七年级数学上册 2.1 正数与负数导学案 苏科版

第二章 有理数
【目标·概览】
在小学里，我们学过自然数、分数（包括小数 ( http: / / www.21cnjy.com )）的知识，先学习自然数及其运算，由于生活实际的需要，数的范围，扩充到包含分数在内的数，这既是生产、生活的需要，又是实际运算的需要，从这两方面来看，我们已学过的算术数（包括自然数和分数），远不能满足需要，还需要引进新的数，如正数和负数。本节我们的学习目标如下：
了解正数、负数是怎样产生的；
⒉理解数0表示量的意义，知道什么是正数和负数；
⒊初步会用正、负数表示具有相反意义的量；
⒋理解有理数的意义；
⒌能把给出的有理数按要求分类；
⒍了解数0在有理数分类中的作用。
【思考交流】
让我们看这样的问题：
某仓库运入钢材5000千克，运出钢材2500千克。运入5000千克与运出2500千克，这对数量在意义上有什么不同？
让我们再看一个行程问题：
在一条笔直的公路上，甲乙两人同时从某地出发各走4km，却相距8km，这是为什么？
因为两人从同地出发，有两种走法：一种是同向 ( http: / / www.21cnjy.com )，另一种是异向。当两人按相反方向行走时，是不会相遇的，各是4km，就相距8km，由此看来在某些问题中，指明方向是十分重要的。
最后让我们再看下面问题：
某人有钱5元，用去4元，还剩几元？
如以算术式表示：5-4=1
假如某人带着4元钱，用5元钱买了一件衣服，问还剩几元？
列式为：4-5
初看起来有4元钱，买回价值5元的衣服，是不 ( http: / / www.21cnjy.com )可能的，但是现实生活中这种事情是存在的，只要先向别人借1元钱，就可以了，由此看来4 -5也是有意义的。
【学法指津】
⒈搞好与前面学段知识的衔接。
前面学段学过整数、分数（包括小数）的知识，即正有理数及0的知识，还学过用字母表示数的知识，这些都是学习本节知识的基础，因此要求同学们在学习过程中，通过知识的回顾，理解负数引入的必要性及实际意义。
⒉勤于观察，思考探究、讨论、归纳，进行研究性学习。
我们可以从身边的事物的观察 ( http: / / www.21cnjy.com )入手，家庭的收入与支出、学习成绩上升与下降、班学生人数的增与减等实际问题蕴含着大量的正负数的事例，这样可以加深我们对所学知识的印象。
勤于思考，善于思考，是学好数学的必要条件，教科书中穿插安排了大量的“想一想”“做一做”等栏目，有的通过对这些问题的思考获得结论，有的通过对解决问题的过程的反思加深认识。
探究是解决问题、探求知识的过程，要对某个定理、某个定义知其然，更要知其所以然，如有理数的分类的两种方法的分类标准是什么？为什么这样分？
讨论是合作交流，从而互相启发，互相促进 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种方式，积极交流表达思想可以促进数学思考，扩大和加深对问题的认识，例如在判断小数是否是分数时，同学们可以进行讨论，明确问题的结论。
【知识导学】
知识点一：相反意义的量
“相反意义的量”这个概念是数学中最基本的概念之一，不能用其它更基本的概念来加以说明，只可用现实中熟悉的例子来描述。
如：运进5000kg与运出2500kg；
汽车向东行驶40km与向西行驶40km；
温度计的零上5℃与零下7℃。
这些意义上相反的两个量，叫做具有相反意义的量。具有相反意义的量是很多的，但并不是每一个量都具有相反意义的量。如一个人的身高为1.72米；李林峰15岁；一筐苹果重20千克；……，这些量都不具有相反意义的量。
知识迁移：你能在生活实际中找出其他一些表示相反意义的量吗？试举几例说明。
知识点二：（重点）正数和负数
数的产生和发展离不开生活和生产的需要，由记数，排序，产生数1，2，3，……；由表示“没有”“空位”，产生数0，由分物、测量、产生分数，，……
在以前学过的0以外的数前面加上负号 ( http: / / www.21cnjy.com )“-”的数叫负数，把以前学过的0以外的数都叫正数，根据需要，有时在正数前面也加上“+”（正号），一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号。
数0既不是正数，也不是负数。
把0以外的数分为正数和负数，起源于 ( http: / / www.21cnjy.com )表示两种相反意义的量，后来正数和负数在许多方面被广泛地应用，在地图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地的海拔高度，例如珠穆朗玛峰的海拔高度为8848m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m。
0是正数与负数的分界，0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度，0的意义已不仅仅是表示“没有”。
零具有非常确定的意义，零不仅可以和自然数在一起比较大小，而且具有独特的运算性质，如任何一个数加上零仍等于这个数，但乘上零就等于零。
“0”是印度人的卓越发明，没有“0”就没有完整的位制记数法。
思维升华：了解数的发展史，回顾小学阶段为什么 ( http: / / www.21cnjy.com )学完整数后引入了分数，引入分数的意义何在？它的引入给我们生活带来什么方便，体会负数的引入在我们生活中的应用。
知识点三：（重点）有理数的定义及分类
“有理数”是一个非常重要的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，它是整数、分数扩充后的一个大的范围，对这一个范围（有理数集合）的理解则相当重要，要理解哪一些数是有理数，哪一些数不属于有理数（如π），要理解有理数的分类及分数法则。
正整数零和负整数统称为整数。
正分数和负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
为了对有理数这一概念所包含的各类数的范围有明确的认识，我们可以作出如下分类表：
整数 有理数
有理数
分数
通过分类要着重弄懂：
⑴正整数与0就是自然数。
⑵有理数不仅包含正有理数、负有理数，还包括0。零既不是正数，也不是负数，是唯一的中性数。
⑶整数不包括自然数，还包括负整数。
⑷零是自然数。
⑸有限小数可以用分数表出来。
⑹无限循环小数也可用分数表示出来。
⑺无限不循环小数不能用分数表示。
⑻任何分数化成小数，要么是有限小数，要么是无限循环小数。
⑼“正”与“整”音近但意义相差很大，因为正数不一定是整数，如是正数但不是整数；但整数也不一定是正数，如-3是整数，但不是正数。
探究思考：有理数的英文原为：“Rationd number”确切的译名为“比数”，因为有理数都可以表示成的形式。
【技巧·解悟】
一、考查相反意义的量的认识与理解
例1：判断下列说法正确的有几个（ ）
①勤奋和懒惰是互为相反的量；
②体重减少0.4千克与身高增加1厘都是互为相反意义的量；
③在一条马路上从某一点出发前进5千米与从该点后退1千米是互为相反意义的量；
④阶段性成绩分析会上，小明由于勤奋，数学成绩提高了30分，而小刚懒惰，数学成绩下降了20分。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：①“勤奋”与“懒惰”是一种状态，不是量，故不正确。
②“体重减少”与“身高增高”刻画的不是同一种状态，故不正确。
③④正确。
答案选B。
方法规律：“相反意义的是”是一个不定义的概念，要细心体会，你能寻找出生活中其他的一些具有相反意义的量吗？
二、考查正数与负数的概念及应用
例2：在-10，5，-2，，0，-，-2.93，-3.14，101和-97这十个数中，有哪几个是正数？哪几个是负数？哪几个是自然数？哪几个是负整数？哪几个是负数？
解析：在目前，可以说带有 ( http: / / www.21cnjy.com )负号的数就是负数，除0以外，不带负号的数就是正数，带有负号的整数当然是负整数，带有负号的分数也就是负分数，正分数与负分数构成了有理数中的分数，自然数是小学所学的概念，引入负数后，这个概念并没有发生变化。
答案：正数有以下三个：5，，101
分数有以下四个：，-，-2.93，-3.14
自然数有以下三个：5，0，101
负整数有以下三个：-10，-2，-97
负数有以下六个：-10，-2，-，-2.93，-3.14，-97
误区警示：⑴关于分数的概念，同学们可能 ( http: / / www.21cnjy.com )认为-2.93，-3.14是小数而不是分数，这是不正确的认识，按照有理数的分类，分数是相对于整数而言的，一个有理数，只要不是整数就一定是分数，而以-3.14等小数也可以化成分数形式。
⑵0是自然数，是最小的自然数。
三、考查有理数的概念及分类
例3：试判断按如下分类表将有理数进行分类是否正确。
整数
有理数
分数
解析：任何一个有理数不是整数就是分数， ( http: / / www.21cnjy.com )二者必属其一。而一个整数，它不是偶数就一定是奇数，二者必居其一（注意：偶数分为正偶数、0和负偶数，奇数分为正奇数和负奇数）。
答案：按照这个分类表将有理数进行分类是正确的。
方法规律：判断一个分类是否正确，应 ( http: / / www.21cnjy.com )该以是否做到了“不重不漏”为原则，就有理数的分类而言，任何一个有理数都不能既属于分类表中的某一类，又属于同一分类表中的另外某一类，这就是所谓“不重”的含义；而所谓“不漏”则是指任何一个有理数都可以归入分类表中的某一类，即不存在不属于分类表中任何一类的有理数。
对这道题的思考要注意周密性，我们可以多列 ( http: / / www.21cnjy.com )举一些数进行说明，比如正整数、负整数、零、正分数、负分数、循环小数、质数、合数等，看他们是否属于这个分类表中的某一类，而且不能属于这个分类表中的某两类或更多类。
【能力·拓展】
综合题：
例1：把下列各题填入它所属的集合的圈内：-11，9.5，50，-3.6，0，，0.6，2.32，-
正整数集合 负整数集合 正分数集合 负分数集合
解析：根据对正整数、负数、正分数、负分数的认识，把这一列数按顺序一个一个地填在相应的集合里，以免遗漏。
正整数集合：{50，…… }；负整数：{-11，…… }；
正分数集合：{9.5，，0.6，2.32，…… }；负分数：{-3.6，-，…… }
答案：把上述分析中用大括号表示的集合中的数填和四个集合所对应的圆圈之中即可。
名师点拨：①解决此类问题难度不大，但是同学们解题时容易出现遗漏，最好把这一列数按顺序一个一个地填在相应的集合里。
②注意9.5，-3.6属于分数集合里，而2.32是一个循环小数，可以化为分数，也属于分数集合。
创新题：
例2：分别写出符合要求的一个有理数。
⑴既是正数，又是分数的有理数（ ）
⑵既是分数，又是负数的有理数（ ）
⑶既是负数，又是整数的有理数（ ）
⑷既不是正数，又不是负数的数（ ）
解析：这道题考查我们对数的认识，每一小题中的数都同时具有两个性质，所写出的数要都具备这两个性质。
答案：⑴；⑵-；⑶-7；⑷0
经验技巧：判断一个数有两个角度，一是 ( http: / / www.21cnjy.com )这个数是整数还是分数；二是这个数是正数还是负数，即“整数”、“分数”表示的是这个数的形式，而“正”“负”表示的是这个数的性质。
【探究·体验】
探究题：
例1：某零件的设计图纸上标明这样一个数据：20±1cm，实际生产时，测得某个零件的实际长度为19.6cm，这个零件合格吗？
解析：由数据20±1cm说明零件的长度在19cm至21cm中为合格品。
答案：这个零件合格。
经验技巧：20±1cm表示这个零件的标 ( http: / / www.21cnjy.com )准长度是20cm，但在实际工作中生产的零件可能出现误差，但误差的范围在比标准长度长1cm或比标准长度短1cm之间，在此误差范围内的产品均为合格品。
图表信息图
例2：A、B、C三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号里，请把这些数填在如图所示的圆圈内的相应位置。
A={-9，-4，-8，6.7}
B={-4，-5，1，3，6}
C={-1，-4，-8，3，5}
解析：把A、B、C三数集中，共 ( http: / / www.21cnjy.com )有的数填入三个圆圈的重叠部分，A、B两个数集共有的数填入A、B两个圆圈的重叠部分，A、C共有的数，B、C共有的数类似填入。
答案：
名师点拨：-4这个数同属于A、B、C三 ( http: / / www.21cnjy.com )个集合，8-，-4这二个数同属于A、C两个集合，6，-4这二个数同属于A、B两个集合，3，-4这二个数同属于B、C两个集合，这是两个集合交集的思想的渗透认识。
归纳猜想题：
例3：⑴观察下列依次序排列的每一列数，研究它们各自的规律，并接着写出它后面的两个数。
①-1，+1，-1，+1，-1，+1，-1，+1，________，________，……
②5，-10，15，-20，25，-30，35，-40，_________，_________，……
③1，0，-1，0，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，_________，________，……
⑵你能说出⑴中各列数中的第99个数，第100个数各是什么吗？
解析：第①列数的规律是“-1，+1”循环变 ( http: / / www.21cnjy.com )化，第②列数的符号按“+”、“-”循环变化，不看符号，这一列数是5的1，2，3，……的倍数，第③列数的规律是按“1，0，-1，0”循环变化，以4个数为一节。
答案：⒈⑴-1，+1；⑵45，-50；⑶-1，0
⒉①中的第99、100个数分别为：-1，+1；
②中的99、100个数分别为：495，-5000；
③中的第99、100个数分别为：-1，0
方法规律：研究某一列数的规律性变化，要研究这列数的整数或分数的形式，还要研究这列数的性质（正负性），同时还要考查这一列数变化的周期性。
【习题·解疑】
P18 练习
⒈某工厂九月份销售额增加1万元，十月份销售额减少1.5万元 +1万元，-1.5万元
⒉8848表示珠穆朗玛峰的海拔8848米，-155表示吐鲁番盆地低于海平面155米，海平面的高度为0米。
⒊正数：+6、54、、0.001
负数：-21、-3.14、-999
⒋这句话不对，一个数不是正数，不是负数，它可以是0
P20 练习
⒈正整数：+5，+7 负整数：-2，-3 正分数：， 负分数：-，-
它们都是有理数。
⒉有理数集中有既不是正数，也不是负数的数，这样的数是0。
⒊
这两个圈的重叠部分表示正整数。
P20 习题2.1
⒈整数：1，-789，325，0，-20 分数：-0.10，，10.10，1000.1
正数：1，，325，10.10，1000.1 负数：-0.10，-789，-20
⒉
整数集 分数集
负数集 有理数集
⒊正整数集{1，325，260}；负整数集{-789，-20，-2001}
正分数集{，10.10，1000.1，0.618，}；负分数集{-0.10，-，-3.14，-0.21，-5%}
正有理数集{1，，325，10.10，1000.1，0.618，260，}
负有理数集{-0.10，-789，-20，-，-3.14，-2001，-0.21，-5%}
自然数集{1，325，0，260}
⒋⑴①1，-1，1 ②9，-10，11 ③，-，
⑵第①列中的第10个数是-1，第100个数是-1，第200个数是-1，第201个数是1；第②列中的第10个数是-10，第100个数是-100，第200个数是-200，第201个数是201；第③列中的第10个数是，第100个数是，第200个数是，第201个数是-。
【自主评价】
基础题：
⒈下列说法错误的是（ ）
A.-0.5是分数 B.零既不是正数也不是负数
C.整数与分数统称有理数 D.0是最少的有理数
⒉在-6，0，1，，-0.001，0.6中属于非负整数的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
⒊有一种记分法：80分以上，如88分记为+8分，某个学生得分为74分，则应记为（ ）
A.74 B.+6 C.-74 D.-6
⒋负整数集合是指（ ）
A.有理数集合少去掉分数和零 B.整数集合中去掉正整数和零的集合
C.整数集合中去掉正整数 D.有理数集合中去掉正数和零的集合
⒌下列说法
① -2.5既是负数、分数，也是有理数；
②-25既是负数，也是整数，但不是自然数；
③0既不是正数，也不是负数，但是整数；
④0是非负数。其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
拓展题：
⒍袋装精盐规定为每袋500克 ( http: / / www.21cnjy.com )，现检查10袋分别为501克、503克、495克、496克、502克、497克、500克、500克、499克、500克，请把每袋误差用有理数记在表内：
袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
误差
⒎观察下面的一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，-，，-，______，______。
⒏古希腊数学家把1，3，6，10，15 ( http: / / www.21cnjy.com )，21，……叫做三角形数，它有一定的规律，第24个三角形数与第22个三角形数的差为_________。
⒐集合A、B、C、D、E、F、G、H分 ( http: / / www.21cnjy.com )别表示正数集合、负数集合、整数集合、正整数集合、负整数集合、正分数集合、负分数集合、自然数集合，把下列各数分别填入相应的大括号内：
5，-2，-1，0.25，-6，-，2.3，-3.14，-45，1.64，0
A={ }；B={ }；C={ }；D={ }；
E={ }；F={ }；G={ }；H={ }
【自主评价】[答案点拨]
⒈D 解析：没有最小的有理数
⒉A 解析：“非负整数”指不是负的整数，即正整数和0
⒊D 解析：74比80低6分，记为-6
⒋B 解析：A.有理数集合去掉分数和零还有正整数、负整数；C.整数集合中去掉正整数还有负整数和零；D.有理数集合中去掉正数和零还有负数，包括负整数、负分数。
⒌D 解析：①②③④均正确。
⒍
袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
误差 +1 +3 -5 -4 +2 -3 0 0 -1 0
⒎，- 解析：这一列数的符号按“+”“-”规律性变化，分子为1，2，3，……等自然数列，分母按1×3，3×5，5×7，7×9，……等规律变化。
⒏47 解析：第22个三角形数为1+2+3+……+22=×22=253，第24个三角形数为1+2+3+……+24=×24=300，所以300-253=47
⒐A（正数集合）{5，0.25，2.3}
B（负数集合）{-2，-1，-6，-，-3.14，-45，-1.64}
C（整数集合）{5，-2，-1，-6，-45，0}
D（正整数集合）{5}
E（负整数集合）{-2，-1，-6，-45}
F（正分数集合）{0.25，2.3}
G（负分数集合）{-，-3.14，-1.64}
H（自然数集合）{5，0}
【资料·交流】
《九章算术》简介
《九章算术》是我国最早的一部数学专著，早在公元一世纪时，就已有了现传本的内容。
《九章算术》是问题集的形式编写的，书中共收集了246个问题，分为九章，每章都有一个名称，每章都讲述一类或几类事例的算法。
第一章“旁田”，主要是讲田亩面积的计算（分数四则算法和平面形求面积法）。
第二章“粟米”，讲的是各种比例问题（粮食交易计算法）。
第三章“衰分”，讲的是一些按比例分配问题。
第四章“少广”，讲的是由已知面积和体积，反求其一边的宽广是多少的问题（平方或开立方）。
第五章“商功”，讲的是有关各种工程的计算（立方形式体积法）。
第六章“均输”，讲的是管理粮食运输均匀负担的计算。
第七章“盈不足”，讲的是盈亏类问题的解法，也涉及能够用这种解法处理的其它类型的算术问题。
第八章“方程”，讲的是一次方程组解法和正负术。
第九章“勾股”，讲的是勾股定理的应用和简单的测量问题的解法。
《九章算术》里的问题，大多与生活、生产实 ( http: / / www.21cnjy.com )际有着密切联系，内容极其丰富，它几乎集中了过去和当时的全部数学知识，充分反映了我国劳动人民的智慧，这是流传最久，影响最广的一部著作，不仅为我国人
正整数
正分数
正有理数
负有理数
负整数
负分数
正整数
负整数
正分数
负分数
奇数
偶数
··
··
··
-，0.618，-3.14，，-0.21，-5%
260，-2001
-，0.618，-3.14，260，-2001，，-0.21，-5%
-，-3.14，-2001，-0.21，-5%