2023-2024学年四川省德阳重点中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省德阳重点中学高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则，，之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.函数；；；的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
6.用二分法求函数的一个正零点的近似值精确度为时，依次计算得到如下数据；，，，，关于下一步的说法正确的是( )
A. 已经达到精确度的要求，可以取作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
7.北京时间年月日时分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：和燃料的质量单位：、火箭的质量除燃料外单位：的函数关系是当火箭的最大速度达到时，则燃料质量与火箭质量之比约为参考数据：( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其中若在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.给出下列结论，其中不正确的结论是( )
A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为
11.下列说法错误的是( )
A. 若，则是第一象限角或第二象限角
B. 若，是锐角的内角，则
C. 函数是偶函数
D. 函数是增函数
12.已知，，则下列选项中正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为______．
14.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，线段绕点顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为______．
15.若方程在有解，则的取值范围是______．
16.已知函数，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知合，或．
当时，求；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若且为第二象限角，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的最大值，并求出使函数取得最大值的的集合；
求函数在上的单调递减区间．
20.本小题分
近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间小时成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为，且根据图中提供的信息，求：
从药物释放开始，每立方米空气中的含药量毫克与时间小时之间的函数关系式；
为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室精确到小时参考值：，，
21.本小题分
已知函数．
Ⅰ用定义证明在定义域上是减函数；
Ⅱ若函数在上有零点，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，写出的单调递减区间不必证明，并求的值域；
Ⅱ设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
又，，
所以，
则．
故选：．
由已知结合集合的并集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为命题为全称命题，其否定为特称命题，
即为：，，
故选：．
利用全称命题与特称命题的否定关系即可求解．
本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当时，不等式化为，解得，在上不恒成立；
当时，若不等式对恒成立，则，解得．
综上所述，“关于的不等式对上恒成立”的充要条件为“”，
因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含，对照各项可知项“”符合题意．
故选：．
根据题意，分、两种情况讨论：在时，直接加以验证；在时，列出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围．然后根据必要不充分条件的定义判断出正确答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式恒成立、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
则．
故选：．
由已知结合对数函数及正弦函数的单调性分别判断，，的范围，即可比较．
本题主要考查了对数函数及正弦函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，
由，
故选：．
只需明确直线与函数图象的交点的纵坐标大小，即可得出答案．
本题考查指数函数的图象，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，
当零点在区间时，区间的长度为，
故没有达到精确的要求，应该接着计算的值．
故选：．
根据题意，先分析精确度是否符合要求，再由二分法的步骤分析可得答案．
本题考查二分法的步骤和应用，注意二分法的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
则，
故．
故选：．
令，即可求得燃料质量与火箭质量之比．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，
解得，
因为在区间上单调递增
所以，解得，
因为，
当时，可得．
故选：．
由已知结合余弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了余弦函数单调性的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据三角函数的性质可得：
的周期为，且该函数在间上单调递减，故A选项错误；
的周期为，且该函数在间上也单调递增，故B选项正确；
的周期为，且该函数在间上也单调递增，故C选项正确；
的周期为，且该函数在间上不具有单调性，故D选项错误．
故选：．
根据三角函数的性质，即可分别求解．
本题考查三角函数的性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：：函数，的最大值为，所以，则单调递减，所以的最小值为，所以不正确；
：函数且，在上是减函数，所以函数且在上是减函数，则在上单调递增，所以，解得：，所以不正确；
：函数与是互为反函数的，所以在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称图象关于直线对称，所以C正确；
：上的奇函数在内有个零点，所以函数在内有个零点，又，所以函数的零点个数为，所以D正确．
故选：．
：函数，由复合函数的单调性可得有最小值；可得不正确
：函数且在，由复合函数的单调性可得满足的条件：可得的范围，不正确；
：由互为反函数的图象关于直线对称，所以C正确；
：由奇函数的性质，图象关于原点对称，及可得零点的个数，所以D正确．
本题考查复合函数的单调性及函数的奇偶性和反函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当，则是第一象限角或第二象限角或轴非负半轴，A错误；
若，是锐角的内角，则，即，
所以，B正确；
为偶函数，C正确；
在，，但在定义域上不是单调函数，D错误．
故选：．
结合三角函数定义检验选项A；结合锐角三角函数定义检验选项B；结合诱导公式进行化简，然后结合余弦函数的奇偶性检验选项C，结合正切函数定义检验选项D．
本题主要考查了三角函数的定义，锐角三角函数定义，函数的奇偶性，正切函数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，
两边平方得，
所以，A正确；
因为，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以故选项 D错误．
故选：．
由已知结合同角基本关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由可知，，
所以扇形面积．
故答案为：．
根据扇形的弧长公式及面积公式求解．
本题考查扇形的弧长公式及面积公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以点在单位圆上，
且点在角的终边所在的直线上，
则点的初始位置坐标，
线段绕点顺时针转动后，点在角的终边所在的直线上，
所以点所在位置的坐标为．
故答案为：．
首先弄清顺时针旋转为负角，再利用三角函数定义确定点的坐标．
本题考查任意角三角函数的定义，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，转化为，即，
因为，则，则，
所以，则，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果．
本题考查了正弦函数的性质，考查了方程思想和函数思想的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
若，不妨设，
则，
所以，即，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．
由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解．
本题考查对数函数的性质及对数的运算，考查基本不等式的运用，是中档题．
17.【答案】解：当时，集合或或，
因为，所以．
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
而，或，
所以或，故或，即实数的取值范围为．
【解析】根据题意，代入化简集合，再利用集合的交集运算法则可得；
利用集合与充要条件的关系，可得到是的真子集，由此列式求得的取值范围．
本题主要考查了集合的概念与基本运算、充要条件的定义与判断等知识，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ证明：．
得证．
Ⅱ因为且为第二象限角，
所以，，
所以．
【解析】Ⅰ利用诱导公式即可化简证明．
Ⅱ由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：令，
解得，
当时，的最大值为，
函数的最大值为，取得最大值的的集合为；
令，
解得，
记集合，，
或，
函数在上的单调递减区间为和．
【解析】由题意可知，的最大值为，再令求出的值即可；
令求出的单调递减区间，再与求交集即可．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．
20.【答案】解：当时，设，将代入得：，解得，所以，
当时，，将，代入：，解得，，所以，
综上：；
令，得，
化简得：，
解得：，
所以从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室．
【解析】当时，设，当时，设且，将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式；
分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论．
本题考查了分段函数和指数函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：证明：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
设，则，
由于，则，必有，
故，
则函数在定义域上是减函数；
根据题意，由的结论，函数在定义域为上的减函数，则为减函数，
若函数在上有零点，则，解可得：，
故的取值范围为．
【解析】根据题意，由作差法分析可得结论；
根据题意，分析的单调性，由此可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查函数零点与方程的关系，涉及函数单调性的证明，属于基础题．
22.【答案】解：Ⅰ当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
当时，
当且仅当，即时取等号，
故函数的值域为；
Ⅱ函数，
当时，，所以，
设函数在上的值域为，
因为对任意，总有，使得，
所以，
又，，
故，
解得，
当时，在上单调递增，
则有，
可得，解得，
所以；
当时，，当且仅当时取等号，
当，即时，在上单调递增，
所以，
可得，解得，
所以；
当，即时，，
所以，
，解得，
所以；
当，即时，，
所以，
可得，解得，
所以；
综上可得，的取值范围为．
【解析】Ⅰ直接利用对勾函数的性质写出单调区间，利用基本不等式求出函数的最值，即可得到答案；
Ⅱ分别求出函数和的值域，将对任意，总有，使得，转化为两个值域之间的包含关系，利用集合的包含关系求解即可．
本题考查了函数的综合应用，涉及了函数单调性的判断、方程恒成立的研究，同时考查了双勾函数的性质以及利用基本不等式求最值问题，综合性较强，知识的涉及面较广．
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