24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
沪科版九年级下册 第二十四章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
24.2 圆的基本性质
第三课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
前 言
1. 结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质.
2. 能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题 (重点、难点)．
学习目标及重难点
课程导入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O’,把两张纸叠在一起，使⊙O与⊙O’重合，用图钉钉住圆心.将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？
O’
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
课程讲授
新课推进
探索1：圆的对称性
课程讲授
新课推进
探索2：圆心角
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
课程讲授
新课推进
例1
下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　)
D
圆心角的条件：
(1)顶点在圆心；
(2)两边和圆相交．
课程讲授
新课推进
1.在同圆中探究
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么AB与CD，弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
⌒
⌒
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么，AB=CD，弦AB=弦CD，OE=OF
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
F
探索3：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
课程讲授
新课推进
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
O
C
·
O'
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
·
A
B
┐
E
F
·
┐
课程讲授
新课推进
这个条件能去掉吗？为什么？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
A
B
O
D
C
E
F
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
④OE=OF
课程讲授
新课推进
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角相等
弧相等
弦相等
弦心距相等
课程讲授
新课推进
已知：如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.
求证： ∠ AOB= ∠ BOC = ∠ COA =120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
弦相等
圆心角相等
例2
课程讲授
新课推进
已知：如图,点O是∠A平分线上的一点，
⊙O分别交∠A两边于点C，D和点 E,F.
求证：CD=EF.
证明：过点O作OK ⊥ CD、OK ′ ⊥EF,
垂足分别为K，K ′ .
O
A
D
E
F
C
K ′
K
∴ OK = OK ′ (角平分线性质），
∴ CD =EF.
弦心距相等
弦相等
例3
课程讲授
新课推进
解：连接OE，如图.
∴ ∠COE=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠C=70°.
∵ CE为40°，
⌒
⌒
如图，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE // AB，CE为40°，求∠ BOD的度数.
O
C
E
A
B
D
例4
课程讲授
新课推进
1. 如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
随堂小练习
课程讲授
新课推进
2. 在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则 AB 与CD
的关系是（ ）
⌒ ⌒
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB >CD
⌒ ⌒
C. AB ⌒ ⌒
D. 不能确定
A
习题解析
习题1
如图，已知 AB、CD 为 ☉O 的两条弦， .
求证：AB＝CD.
C
A
B
D
O
证明：连接AO，BO，CO，DO.
即
∵ AD=BC，
⌒
⌒
习题解析
习题2
如图,AB是☉O的直径,点C在☉上,∠AOC=40°,D是BC的中点,求∠OCD的度数.
⌒
解:连接OD.
∵ AB是☉O的直径,∠AOC=40°,
∴ ∠BOC=140°.
∵ D是BC的中点，
∴ ∠COD=∠BOD= ∠BOC=70°，
∵ OC=OD,
∴ ∠OCD=∠ODC= (180°-∠COD)=55°
⌒
习题3
习题解析
如图，在⊙O中，AD，BC相交于点E，OE平分∠AEC.
(1)求证：AB＝CD；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长.
习题解析
解：(1)证明：
过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为M，N，
∵ OE平分∠AEC，
∴ OM＝ON，
∴ AD＝BC ，
∴ AD－BD ＝BC －BD ，
即 AB＝CD ，
∴ AB＝CD
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
习题解析
(2)连接OD
∵ OM⊥AD，∴ AM＝DM
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC
∴∠OEM＝45°，∴∠EOM＝45°
∴∠OEM＝∠EOM，∴OM＝ME＝DM－1
在 Rt△DOM 中，OD2＝OM 2＋DM 2，
即 25＝(DM－1)2＋DM 2，
解得 DM＝4 或 DM＝－3(舍去).
∴ AD＝2DM＝8，即AD的长为8.
习题解析
拓展提升
如图，在☉O中，2∠AOB =∠COD，那么CD = 2AB
成立吗？CD = 2AB呢？如果成立，请说明理由；如
不成立，那它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒
A
B
C
D
E
O
解：CD =2AB 成立，CD =2AB 不成立.理由如下：
取 CD 的中点 E，连接 OE，CE，DE ，
那么∠AOB=∠COE =∠DOE，
所以 AB = CE = DE ，CD =2 AB ，
弦AB = CE = DE，
在△CDE中，CE+DE > CD，即 CD ＜ 2AB.
⌒ ⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
课程总结
小结
顶点在圆心的角,叫圆心角.
圆心角、弧、弦、弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
圆心角
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
圆心角、弧、弦、弦心距间关系