2023-2024学年河南省许昌市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省许昌市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知为角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.关于实数，，，下列结论正确的有( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
6.为了得到函数的图象，只要把上所有的点( )
A. 向右平行移动的单位长度 B. 向左平行移动的单位长度
C. 向右平行移动的单位长度 D. 向左平行移动的单位长度
7.函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.双碳，即碳达峰与碳中和的简称年月中国明确提出年实现“碳达峰”，年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 式子，表示同一个函数
B. 与表示同一个函数
C. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
10.下列命题正确的是( )
A. 若是第二象限角，则是第一象限角
B. 扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为
C. 是函数的一条对称轴
D. 若，且，则
11.已知函数满足，，，且，则下列命题正确的是( )
A. B. 为奇函数
C. 为周期函数 D. ，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象经过点，则 ______．
13.若函数在上的最大值比最小值大，则 ______．
14.已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同实根，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：
；
；
已知，是第四象限角，求的值．
16.本小题分
已知函数．
判断函数奇偶性，并用定义法证明；
写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
18.本小题分
已知函数为奇函数，且的最小正周期是．
求的解析式；
当时，求满足方程的的值．
19.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
若在上成立，求实数的取值范围；
设，若，，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，集合，
，
则．
故选：．
根据题意，求出集合、，进而计算可得答案．
本题考查集合交集的计算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
根据，不一定能得到 如时；但当，一定能推出，从而得到答案．
【解答】
解：由，不一定能得到 如时；
但当时，有，从而一定能推出，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：，，，
所以．
故选：．
由已知结合指数函数及对数函数单调性即可比较，，的大小．
本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为为角终边上一点，
所以，
则．
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，当时，，，故A不成立；
对于，由不等式的加法法则可得如果，那么，故B成立；
对于，时，，故C不成立；
对于，由不等式的倒数法则可得：如果，那么，故D不成立．
故选：．
由时，不成立可以判断；由时，不成立可以判断；由不等式的基本性质可以判断，．
本题考查了不等式的基本性质，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：平移后的函数的初相是：，
平移前的初相是，
．
为了得到函数的图象，只要把上所有的点：向右平行移动的单位长度．
故选：．
利用平移后的初相减去平移前的初相，即可得到平移的方向与平移的单位．
本题考查函数的图象的平移变换，解题方法需要注意，必须是函数同名，相同，平移后与平移前的初相差值为负，函数的图象向右平移，差值为正，向左平移．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，，
因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，不满足；
又，所以选项B不满足，选项A符合题意．
故选：．
利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项．
本题考查根据函数性质确定函数图象问题，考查数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
则当时，，
所以，
即当放电电流时，放电时间为，
故选：．
根据题意求出蓄电池的容量，再把时代入，结合指数与对数的运算性质即可求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数与对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，的定义域为，，定义域为，
式子，表示同一个函数，故A正确；
对于，的定义域为，
的定义域为，
且，
与表示同一个函数，故B正确；
对于，函数在上是增函数，
当时，单调递增，，
当时，对称轴为单调递增，
则，即，
若要保证函数在上是增函数，
还需要满足，即，
实数的取值范围是，故C错误；
对于，由函数的定义得：
若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有唯一一个元素对之相对应，故D正确．
故选：．
利用同一函数的定义判断；利用分段函数的单调性判断；利用函数的定义判断．
本题考查同一函数的定义、分段函数的单调性、函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，是第二象限角，但是是第三象限角，故A不正确；
对于，扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长，半径，
可知此扇形的面积，故B不正确；
对于，函数满足，取到最小值，
故是函数的一条对称轴，项正确；
对于，当时，平方得，，
即，结合可得为钝角，
因此，
可得，故D正确．
故选：．
根据象限角的定义，通过举反例判断出项的正误；利用扇形的周长与面积公式加以验证，判断出项的正误；计算出的值，与的最值加以比较，从而判断出项的正误；利用同角三角函数的基本关系进行验证，判断出项的正误．
本题主要考查余弦函数的图象与性质、三角函数的定义与同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为函数满足，，，
所以令，则，
即，即，
所以，所以，
所以函数的周期为，故C正确；
令，则，
解得：或，
当时，令，则，所以，故A，不正确；
此时，其函数图像关于原点对称，是奇函数；
当时，令，则，
所以，所以函数是偶函数，所以，
又因为，所以，所以，
所以为奇函数．
综上可得：是奇函数，故B正确．
故选：．
根据已知恒等式，令即可判断函数的周期性，进而得出选项C的正误；再令，求出，分两种情况讨论并判断出函数的奇偶性，进而判断，，的正误即可．
本题考查抽象函数的性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，函数的图象经过点，
则，解可得．
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查函数值的计算，注意函数的解析式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数在上的最大值比最小值大，
函数在上单调递增，
则，解得．
故答案为：．
结合指数函数的单调性，列出等式，即可求解．
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：方程在上有两个不同的实根等价于与的图象在上有两个交点，
如图为函数在上的图象：
由图中可以看出当与有两个交点时，
有且，此时，
所以令，因为，则，所以
记，因为函数开口向上，且对称轴为，所以当时，，
所以的最小值为．
故答案为：．
画出函数的图象，结合图象得，根据对称性把转化为，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可．
本题主要考查三角函数的单调性和最值，属于中档题．
15.【答案】解：；
原式；
已知，是第四象限角，
所以，
．
【解析】直接利用诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值求解即可；
由已知结合对数的换底公式及对数恒等式进行化简即可求解；
由已知可得，是第四象限角，由两角和与差的余弦函数公式即可求的值．
本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，对数的换底公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数公式的应用，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】解：为奇函数，
证明：的定义域为，
有，则为奇函数；
，
在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
在区间上为减函数，
在区间上为增函数，
证明：在上为减函数，
设，
，
又由，
则，，
故，则在上为减函数，
根据题意，由的结论，在区间上为增函数，在区间上为减函数，
则，，
，
故在上的最大值为，最小值为．
【解析】根据题意，利用奇偶性分定义分析可得答案；
由对号函数的性质分析的单调性，利用作差法证明可得答案；
根据题意，由函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数的最值，属于基础题．
17.【答案】解：在中，，．
在中，．
，
．
设矩形的面积为，则
．
由，得，
所以当，即时，
．
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．
【解析】利用直角三角形的边角关系表示出、、和，写出矩形的面积，利用三角函数的性质求出它的最大值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
18.【答案】解：根据题意，可得，
因为的最小正周期是，且，所以，解得，
又因为为奇函数，所以，结合，取得．
综上所述，的解析式为．
方程，即，解得或．
当时，，
若，则，可得或，所以或；
若，则，可得，所以．
综上所述，的值为或或．
【解析】利用二倍角的三角函数公式与两角差的正弦公式，化简得，再利用为奇函数且周期为，算出与的值，可得的解析式；
先化简方程得到或，再根据正弦函数的图象与性质，算出满足条件的的值．
本题主要考查三角恒等变换及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可知，函数的定义域为，
所以，，
又因为函数为奇函数，
所以，
即，
解得，
当时，，
所以，满足函数为奇函数，
所以；
由可知，
所以在上成立，
即在上成立，
所以在上成立，
令，则，
所以，
令，，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为；
因为对，，使得成立，
所以函数在上的值域为函数在上值域的子集，
因为，
故在上单调递减，
所以，又，
所以函数在上值域为；
因为，
所以，
所以，
当时，，
则有，，
所以，解得；
当时，，
则有，，
所以，解得；
当时，，满足题意．
综上，实数的取值范围为．
【解析】求出函数的定义域，再由求解后检验即可；
由题意可得在上成立，令，则，，利用对勾函数的性质求出，的最小值即可；
由题意可得函数在上的值域为函数在上值域的子集，根据指数函数的性质可得在上值域为，分、及求出的值域，代入求解即可．
本题考查了指数函数、余弦函数及对勾函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
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