2023-2024学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.下列直线中，与函数的图象不相交的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点属于区间( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则在同一坐标系中，函数与的图象是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上有个零点 D. 的最小值为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. ，
C. “”是“在上单调递增”的充要条件
D. 若，则
10.若角，，是的三个内角，则下列结论中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11.若，均为正数，且满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.已知实数，，满足，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则实数的取值范围为______．
14.已知幂函数在单调递增，则实数 ______．
15.写出函数的一条对称轴方程：______．
16.把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比简称黄金比黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比由上述信息可求得 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
18.本小题分
已知，．
若，求；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米．
求关于的函数解析式，并求出的取值范围；
如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值．
20.本小题分
已知函数．
若，求函数的单调递增区间；
当时，函数的最大值为，最小值为，求实数，的值．
21.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
若，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，且，
求的值及的最小正周期；
将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数，
，
．
故选：．
利用分段函数求解函数值即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，令，解得，；
当时，，
所以直线与函数的图象不相交．
故选：．
根据正切函数的图象与性质，令，；求解即可．
本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为在上单调递增，
所以，
又，
所以．
故选：．
结合幂函数单调性比较，的大小及范围，结合对数函数单调性判断的范围，即可比较，，的大小．
本题主要考查了幂函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，都是上的增函数，
且，
，
函数的零点属于区间．
故选：．
判定函数的单调性，求出与的值，再由函数零点判定定理得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
两边同时平方得，，
即，
因为，，，
所以，，
则．
故选：．
由已知结合同角平方关系先求出，，然后结合二倍角公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：当时，为增函数，为减函数，此时图象符合要求．
故选：．
已知，讨论函数与单调性，再和题目中的四个图象进行比照，即可得到答案．
本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数对数函数单调性的关系是解答本题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数，其定义域为，有，故函数为偶函数；故A错误；
对于，在区间上，，在区间上单调递增，B错误；
对于，当时，，，为偶函数，所以，故函数在区间上有个零点，故C正确；
对于，对于，当时，，
此时，，
所以当时，，根据函数是偶函数，恒成立，即函数的最小值是，故D错误．
故选：．
根据题意，由三角函数、分段函数的性质分析选项，即可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及正弦函数的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是“，”，故A错误；
，
故，，故B正确；
当，
则在上单调递增，故C错误；
，
则，，
故；故D正确．
故选：．
对于，结合命题否定的定义，即可求解；对于，结合配方法，即可求解；对于，结合充要条件的定义，即可求解；对于，结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
：，选项A正确；
：，选项B错误；
：，选项C错误；
：，选项D正确．
故选：．
由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，均为正数，且满足，当且仅当，即，时取等号，
所以，A正确；
，当且仅当，即，时取等号，B错误；
因为，当且仅当，即，时取等号，C正确；
，当且仅当，即，时取等号，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，
则在上单调递增，
由可得，
所以，
所以，
故，，A错误，B正确；
因为，
所以，C正确；
因为，所以，D正确．
故选：．
令，则，则在上单调递增，结合函数的单调性可得，的大小，然后结合不等式性质及函数单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的单调性及不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了对数函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：幂函数在单调递增，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
15.【答案】，答案不唯一
【解析】解：令，，
则，．
故答案为：，答案不唯一．
由已知结合正弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，设为的黄金三角形，则有，
根据黄金三角形的性质可得，
所以，
因为，
则．
故答案为：．
由题意，设为的黄金三角形，根据黄金三角形的性质结合余弦定理即可求出，从而得到的值．
本题考查三角函数求值，二倍角公式，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
原式．
【解析】根据指数幂的运算性质求解即可；
根据三角函数诱导公式求解即可．
本题主要考查指数的运算性质，三角函数诱导公式的运用，属于基础题．
18.【答案】解：，
当时，，
所以或，
或；
若是的充分不必要条件，则，
所以两等号不能同时取得，
解得，，
故实数的取值范围为．
【解析】分别求出集合，，然后结合集合的补集及并集运算即可求解；
若是的充分不必要条件，则，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：宽为米、长为米的长方形展牌，所以面积为：，即，
所以，
其中，
，
解得，
即；
展牌的周长即，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以设计展牌的长为和宽为，才能使展牌的周长最小，最小值为．
【解析】根据矩形面积公式即可求解；
利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
20.【答案】解：函数，
所以，
令，，
整理得：，，
故函数的单调递增区间为：，．
由于，故，
所以，
当时，函数的最大值为，最小值为，
故，解得；
当时，函数的最大值为，最小值为；
故，解得．
故当时，，；当时，，．
【解析】直接利用函数的关系的变换求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间；
利用分类讨论思想的应用，根据函数的定义域求出函数的值域，进一步建立方程组求出和的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换正弦型函数的性质，函数的定义域和值域的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为为奇函数，
所以，即，
经检验符合题意；
由得，在上单调递增，证明如下：
任取，
所以，，，
则，
所以，
所以在上单调递增；
若，则，
所以，
解得，，
故的范围为．
【解析】由已知结合奇函数的性质即可求解；
任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了奇函数性质的应用，函数单调性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，且，
所以，
所以，
，
故；
将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，
若关于的方程在有两个不同的根，
即在有两个不同的交点，
作出函数的图象，如图所示，结合函数图象可知，，
故的范围为．
【解析】先把代入可求，然后结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，结合周期公式即可求解；
结合函数图象的变换求出，然后结合正弦函数的图象及性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了三角函数的变换，正弦函数的性质的应用，属于中档题．
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