2023-2024学年安徽省安庆重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省安庆重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.若，是函数两个相邻的极值点，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
6.“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个不同零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 命题：使得，则：，
B. 若是奇函数，则一定有
C. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D. 若的定义域为，则的定义域为
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在的值域为
D. 要得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位
11.下列式子中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
12.已知和都是定义在上的函数，则( )
A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 函数与的图象关于轴对称
C. 若，则函数是周期函数，其中一个周期
D. 若方程有实数解，则不可能是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数在区间上单调递增，则 ______．
14.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为，若，则______．
15.对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是：
16.对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在上是单调的；当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求的值；
已知，，求的值．
18.本小题分
设函数．
求函数的对称中心；
若，且，求的值．
19.本小题分
已知函数．
判断在上的单调性，并用定义证明；
设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯米的点的上方悬挂竖直高度为米的广告牌如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度某人在扶梯上点处异于点观察广告牌的视角当人在点时，观测到视角的正切值为．
求扶梯的长；
当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长．
21.本小题分
设定义域为的奇函数，其中为实数．
求的值；
是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
若函数为“函数”，求实数的值；
证明：函数为“函数”；
若函数为“函数”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由，得，解得，
所以函数的定义域为．
故选：．
利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
所以．
故选：．
解一元二次不等式，化简集合，再求交集．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属于基础题．
，是两个相邻的极值点，则周期，然后根据周期公式即可求出．
【解答】
解：，是函数两个相邻的极值点，
，
故选A．
5.【答案】
【解析】解：，
为奇函数，排除选项A和；
当时，，，，排除选项B，
故选：．
根据函数奇偶性的概念可判断为奇函数，排除选项A和，再对比剩下选项，只需考虑时，与的大小关系即可作出选择．
本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，不等式化为，解得，在上不恒成立；
当时，若不等式对恒成立，则，解得．
综上所述，“关于的不等式对上恒成立”的充要条件为“”，
因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含，对照各项可知项“”符合题意．
故选：．
根据题意，分、两种情况讨论：在时，直接加以验证；在时，列出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围．然后根据必要不充分条件的定义判断出正确答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式恒成立、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：，
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是．
故选：．
根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由得
则或，
作出的图象如图，
则若，则或，
设，由得，
此时或，
当时，，有两个根，当时，，有个根，
则必须有，有个根，
设，由得，
若，由得，或，有一个根，有两个根，此时有个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，或或，，
当时，，有一个根，当时，，有个根，
当时，，有一个根，此时有个根，满足条件．
故，
即实数的取值范围是，
故选：．
利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可，
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，命题：使得，则：，，故A不正确；
对于，若奇函数，时，无意义，故B不正确；
对于，已知函数 在 上是增函数，
首先当时，单调递增，则，
其次当时，对称轴为单调递增，则，即，
但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即，
所以实数的取值范围是，故C不正确；
对于，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D正确．
故选：．
根据题意，对于，得出命题的否定判断即可；对于，取即可说明；对于，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于，由即可判断，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及函数的定义域、单调性和命题的否定，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由图可知，
所以，又因为，
所以，
所以，
又函数图象最高点为，
所以，即，
所以，
解得，
由题意，
所以只能，此时，故A选项正确；
对于，由选项分析可知，
因为，所以函数的图象不关于对称，故B选项错误；
对于，当时，，所以，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以函数在的值域为，故C选项正确；
对于，若将函数的图象向左平移个单位，
则得到的新的函数解析式为，故D选项正确．
故选：．
根据函数的部分图象求出，，的值，进而得到的解析式，再结合正弦函数的性质可判断，由三角函数图象的变换规律可判断．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，
但不成立，所以的最小值取不到，故选项A错误；
对于：因为，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故选项B正确；
对于：
，
当时，取得最小值，故选项C成立；
对于：由题意，，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确．
故选：．
对于，利用基本不等式运算求解；对于，运用对数运算及二次函数的最值可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了对数函数的运算性质，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，由，得，设，则，
所以是奇函数，图象关于对称，
所以根据函数图象变换的知识可知的图象关于点中心对称，选项正确；对于选项，与的图象关于轴对称，
所以与的图象关于直线对称，选项错误；
对于选项，，所以是周期函数，其中一个周期，选项正确；
对于选项，设是方程的一个解，
则，
所以，
所以，
令，
则，
即方程有解，
当时，方程无解，所以选项正确．
故选：．
根据函数的对称性、周期性、方程的根、图象变换等知识确定正确答案．
本题考查了抽象函数的对称性、奇偶性、周期性及转化思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，解得或，
当时，，不满足在区间上单调递增，舍去，
当时，，满足在区间上单调递增，符合题意，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合幂函数的定义，以及函数的单调性，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
由，得，
则，
故答案为：
根据三角函数同角三角函数关系表示，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可．
本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．
15.【答案】解：因为函数是定义在上的“倒戈函数”，
所以存在，使，
即，
即，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
解得，当或时，，解得，
所以．
故答案为：
【解析】根据新定义得到存在，使，转化为有解，建立不等式求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，
存在，使得，
设，则，且，所以，
因此二次函数在上有两个零点，且，
则，解得．
故答案为：．
根据函数新定义及的单调性质，存在，使得，应用换元法，问题化为二次函数在上有两个零点，进而求参数范围．
本题主要考查函数单调性的应用以及函数值域问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：
因为，
所以，
所以，
所以或，即或，
又，为第二象限角，所以，所以；
所以．
【解析】根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
由已知条件可得，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
本题主要考查了对数及指数的运算性质，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，
由，得，
所以的对称中心为；
由，得，即，
由，知，
所以
．
【解析】先化简的解析式，再由正弦函数的性质得出的对称中心；
由条件可得，结合角的范围，求出的值，再由，结合正弦函数的差角公式可得答案．
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属中档题．
19.【答案】解：设，
，
因为，
所以，，
所以，
即，
所以在单调递增；
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以函数的值域是的值域的子集，
由知在单调递增，，，
所以的值域为，
当时，在单调递增，，，
所以，由，解得：，
当时，在单调递减，，，
所以，由，解得：，
综上所述，．
【解析】利用函数单调性的定义，即可证明；
根据的结果求函数的值域，讨论和两种情况求函数的值域，转化为子集问题，即可求解．
本题考查了指数函数的性质、用定义法证明函数的单调性及分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：设，则
，．
化为：，
解得或．
．
．
设，，．
则．
作，垂足为点，则．
，．
，
，时，
取得最大值，
．
【解析】设由，则可得，利用，代入即可得出．
设，，则作，垂足为点，则，可得，利用导数已经其单调性即可得出．
本题考查和差公式、利用导数研究函数的单调性极值最值、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由是定义在的奇函数，则有，得，
把代入函数得，
而，
所以符合题意；
，
因为函数且在单调递增，
所以在上单调递减，从而在上单调递减．
，
因为在上单调递减．
得，即，
令，，
则依题意只需，
易得的对称轴是，
当，即时，在上单减，
，即，
所以；
当，即时，由，
解得：或，
所以；
当，即时，在上单增，
，即，
所以，
综上知：存在实数满足题设．
【解析】由是定义在的奇函数，利用，即可求出的值，再利用定义验证．
先假设存在实数满足题意，然后再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，再根据有解问题进行求解即可．
本题考查了函数的奇偶性，单调性以及不等式的有解问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由为“函数”，
得，即，
解得，故实数的值为．
证明：由，
则，，
令，得，
设，，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数，使得成立，
所以函数为“函数”．
函数有意义，则，定义域为，
因为函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据新定义函数的性质，写出满足的等式进而求解出结果．
令，得，设，，根据图象可知有解，得证．
根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
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