24.2 第2课时 垂径分弦课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
沪科版九年级下册 第二十四章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
24.2 圆的基本性质
第二课时 垂径分弦
前 言
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标及重难点
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等腰三角形
平行四边形
矩形
等腰三角形、平行四边形、矩形，它们谁具有对称性呢？
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菱形
正方形
菱形、正方形也具有对称性，那么圆是否也具有对称性呢？
圆
课程讲授
新课推进
探索1：垂径定理及其推论
　 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
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新课推进
B
O
A
C
D
E
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB， （或 ）
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
例1
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证明：连结OA、OB.
则OA＝OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
B
O
A
C
D
E
P
Q
同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合.
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新课推进
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新课推进
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AE=BE，AC =BC，AD =BD.(结论)
⌒
⌒
⌒
⌒
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
课程讲授
新课推进
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
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新课推进
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD.
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⌒
⌒
⌒
例2
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，AE=BE，(条件)
∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.(结论)
⌒
⌒
⌒
⌒

·
O
A
B
D
E
C
课程讲授
新课推进
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
课程讲授
新课推进
如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，
垂足为E，则
又∵OA=5cm，
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
∴在Rt△OEA中，有
·
O
A
B
E
例3
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赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道
如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
例4
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解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作的垂线，交
AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2 m.
由垂径定理，得AD= AB= ×37.4=18.7(m)
设⊙O的半径为R m，在Rt △AOD中，
AO = R, OD = R -7.2, AD = 18.7.
由勾股定理，得AO2 = OD2 + AD2.
∴ R2 = (R -7.2)2 +18. 72. 解方程，
得R ≈ 27. 9.
答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
⌒
A
B
O
C
D
37.4
7.2
R
习题解析
习题1
下列说法中,不正确的是(　　)
A. 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合
C. 圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
D
习题解析
习题2
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是(　　)
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
⌒
⌒
D
习题3
习题解析
1.如图,AB是☉O的直径,∠BAC=42°,D是AC的中点,则∠DOC的度数是　　.
⌒
48°
2.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
习题解析
习题4
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
.
A
C
D
B
O
E
习题解析
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3≤OP≤5
B
A
O
P
习题5
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
●
O
C
D
E
F
┗
习题解析
解:连接 OC，如图.
设这段弯路的半径为 R m，则OF = (R-90) m.
∵ OE⊥CD，∴ CF= CD=300(m).
根据勾股定理，得
∴R=545.
∴ 这段弯路的半径约为545m.
∴
拓展提升
课程总结
小结
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
垂径定理
推论
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
内容
两种辅助线：
连半径；作弦心距
辅助线
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程