北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除单元试题（含解析）

北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，那么、、之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子可用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，一大一小两个正方形紧贴，边长分别是a、b．已知．则可知阴影部分面积是（ ）
A．36 B．18 C．28 D．14
7．若，，则代数式的值是（ ）．
A．2019 B．2030 C．2024 D．2023
8．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A． B．39 C．40 D．49
9．在数学兴趣活动中，李老师拿了一根铁丝，她先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为，，则的值是（　　）
A． B． C．27 D．3
10．如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若，则 ．
12．若，，则 ．
13．已知，则的大小关系是 ．
14．已知多项式除以一个多项式A，得商式为，则这个多项式 ．
15．与的积不含的一次项，则的值是 .
16．已知，则 ．
17．下列各式中，①；②；③；④；⑤，正确的有 (写序号)．
18．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 ．

三、解答题（共66分）
19．计算：
(1) (2)
(3) (4)
20．先化简，再求值：，其中，．
21．某同学在计算一个多项式乘时，算成了加上，得到的答案是，请你求出正确的结果．
22．已知，求下列各式的值．求、 、、
23．某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
(2)当，时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
24．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，
∴，即，
又∵，
∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
25．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求的最小值．
解：
，
∵，
∴，
即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ．
(2)求的最大值．
(3)已知，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查整式的运算，根据同底数幂的乘法、合并同类项及幂的乘方与积的乘方计算可得．
【详解】解：A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查积的乘方及同底数幂的乘法，解答的关键是根据积的乘方及同底数幂的乘法将转化为，再利用有理数的乘方和乘法进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的特点对各选项逐一分析判断即可．解题的关键掌握平方差公式分解因式的条件：公式左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方．
【详解】解：A．∵，
∴该式子是用完全平方公式进行计算的，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴该式子是用完全平方公式进行计算的，故此选项不符合题意；
C．∵，
∴该式子是用完全平方公式进行计算的，故此选项不符合题意；
D．∵，
∴该式子是用平方差公式进行计算的，故此选项符合题意．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【详解】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积，
阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，
．
故选：B
6．D
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．阴影部分的面积用完全平方公式进行变形求值即可得．
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为
把代入
故选：D
7．B
【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式的值整体代入变形后的式子计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：B．
8．A
【分析】此题考查了整式混合运算的应用．根据，列出关系式，整理后，将，代入，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴
；
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据铁丝长度不变列出方程是解题的关键．根据铁丝长度不变列出方程求出乙长方形的长，分别求出甲，乙长方形的面积，求差即可．
【详解】解：图乙的长方形另一边长为，
∴，
故选D．
10．B
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图中，阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，右边一幅图中，阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此分别表示出两幅图中阴影部分面积，再由两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：左边一幅图中，阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即，
右边一幅图中，阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，即，
∵两幅图中阴影部分面积相等，
∴，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了同底数幂相乘运算，即底数不变，指数相加，利用同底数幂相乘运算即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：5
13．/
【分析】本题主要考查幂的乘方，将，，全部化成以为底数的指数幂，再比较即可得出答案，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：；
；
；
，
；
即．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．直接用多项式除以单项式即可得到答案．
【详解】解：多项式除以一个多项式A，得商式为，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握相关法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果不含的一次项，得到，即可求出的值．
【详解】解：
，
与的积不含的一次项，
，
，
故答案为：
16．24
【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，以及已知式子的值，求代数式的值，由已知条件得出，进一步得出，，然后利用完全平方公式变形即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：24．
17．③⑤
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提取公因式法分别计算判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，利用提取公因式法计算，熟练掌握运算法则和运算性质是解题的关键．
【详解】解：，原式错误；
，原式错误；
，原式正确；
，原式错误；
，原式正确；
所以正确的有，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，用两种方法表示出两个长方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：剩余部分的面积可以用：进行表示，也可以用进行表示，
∴上述操作能验证的等式是；
故答案为：．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及积的乘方、同底数幂除法、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、、乘法方式，熟练掌握公式及法则是解题关键．
（1）先计算积的乘方，再计算同底数幂除法即可；
（2）先计算单项式乘以多项式，再合并括号内整式，最后计算整式除法即可；
（3）先计算多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．，
【分析】本题考查整式混合运算—化简求值，根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将、的值代入计算即可. 熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
当，时，原式．
21．
【分析】本题考查单项式与多项式相乘，用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以即可得出正确结果．熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
【详解】解：由题意得原多项式为：
，
∴，
∴正确的结果是．
22．30；24；36；
【分析】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，利用完全平方公式得到，然后整体代入即可；利用完全平方公式得到，然后整体代入即可，利用平方差公式可得的值．
【详解】解：
；
；
=或=
∴．
23．(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
(2)长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗．
【分析】本题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键．
（1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可．
（2）把，代入（1）的结论即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
（2）解：当，时，
原式，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查有关完全平方公式的计算，根据化简求解即可得到答案；
（2）本题考查有关完全平方公式的计算，根据化简求解即可得到答案；
（3）本题考查有关完全平方公式的计算，根据化简求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形，是正方形，，
∴，，
∴，即：，
∴．
25．(1)4
(2)9
(3)
【分析】（1）本题主要考查把一个多项式配成完全平方式结构，根据完全平方式结构直接添加常数项即可求解．
（2）本题主要考查利用配方法配方，然后再用平方差公式进行因式分解，注意整体法的应用就可以直接求解．
（3）本题主要考查利用题干中的信息进行配方，然后求出最大值，直接变形即可，注意此多项式前面是负号，加括号要变号．
【详解】（1）解：根据题意，直接计算；
∴故答案为：4．
（2）解：
，
∵
∴，
∴，
即的最大值为9．
（3）解：原式可化为，
即，
∵，，
∴，，
∴．