2023-2024学年人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线单元试题（含解析）

2023-2024学年人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图，和是对顶角的是（ ）
A． B．C． D．
2．如图，固定木条，，使，旋转木条，要使得，则应调整为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和的位置关系是（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
4．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．一条直线有且只有一条平行线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．一个角一定不等于它的补角
5．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，点在直线上，直线，，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．两个锐角的和等于直角 B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线
9．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，设点P是直线l外一点， ，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．如图，点E在四边形的边的延长线上，要使得，则可添加的条件为 ．（填一个即可）

12．将一个矩形纸片按如图折叠，若则的度数是 ．
13．与的两边分别平行，的度数是，则的度数是 ．
14．如图，，若，，则的度数为 ．
15．如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ．
16．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ．
17．如下图，把一个含的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则为 度．

18．如图，两平面镜，的夹角为，若一条光线射到平面镜上，经过平面镜，两次反射后，使得，则 ．（注：入射角反射角，即，）

三、解答题（共66分）
19．如图，已知点在同一直线上，，平分．
(1)若，求和的度数．
(2)若恰好平分，求的度数．
20．如图，已知，求．
21．推理填空
已知：如图，，，试说朋：．
证明：（已知），
___________（____________________）
___________（____________________）
（已知），
__________（等量代换），
____________________（内错角相等，两直线平行），
（_______________）
22．如图，已知，．
(1)求证；
(2)若平分，，求的度数．
23．如图，已知的边上有一点，过点的直线，作平分．
当时，回答下列问题：
(1)求和的度数；
(2)过点作，请直接写出的度数．
24．如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
25．问题情景：如图1，．
(1)观察猜想：若，．则的度数为__________．
(2)探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
(3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角，据此求解即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的和是对顶角，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C
3．B
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：如图，和的位置关系是同位角．
故选：B
4．C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行公理及补角的定义等知识，难度不大．利用对顶角的定义、平行公理及补角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，为假命题；
B、一条直线有无数条平行线，故错误，为假命题；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
D、90°的角等于它的补角，故错误，为假命题．
故选：C．
5．A
【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：∵，
故A符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故A不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系进行求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义等知识点．根据平角可求，进而根据平行线的性质即可求出的度数．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了命题的判断，根据直角，对顶角的定义，平行线的判定定理，直线公理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．当锐角为和时，和为，不是直角，故A选项不符合题意；
B．两直线平行，同位角相等，但它们不是对顶角，故B选项不符合题意；
C．两直线平行，同位角相等，故C选项不符合题意；
D．经过两点有且只有一条直线，故D选项符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】由与平行，利用两直线平行内错角相等求出的度数，再利用直角，即可确定出所求角的度数．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：如图所示，
，
，
，
．
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案．
【详解】解：∵垂线段最短，
∴，
故选：A．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行作答即可．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．（答案不唯一）
12．/71度
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
结合平行线的性质得出：，再利用翻折变换的性质得出答案．
【详解】如图，
由题意可得：，
由翻折可知： =70°．
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了平行线的性质求角度；由和的两边分别平行，即可得或，又由的度数是，即可求得的度数．
【详解】解：∵和的两边分别平行，
或，
∵的度数是，
，
∴或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差；由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等．”是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
；
故答案：．
15．/16度
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点E，F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
16．如果两个角是对顶角，那么它们相等
【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，据此解答即可．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
17．20
【分析】由题意可得，，，根据平行线的性质可得，再根据进行计算即可．
【详解】解：如图，
，
由题意可得：，，，
，
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，注意三角板和直尺的隐含条件．
18．/90度
【分析】由平行线的性质得出，根据平角的定义得出，进而得到，再根据三角形的内角和即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
19．(1)；
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键．
（1）首先根据垂直的概念得到，根据角的和差关系和平角的概念求出的度数；然后结合角平分线的概念求出的度数；
（2）根据角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）
；
，平分
（2）平分
平分
．
20．
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，首先根据证明出，然后得到，然后利用平角的概念求解即可．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理．
【详解】解：如图所示．
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
21．；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同位角相等
【分析】此题考查平行线的性质和判定定理．先证明，推出，再证明，推出，据此即可证明．
【详解】证明：（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同位角相等．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
（1）根据平角的定义和，得到，推出，进而得到，，得到，即可；
（2）平行加角平分线，得到，根据，，求出，即可得解．
熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
23．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，即可求出的度数，再由对顶角相等即可得到答案．
（2）分两种情况讨论求解．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
；
（2）解：如图：
；
当在下面时，．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）先根据平行线的性质得到，再根据证得，根据同位角相等，两直线平行证得结论；
（2）已知，可求得，进而求得，再利用证得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键．
（1）过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作，则，根据平行线的性质得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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