2023-2024学年福建省福清重点中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福清重点中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知第二象限角，钝角，大于的角，那么，，关系是( )
A. B. C. D.
2.在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知平面向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 若是奇函数，则
B. 若为常数是幂函数，则不等式的解集为
C. 函数在上是减函数
D. 与为同一函数
5.已知正实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间，单位：天的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的倍至少需要参考数据：，( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
7.已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若对于任意，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数通过变换得到的解析式与函数解析式相同的有( )
A. 函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B. 函数向左平移个单位长度
C. 函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 函数向左平移个单位长度，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变
10.如图，在梯形中，，，与相交于点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，且，，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递减
C. D.
12.已知函数，则下面结论正确的是( )
A. 的对称轴为 B. 的最小正周期为
C. 的最大值为 ，最小值为 D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为______用弧度制表示
14.已知，且，则向量夹角的余弦值为______．
15.已知，且若对、，使得成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设函数的定义域为，集合．
求集合；
若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知．
求的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数．
求，的值；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知某海滨浴场海浪的高度米是时刻，单位：时的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：
时
米
经长期观测，的曲线可近似地看成是函数的图象．
Ⅰ根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；
Ⅱ依据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请依据Ⅰ的结论，判断一天内的：至：之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？
20.本小题分
已知函数，其中，为常数．
当时，若函数，求与的值；
若函数在的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围．
21.本小题分
已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，．
若，求实数的取值范围；
求函数的值域，并求满足的实数的取值范围；
设，，若对于任意的、、，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误；
对，钝角大于，小于，故B，故选项B正确；
对，C错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误；
对，C错误．如在第二象限，但是并不在集合，中，故D错误．
故选：．
利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为与的终边相同，则，
但当时，与的终边可能相同或者关于轴对称，
故“与的终边相同”是“”的充分而不必要条件．
故选：．
根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可．
本题主要考查了终边相同角的关系的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：
故选：．
由，根据可得答案．
本题主要考查向量的共线定理，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，若是奇函数，则或不存在，故A错误；
对于，若为常数是幂函数，则，解得，
，
不等式，
，
，解得，
不等式的解集为，故B正确；
对于，函数的减区间是和，但在上不是减函数，故C错误；
对于，与不为同一函数，故D错误．
故选：．
利用奇函数的性质判断；利用幂函数的定义判断；利用函数的单调性判断；利用函数的对应关系判断．
本题考查奇函数的性质、幂函数的定义、函数的单调性、函数的对应关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为．
故选：．
由，得，再根据基本不等式即可得解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：依题意，且时，，即
，所以，
所以，，令，
两边取以为底的对数得：，
则，
所以至少需要天．
故选：．
先求得，然后根据“的倍”列方程，化简求得需要的时间．
本题考查了对数的运算，利用给定函数模型解决实际问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为正切函数相邻的两个对称中心的距离为，
所以函数的周期为，即，
故，
因为在区间内单调递减，
所以，故，
所以，
因为，
当时，，
则，解得，
当时，．
故选：．
利用点和是其相邻的两个对称中心，求出周期，进而求出的值，由在区间内单调递减，得到，故，然后利用特殊点求解即可得到答案．
本题考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查了正切函数的图象和性质，涉及了周期性、单调性以及特殊点的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对任意成立，
令，
则对任意成立，
在上单调递增，
则函数在上单调递增，且对成立，
令，因此在上单调递增，且对成立，
当时，在上单调递增，且对成立，
当时，由在上单调递增，得，解得，
由，，得，解得，因此，
所以实数的取值范围是．
故选：．
对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得．
本题考查了复合函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，故A正确；
对于：函数向左平移个单位长度得到的解析式，故B正确；
对于：函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位，得到的解析式，故C错误；
对于：函数向左平移个单位长度得到，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变得到的解析式，故D错误．
故选：．
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果．
【解答】
解：如图所示：
在梯形中，，，
所以：对于选项A：，故选项A正确．
对于选项B：利用向量的线性运算故选项B正确．
对于选项C：由于，所以，故，故选项C正确．
对于选项D：，故选项D错误．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
依次分析选项：
对于，函数，其定义域为，
有，则的图象关于直线对称，A正确；
对于，设，则，
当时，有，为增函数，
而在上递减，
故在上单调递减，B正确；
对于、，在区间上，为减函数，
由于，
则有，
故，
故有，C正确；D错误．
故选：．
根据题意，依次分析选项，对于，由函数的解析式可得，可得A正确；对于，由复合函数单调性的判断方法可得B正确，对于、，由对数的运算性质可得，结合函数的单调性可得C正确；D错误，综合可得答案．
本题考查函数单调性的判断和性质的应用，注意分析函数的单调性和对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
当，时，
即当，时，
，即，
此时，；
当，时，
即当，时，
，即，
此时，；作出函数的图象如下图中实线所示：
对于选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，
对任意的，
，
所以，函数的对称轴为，，故A对；
对于选项，对任意的，
结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，对；
对于选项，由选项可知，函数的对称轴为，，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，，
所以，，
因此，的最大值为，最小值为，对；
对于选项，由选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，错．
故选：．
化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项．
本题考查了三角函数图象及性质，作出函数的图象是关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设扇形圆心角，半径，
则弧长，
面积，
解得，．
故答案为：．
根据面积公式算出半径，再根据弧长公式算出圆心角即可．
本题考查扇形的弧长和面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，设向量夹角为，
若，且，
则，
变形可得：．
故答案为：．
根据题意，设向量夹角为，由数量积的计算公式可得，代入数据计算可得答案．
本题考查向量的夹角计算，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，因为，可得，
又由对、，使得成立，
可得在，上恒成立，
又由且一定为单调函数，
所以只需，即，其中且，
解得或，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
由，求得，转化为在，上恒成立，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，属于中档题．
16.【答案】解：要使得函数有意义，只需要，
解得，所以集合；
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可知，实数的取值范围是．
【解析】利用真数和被开方数大于列不等式求解；
转化为是的真子集，讨论是否为空集，列不等式求解．
本题考查函数的定义域及其求法，考查充分必要条件的判定及应用，是基础题．
17.【答案】解：，
，
．
，
又，，，，
，
．
【解析】直接利用同角三角函数的关系式的变换和三角函数的诱导公式求出三角函数的值；
利用关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：是上的奇函数，
，即，，
，又，
，．
检验：当，时，满足，
即是上的奇函数．
由知，
易知在上为减函数，
令，因为，故，
又是奇函数，，
等价于
又因为减函数，由上式推得，
即对一切，有恒成立，
，，
令，，
计算得，
即．
【解析】根据函数的奇偶性得到，求出的值，由，求出的值，再检验即可；
问题等价于，得到，，根据二次函数的性质求出的范围即可．
本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性以及转化思想，考查二次函数的性质，是一道中档题．
19.【答案】解：Ⅰ根据以上数据，可知，，
周期即
当时，可得，
即
，
故得函数表达式；．
Ⅱ当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，即函数时，
即．
结合余弦函数的性质可得：或或．
一天内的：至：之间，：至：之间，：至：之间时间段不对冲浪爱好者开放．
在规定时间上午：到晚上：之间，有个小时可供冲浪者运动，即上午；到下午：
【解析】Ⅰ根据以上数据，可知，，周期求解，可得函数表达式；
Ⅱ当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，即函数时，求解的范围，即可判断一天内的：至：之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查方程思想与解决实际应用问题的能力，属于难题
20.【答案】解：当时，，
令，，则，则，
若，则，则，．
若函数在的图像恒在函数图像的上方，
则恒成立，
即在上恒成立，
得，
当时，，则，即，
则，
当时，，则，
则的最小值为，
即，
即实数的取值范围是
【解析】当时，利用辅助角公式进行化简，进行求解即可．
根据条件转化为恒成立问题，求出角的范围，利用最值性质求出最小值即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式以及利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：由表示不小于的最小整数，，得，
所以实数的取值范围是．
函数定义域为，
而函数在上单调递增，值域为，
因此，所以，
所以函数的值域为；
显然，，
由，得，
所以，而时，不等式不成立，
则，必有，所以，
所以，，解得，
所以实数的取值范围．
当时，，
函数在上单调递减，在是单调递增，
因此函数在上单调递增，在是单调递减，
所以，而，
所以在上的值域为，，，，
依题意，，，即，，
当时，，显然当时，，则，，
当时，，而恒成立，则，，
所以实数的取值范围．
【解析】根据，结合定义，直接列式求解即可．
由对数函数的单调性求出的值域，进而列出不等式，求出值范围作答．
利用对勾函数求出在上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性质分类讨论求解作答．
本题考查了函数与方程的综合运用，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
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