2023-2024学年云南省保山市腾冲民族中学高一（下）开学数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年云南省保山市腾冲民族中学高一（下）开学数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.若函数为奇函数，则实数，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
8.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A.
B. 若集合，是全集的两个子集，且，则
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 命题“，”的否定是“，”
10.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，以下判断正确的是( )
A. 是增函数 B. 有最小值 C. 是奇函数 D. 是偶函数
12.关于三角函数的性质，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的一个对称中心为
C. 函数的图象关于对称 D. 函数在区间上单调
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.设单位向量，的夹角为，则 ______．
14.命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______．
15.已知幂函数的图象过点，则 ______．
16.若，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
定义在上的奇函数满足：当时，．
求的解析式；
求不等式的解集．
18.本小题分
已知，命题：命题：函数在上存在零点．
若是真命题，求的取值范围；
若，中有一个为真命题，另一个为假命题，求的取值范围．
19.本小题分
已知向量，，．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
20.本小题分
已知．
化简；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为
所以或，
所以．
故选：．
利用补集和交集的定义求解即可．
本题主要考查集合的交集和补集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，
所以，
故．
故选：．
根据分段函数的解析式，先计算的值，再求得的值即可．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：为奇函数，
设，，则，
时，，
，．
故选：．
根据的解析式以及为奇函数，即可设，从而得出，这样即可得出，这样即可求出，的值．
本题考查奇函数的定义，考查函数解析式的求法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：分别画出函数红色曲线和蓝色曲线的图象，如图所示，
由图可知，与有个交点，
所以，有个解，
即函数的图象与轴由三个交点，故排除，，
当时，，故排除
故选：．
根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是，图象与轴的交点的个数，排除，再取特殊值，排除
本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题
5.【答案】
【解析】【分析】
由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．
本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力．
【解答】
解：由平面向量，可得，
由，可得，
即，
则，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以．
故选：．
根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，在为单调递减函数，
因为，所以，即，
所以，，
所以，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点．
故选：．
根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解．
本题考查了函数零点的判定定理，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：
，
其最小正周期，
故选：．
利用两角和与差的正弦及二倍角的余弦可得，再利用辅助角公式可得，于是可求其最小正周期．
本题考查两角和与差的正弦及二倍角的余弦、辅助角公式的应用，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，是整数，，正确；
选项B，当，，时，，，错误；
选项C，命题“，”的否定是“，”，正确；
选项D，命题“，”的否定是“，”，错误．
故选：．
分别根据集合间的关系，集合的运算法则以及含有一个量词的命题的否定求解即可．
本题考查命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：是定义在上的偶函数，在单调递减，所以在上是增函数，
是定义在上的奇函数，在单调递减，所以在上是减函数，
所以在上是减函数，
所以，，，但是不能判定两个的正负，所以不正确；
，可得，所以B正确；
，所以不正确；
，所以D正确；
故选：．
利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算，重点考查了对数函数的性质，属于中档题．
先由对数的运算化简，再结合对数函数的性质逐一判断即可得解．
【解答】
解：函数，
则，
则，
则，即函数为偶函数，即选项D正确，选项C错误；
由，当且仅当时取等号，即函数有最小值，即选项B正确；
由函数为偶函数，且不是常数函数，所以一定不是单调递增函数，即选项A错误，
故选BD．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，函数的最小正周期为，对；
对干选项；因为，
所以函数的一个对称中心为，错；
对于选项，因为，
则，
故函数的图象不关于直线对称，错；
对于选项，当时，，
又因为正弦函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，对．
故选：．
利用正弦型函数的周期公式可判断选项；利用正弦型函数的对称性可判断选项，利用正弦型函数的单调性可判断选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，，
所以．
故答案为：．
根据向量的模及夹角直接进行数量积运算即可．
本题考查平面向量数量积运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：，是真命题，
，成立，
当时，，
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据特称命题的性质得到，成立，再利用二次函数求值域即可．
本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的值域是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由函数为幂函数，得，即，
所以，
又函数过点，
则．
故答案为：．
根据幂函数的定义可得，再根据函数图象过点，可得．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数求函数值，本题要注意两点，一是要根据定义域选择好解析式，二是当多重求值时，要从内到外求解．
先求出来，再求，一定要注意定义域选择好解析式．
【解答】
解：，
，
故答案为．
17.【答案】解：当时，，．
因为是定义在上的奇函数，所以．
当时，，，即，
即，解得．
当时，，，即，
即，解得．
故不等式的解集是．
【解析】利用函数的奇偶性求出解析式即可．
对分段函数进行讨论，去掉绝对值后解不等式即可．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为是真命题，所以成立，解得，
所以的取值范围是；
若为真命题，则函数在上存在零点，
则方程在上有解，
因为该方程在有解时两解同号，
所以方程在上有两个正根，
则，解得，
若为真命题，为假命题，得，
若为假命题，为真命题，得，
所以的取值范围为或．
【解析】是真命题即以成立，解此不等式即可；分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况分别求解即可．
本题考查了命题的真假，以及二次不等式的解法和二次方程根的分布问题，属于中档题．
19.【答案】解：，，，
则，，
，
则，解得或；
，
则，解得或．
【解析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直、共线的性质，属于基础题．
20.【答案】解：由题意得，；
若，则，
，
，
则．
【解析】本题考查利用诱导公式化简求值，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，是基础题．
直接利用三角函数的诱导公式化简；
利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值．
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