2023-2024学年内蒙古呼和浩特市土默特中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年内蒙古呼和浩特市土默特中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.直线与圆的位置关系为( )
A. 相切 B. 相离
C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法中，它揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第行排在偶数位置的所有数字之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是( )
A. 每一条直线都有点斜式和斜截式方程
B. 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数
C. 方程与方程表示同一条直线
D. 直线过点，倾斜角为，则其方程为
10.对于方程，下列说法中正确的是( )
A. 当时，方程表示椭圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C. 存在实数，使该方程表示双曲线
D. 存在实数，使该方程表示圆
11.下列说法正确的是( )
A. 用，，，，能组成个不同的位数
B. 将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法
C. 小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法
D. 甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有种不同的方法
12.下列等式正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，则的周长为______．
14.直线：与曲线为参数的公共点有______个
15.在的展开式的二项式系数的最大值为______用数字作答
16.如图，一花坛分成，，，，五个区域，现有种不同的花供选种，要求在每个区域里面种种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设圆的方程为，
求该圆的圆心坐标及半径；
若此圆的一条弦的中点为，求直线的方程．
18.本小题分
抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程．
19.本小题分
已知椭圆的离心率是，点在上．
求的方程；
过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
20.本小题分
某大学组织学生无偿献血在一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．
从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？
从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？
从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
21.本小题分
已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式的所有有理项，并指明是第几项．
22.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点在棱上，当二面角为时，求
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为．
故选：．
先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可．
本题考查直线方程的求法，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径作比较，即可判断出直线与圆的位置关系．
【解答】
解：圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线即的距离为：，
直线与圆的位置关系为相交，
又圆心不满足直线方程，故直线与圆相交但直线不过圆心．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
设双曲线的方程为，
由此可得双曲线的渐近线方程为，结合题意一条渐近线方程为，
得，设，，则
该双曲线的离心率是．
故选：．
由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程即，由此可得：：，结合双曲线的平方关系可得与的比值，求出该双曲线的离心率．
本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线面关系，考查向量垂直以及转化思想，是基础题．
根据线面平行，得到，得到关于的方程，解出即可．
【解答】
解：，
，即，
解得：．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：由题知抛物线焦点为
设焦点弦方程为
代入抛物线方程得所以
由韦达定理：
所以中点横坐标：
代入直线方程
中点纵坐标：
即中点为
消参数，得其方程为
故选B．
先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去，根据韦达定理表示出，进而根据直线方程求得，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基本性质的熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：，
当时， ，
当时，，
可得，，
当时，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．
人先选人一组，然后组全排列即可．
【解答】
解：名志愿者选个组，有种方法，然后组进行全排列，有种，
共有种．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查第行排在偶数位置的所有数字之和的求法，考查杨辉三角以及二项式系数和的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用杨辉三角以及二项式系数和的有关性质直接求解．
【解答】
解：由杨辉三角得到第行所有的数字之和为：
，
由二项式系数和的性质得第行排在偶数位置的所有数字之和为：
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故A选项错误；
对于，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B选项正确；
对于，方程表示直线去掉点，与方程不表示同一直线，故C选项错误；
对于，直线过点，倾斜角为，则其方程为，正确．
故选：．
根据直线方程的形式，倾斜角和斜率的关系，逐一判断每个选项．
本题主要考查了直线的基本概念的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当且时，方程表示椭圆，故A错误；
当时，，可得方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
当时，方程即为，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
当时，方程即为，表示圆，故D正确．
故选：．
由方程表示椭圆的条件可判断；由方程表示焦点在轴上的椭圆的条件可判断；由方程表示双曲线的条件可判断；由方程表示圆的条件可判断．
本题考查方程表示的曲线，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，第一步先排百位数，有种排法，第二步排十位数有种排法，第三步排个位数有种排法，由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数，A错误；
对于，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下个团员指标排成一排，个指标之间有个空，用块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将个指标分给个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种，B正确；
对于，因为借回至少本的反面为本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少本的方法数为种，C错误；
对于，第一步甲先拿贺卡，有种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共种方法，D正确；
故选：．
根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法数，判断，利用间接法求出满足要求的方法数判断，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，判断．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：
，故A正确；
，，故B错误；
，故C正确；
，故D正确，
故选：．
由题意利用排列数、组合数的计算公式和性质，得出结论．
本题主要考查排列数、组合数的计算公式和性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：椭圆，可得，，，
由椭圆的定义可得，
又，
则的周长是．
故答案为：．
求得椭圆的，，，运用椭圆的定义，即可得到所求周长．
本题考查椭圆的定义、方程和性质，注意运用定义法是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：曲线为参数，消去参数可得，，表示以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离，
故直线与圆相交，即公共点为个．
故答案为：．
先求出曲线的直角坐标方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查参数方程化成普通方程，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，则二项式系数最大值为，
故答案为：．
根据的值以及二项式系数的性质即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，分两种情况：
、种不同花，有种，
、种相同花，有种，
共有种，
故答案为：．
根据题意可知每个区域只种一种花，相邻区域种不同的花，分类研究，、种不同花，、种相同花两大类，由此可得答案．
本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题．
17.【答案】解：将配方得：
圆心坐标为，半经为分
设直线的斜率为．
由圆的知识可知：，
又，．
直线的方程为
即：分
【解析】将圆配方为标准方程，即可求得圆的圆心坐标及半径；
利用，求出的斜率，进而可求直线的方程．
本题考查圆的方程，考查圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可设抛物线的方程为，
将点代入抛物线的方程可得：，
解得，
所以抛物线的方程为：；
可得准线方程为，
由题意可得，
则，解得，，
所以椭圆的方程为：．
【解析】设抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线的方程，可得参数的值，即求出抛物线的方程，求出准线方程，可得椭圆的焦点坐标，即求出的值，再将点的坐标代入椭圆的方程，可得，的值，求出椭圆的方程．
本题考查抛物线的方程与椭圆方程的求法，属于中档题．
19.【答案】解：因为椭圆的离心率是，
所以，
因为点在上，
所以，
又，
联立，解得，，，
所以椭圆方程为；
证明：易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
此时直线，
令，
解得，
即，
同理得，
此时
，
故线段的中点为定点，定点为．
【解析】由题意，根据椭圆离心率以及所过点的坐标，结合，，之间的关系，列出等式即可求出椭圆的方程；
设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用根的判别式得到直线的斜率，利用韦达定理得到相关表达式，设出直线的方程，得到点的坐标，同理可得点的坐标，再代入式子中进行求证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：根据题意，一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．
若从中任选名学生去献血，有种不同的选法；
若从四种血型的学生中各选名学生去献血，有种不同的选法；
任选名具有不同血型的学生去献血，
有种不同的选法．
【解析】根据题意，由分类计数原理计算可得答案；
根据题意，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，先分析不同血型的名学生的选法，进而由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
21.【答案】解：由题意可得，则，
所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即为；
二项式的展开式的通项公式为，，，，，
当被整除即为有理项，则，，
所以有理项分别为，．
【解析】根据二项式系数和公式求出的值，然后根据二项式系数的性质即可求出最大项；求出展开式的通项公式，然后根据有理项的性质求出的值，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
22.【答案】解：证明：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以，
又，不在同一条直线上，
所以．
设平面的法向量，则，
设，
又，，，
设平面的法向量，则，
令，得，，
所以，
所以，
化简可得，，解得或，
所以或，
所以．
【解析】建立空间直角坐标系，先证明，可以得出线线平行．
先设点的坐标，在应用空间向量法求二面角余弦值求出参数即可．
本题考查直线与平面的位置关系，点到平面的距离，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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