此时，
可得，
即，
所以函数在上单调递减；
由知，
因为是定义在上的奇函数，
若不等式对任意实数均成立，
此时对任意实数恒成立，
由知函数在上单调递减，
所以，
则
恒成立，
不妨令，
因为，
所以，
易知函数是开口向上的二次函数，
且函数在上单调递增，
所以当时，该函数取得最小值，最小值为，
则的最大值为，
故实数的取值范围为．
【解析】由题意，结合函数的奇偶性再进行求解即可；
结合中所得函数的解析式，利用求得的取值范围，根据函数单调性的定义即可得证在上单调递减；
根据函数的单调性、奇偶性将不等式进行整理，利用分离常数法、换元法以及二次函数的性质求得的取值范围．
本题考查函数的单调性、奇偶性以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理和运算能力．
第1页，共1页