北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元复习题(含解析)
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元复习题(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 636.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-06 10:34:00 | ||
图片预览
文档简介
北师大版九年级数学下册第三章圆单元复习题
一、单选题
1．如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆内接四边形对角互补
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（ ）
A．66° B．34° C．56° D．68°
4．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在⊙O中，弦BC=1．点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③④
7．如图，⊙O中，半径OC=4，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．4
8．在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α=45°时，S=
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
9．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．π B． 2π C． 3π D．4π
10．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
二、填空题
11．在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为 cm．
12．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
13．半径为 的 中，弦长为 的弦所对的圆心角度数为 .
14．如图 1， 是某激光黑白 A4 纸张打印机的机身，其侧面示意图如图 2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘 EP 下方为一段以 O 为圆心的圆弧，与上部面板线段 AE 交于点 E，与 CD 相切于点 D．测得 BC＝24cm， CD＝18cm．进纸盘 CH 可以随调节扣 HF 向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当 HF 向右移动 6cm 至H′F′时，点 A，D，F'在同一直线上，则 AB 的长度为 cm．若点 E 到 AB 的距离为 16cm， tanA＝4，连接 PO，线段 OP 恰好过圆弧的中点．若点 P 到直线 BC 的距离为 32cm，则 PE＝ cm．
三、解答题
15．用40cm长的铁丝围成一个扇形，求此扇形面积的最大值．
16．如图（1），将线段AB绕点A逆时针旋转2α（0°＜α＜90°）至AC，P是过A，B，C的三点圆上任意一点．
（1）当α=30°时，如图（1），求证：PC=PA+PB；
（2）当α=45°时，如图（2），PA，PB，PC三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明理由；若不具有，请探索它们的数量关系．
17．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
18．如图，A(-5，0)，B(-3，0)点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDAB，CDA=90.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒.
（1）求点C的坐标；
（2）当BCP=15时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
19．已知圆环的大圆半径R=4cm，小圆半径r=2cm，求圆环的面积。
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E.
（1）求证：DC＝DE；
（2）若BD＝1，DE＝3，求⊙O的半径.
21．如图，四边形 内接于 ，对角线 为 的直径，过点 作 交 的延长线于点 , 为 的中点，连结 ， .
（1）求 的度数.
（2）求证： 是 的切线.
（3）若 时，求 的值.
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4∶5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
23．已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点.
（1）如图1，求证：BE－AE＝CG；
（2）如图2，连接DF，DE.若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝ ，求FC的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D=180°，
又∠D=100°
∴∠B=80°
故答案为：B.
【分析】由圆的内接四边形，对角互补，可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，缺少条件，故本选项错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，缺少条件，故本选项错误；
C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，缺少条件，故本选项错误；
D. 圆内接四边形对角互补，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据确定圆的条件、圆的基本性质、垂径定理的推论和圆内接四边形的性质逐一判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵∠DAB=∠BCD=34°，
∴∠ABD=90°-34°=56°.
故答案为：C．
【分析】先利用圆周角的性质可得∠DAB=∠BCD=34°，再利用三角形的内角和求出∠ABD即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故答案为：A.
【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．根据圆心角的定义作答即可．
5．【答案】A
【解析】【分析】如图，连接OB，OC，
∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°。
∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形。
∴OB=BC=1.
故选A.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，点C是 的中点，
∴ = ，
∴∠CAD=∠ABC，故①正确；
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴AD≠BC，故②错误；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C为 的中点，
∴ = ，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根据射影定理，可得AC2=AE AB，故④正确；
如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
故答案为：D．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，
∴OD=OC=2，OD⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△OAD中，∵OA=4，OD=2，
∴AB=2AD=4．
故选：D．
【分析】连结OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=OC=2，OD⊥AB，再根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD=2，于是得到AB=2AD=4．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、错误，菱形的周长=8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α=45°时，菱形的面积=2×2×sin45°=2 ；
C、错误，∵0°＜∠α＜90°，∴对角不互补，∴A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确，∵0°＜α＜90°，S=菱形的面积=2×2×sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的四条边相等可以判断A；根据菱形的性质计算出菱形的面积判断B；根据四点公圆的判定定理对C作判断；先求出菱形面积的表达式，根据正弦三角函数的性质判断D.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的弧长公式：，再将n=60°，R=3代入计算可求解。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 的周长是，所以 的半径是6，又因为正六边形内接于，故正六边形的边长是6.
故答案为：C.
【分析】圆的内接正六边形可以分为6个全等的等边三角形，故其边长等于外接圆的半径。
11．【答案】13
【解析】【解答】解：如图所示，
∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝（cm），
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故答案为：13．
【分析】先求出BD＝BC＝12，再结合OD＝5，利用勾股定理求出OB的长即可。
12．【答案】4π
【解析】【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，
∴BC=2，AC=2 ，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，
∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC= ×（42﹣22）=4πcm2．
故答案为：4π．
【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积．
13．【答案】120°
【解析】【解答】解：如图，作 ，由垂径定理知，点 是 的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：120°.
【分析】作OD⊥AB，由垂径定理可得AD的值，结合半径可得∠A=30°，进而求出∠AOD的度数，然后根据∠AOB=2∠AOD进行求解.
14．【答案】34；
【解析】【解答】解：（1）如图，过点F′作F′M⊥AB，垂足为M，交CD于点N，
由题意得，BM＝CN＝HF＝H′F′＝2cm，
F′M＝24＋18＋6＝48（cm），
F′N＝18＋6＝24（cm），
DN＝18 2＝16（cm），
∵AB∥CD，
∴△F′AM∽△F′DN，
∴DN∶AM＝F′N∶F′M＝24∶48＝，
∴AM＝2DN＝2×16＝32（cm），
∴AB＝AM＋MB＝32＋2＝34（cm），
故答案为：34；
（2）如图3，过点E作BC的平行线交AB于点K，交过点P作AB的平行线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点G，
∴四边形KESB、四边形EQTS、四边形KQTB均是矩形，
在Rt△AEK中，EK＝16cm，tanA＝4，
AK＝14EK＝4cm，
∴KB＝QT＝AB AK＝34 4＝30（cm），
由（1）可得：DC＝16＋2＝18（cm），
∴QG＝QT GT＝30 18＝12（cm），
SC＝BC BS＝24 16＝8（cm），
PQ＝PT QT＝PT KB＝32 30＝2（cm），
PG＝PQ＋QG＝2＋12＝14（cm），
设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，
∵线段OP恰好过弧ED的中点，
∴OP是DE的垂直平分线，EP＝PD，
在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理可得，
EQ2＋PQ2＝DG2＋PG2＝PE2，
即（a＋8）2＋22＝a2＋142，
解得a＝8，
即：EQ＝a＋8＝16（cm），
∴（cm）.
故答案为：
【分析】根据题意构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，求出AM，进而求出AB的值；利用垂径定理可得OP是DE的垂直平分线，得到PE＝PD，在Rt△AEK中利用锐角三角函数可求出AK，进而求出KB的长，通过作平行线构造直角三角形和矩形，设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理列方程求出a的值即可解答．
15．【答案】解：设半径为r，弧长为l，则40=2r+l，∴l=40﹣2r，∴S扇形= lr= r （40﹣2r）=﹣r2+20r=﹣（r﹣10）2+100，∴当半径为10时，扇形面积最大，最大值为100cm2．
【解析】【分析】根据用40cm长的铁丝围成一个扇形，设半径为r，弧长为l，得到40=2r+l，根据扇形的面积公式S扇形=lr，得到二次函数，用顶点式求出扇形面积的最大值.
16．【答案】证明：（1）如图（1），在PA上截取PD=PA，∵AB=AC，∠CAB=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠APC=∠CPB=60°，∴△APD为等边三角形，∴AP=AD=PD，∴∠ADC=∠APB=120°，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（AAS），∴CD=PB，∵PC=PD+DC，∴PC=PA+PB；（2）PC=PA+PB，如图（2），作AD⊥AP与PC交于一点D，∵∠BAC=90°，∴∠CAD=∠BAP，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP，∴CD=PB，AD=AP，根据勾股定理PD=PA，∴PC=PD+CD=PA+PB．
【解析】【分析】（1）首先在PC上截取PD=PA，易知△ABC是等边三角形，可得△PAD是等边三角形，继而可证明△ACD≌△BAP，则CD=PB，从而得出PC=PB+PA；
（2）PC=PA+PB，作AD⊥AP与PC交于一点D，易证△ACD≌△ABP，则CD=PB，AD=AP，根据勾股定理PD=PA，所以PC=PA+PB．
17．【答案】解：连结OC，
∵C为切点，
∴OC⊥AB，即OC是△OAB的高，
∵∠A=∠B，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形，
∴AC=CB= AB= ×16=8，
在Rt△OCA，OA= = =10．
【解析】【分析】由题意可知，点C为圆的切点，连接OC即可得到OC⊥AB，因为∠A=∠B，所以可得三角形ABO为等腰三角形；
在直角三角形OCA中，根据勾股定理可得OA的长度。
18．【答案】解：（1）∵，
∴OC=OB=3.
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当点P在点B右侧时，如图2.
若，得.
故OP=OCtan30=，此时t=4+.
当点P在点B左侧时，如图3，由，
得，故PO=OCtan60=.
此时t=4+.
∴t的值为4+或4+；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有，从而，得到OP=3.
此时t=1.
②当⊙P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，
此时t=4.
③当⊙P与AD相切时，由题意，，
∴点A为切点，如图4.PC2=PA2=(9-t)2，PO2=(t-4)2.
于是(9-t)2=(t-4)2+32.解出t=5.6.
∴t的值为1或4或5.6．
【解析】【分析】
（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与CD相切时，得到此时的时间t．
19．【答案】解：∵大圆半径R=4cm
∴大圆面积=
∵小圆半径r=2cm
∴小圆面积=
∴圆环面积=大圆面积－小圆面积=
【解析】【分析】圆环面积=大圆面积－小圆面积，由圆面积公式求出大小圆面积即可得答案.
20．【答案】（1）证明：连接BC，OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB＋∠DCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠DCB，
∵DE⊥AD，
∴∠A＋∠E＝∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠E，
∵∠ABC＝∠CDB＋∠DCB，∠DCE＝∠A＋∠CDB，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠E，
∴CD＝DE；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，
∴△BCD∽△CAD，
∴ ，
∵BD＝1，DC＝DE＝3，
∴ ，
∴AD＝9，
∴AB＝AD﹣BD＝8，
∴⊙O的半径为4.
【解析】【分析】（1）连接BC，OC，利用切线的性质可证得OC⊥CD，可得到∠OCB＋∠DCB＝90°；再利用圆周角定理可得∠ACB=90°，利用余角的性质可证得∠ACO＝∠DCB，利用等腰三角形的性质去证明∠A＝∠DCB；然后利用垂直的定义及三角形的外角的性质可推出∠DCE=∠E，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△BCD∽△CAD；再利用相似三角形的对应边成比例可求出AD的长；然后根据AB=AD-BD，代入计算求出AB的长.
21．【答案】（1）解：因为∠ADC是直径AC对应的圆周角，所以∠ADC=90°，所以∠CDE=90°
（2）证明：如图所示，连接OD,
因为OA=OD，所以△DAO是等腰三角形，则∠DAO=∠ADO，
由（1）得∠CDE=90°，所以△CDE是直角三角形,
又因为F是Rt△CDE斜边CE的中点，所以 ，
所以△DEF是等腰三角形，故∠DEF=∠EDF，
因为CE⊥AC，所以△ACE是直角三角形,
根据三角形内角和为180°，所以在Rt△ACE中∠DAO+∠DEF=90°，
因为∠DAO=∠ADO，∠DEF=∠EDF，
所以∠ODF=180°-（∠ADO+∠EDF）=180°-（∠DAO+∠DEF）=90°，
所以DF⊥OD，故DF是⊙O的切线
（3）解：在△ADC和△ACE中， ，
所以△ADC∽△ACE，根据相似三角形的性质，得 ，
因为tan∠ABD=3，所以tan∠ACD=3,
设AD=3x，则CD=x，∴AC= x，
所以 ，所以AE= x，DE= x,
所以 .
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90° ，再根据平角的定义即可求出 的度数. （2） 连接OD, 根据等边对等角可得∠DAO=∠ADO，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DF=EF,进而可得∠DEF=∠EDF， 利用直角三角形的两锐角互余可得 ∠DAO+∠DEF=90°， 由等量代换及平角的定义即可求出 ∠ODF=90°， 进而可证DF是⊙O的切线 .（3）利用两角对应相等两三角形相似可得△ADC∽△ACE，由相似三角形的对应边成比例可得 ， 设AD=3x，由 tan∠ABD=3及等量代换可得CD=x， 利用勾股定理可得AC= x， 进而可得AE= x，DE= x, ，代入 中即可求出点答案。
22．【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ．
（2）解：∵ + =180°， 与 的度数之比为4：5，
∴ =80°， =100°，
∴ = =50°，
∴ = + =130°，
∴∠BAE＝ ＝50°，∠B＝ ＝65°，
∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°，
∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°，
∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．
【解析】【分析】（1）连接AD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠BAD=∠CAD，利用在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论.
（2）观察图形可知 ，的度数之和为180° ，由此可分别求出，的度数，同时可求出、、 的度数， 利用圆周角定理求出∠BAE，∠B的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠AED和∠EDB的度数.
23．【答案】（1）证明：连接 延长交 于 ，
与 相切于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
四边形 和四边形 都是矩形，
， ，
，
；
（2）解：连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，与 的延长线交于点 ，
四边形 为矩形，
， ，
设 的半径为 ，则 ， ，
，
，
解得 ，
，
，
为 的直径，
，
， ，
，
设 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得， ，或 （舍 ，
， ，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
解得， ，
即 .
【解析】【分析】(1) 连接 延长交 于 ， 由切线的性质知OE⊥AB，再由垂径定理得出DK=GK，然后证明四边形 和四边形 都是矩形，最后利用矩形的对边相等及线段间的和差关系，即可解答；
(2)连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，与 的延长线交于点 ， 设 的半径为 ， 在Rt△ODM中，根据勾股定理构建方程求出r，然后求出有关线段的长，设 ， ，在 中， 根据勾股定理构建方程求解，则可求出EF和FN，再设 ， ， 然后证明 ，根据三角形相似的性质列比例式求出y，即可解答.
1 / 1
一、单选题
1．如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆内接四边形对角互补
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（ ）
A．66° B．34° C．56° D．68°
4．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在⊙O中，弦BC=1．点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③④
7．如图，⊙O中，半径OC=4，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．4
8．在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α=45°时，S=
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
9．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．π B． 2π C． 3π D．4π
10．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
二、填空题
11．在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为 cm．
12．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
13．半径为 的 中，弦长为 的弦所对的圆心角度数为 .
14．如图 1， 是某激光黑白 A4 纸张打印机的机身，其侧面示意图如图 2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘 EP 下方为一段以 O 为圆心的圆弧，与上部面板线段 AE 交于点 E，与 CD 相切于点 D．测得 BC＝24cm， CD＝18cm．进纸盘 CH 可以随调节扣 HF 向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当 HF 向右移动 6cm 至H′F′时，点 A，D，F'在同一直线上，则 AB 的长度为 cm．若点 E 到 AB 的距离为 16cm， tanA＝4，连接 PO，线段 OP 恰好过圆弧的中点．若点 P 到直线 BC 的距离为 32cm，则 PE＝ cm．
三、解答题
15．用40cm长的铁丝围成一个扇形，求此扇形面积的最大值．
16．如图（1），将线段AB绕点A逆时针旋转2α（0°＜α＜90°）至AC，P是过A，B，C的三点圆上任意一点．
（1）当α=30°时，如图（1），求证：PC=PA+PB；
（2）当α=45°时，如图（2），PA，PB，PC三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明理由；若不具有，请探索它们的数量关系．
17．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
18．如图，A(-5，0)，B(-3，0)点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDAB，CDA=90.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒.
（1）求点C的坐标；
（2）当BCP=15时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
19．已知圆环的大圆半径R=4cm，小圆半径r=2cm，求圆环的面积。
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E.
（1）求证：DC＝DE；
（2）若BD＝1，DE＝3，求⊙O的半径.
21．如图，四边形 内接于 ，对角线 为 的直径，过点 作 交 的延长线于点 , 为 的中点，连结 ， .
（1）求 的度数.
（2）求证： 是 的切线.
（3）若 时，求 的值.
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4∶5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
23．已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点.
（1）如图1，求证：BE－AE＝CG；
（2）如图2，连接DF，DE.若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝ ，求FC的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D=180°，
又∠D=100°
∴∠B=80°
故答案为：B.
【分析】由圆的内接四边形，对角互补，可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，缺少条件，故本选项错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，缺少条件，故本选项错误；
C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，缺少条件，故本选项错误；
D. 圆内接四边形对角互补，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据确定圆的条件、圆的基本性质、垂径定理的推论和圆内接四边形的性质逐一判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵∠DAB=∠BCD=34°，
∴∠ABD=90°-34°=56°.
故答案为：C．
【分析】先利用圆周角的性质可得∠DAB=∠BCD=34°，再利用三角形的内角和求出∠ABD即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故答案为：A.
【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．根据圆心角的定义作答即可．
5．【答案】A
【解析】【分析】如图，连接OB，OC，
∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°。
∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形。
∴OB=BC=1.
故选A.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，点C是 的中点，
∴ = ，
∴∠CAD=∠ABC，故①正确；
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴AD≠BC，故②错误；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C为 的中点，
∴ = ，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根据射影定理，可得AC2=AE AB，故④正确；
如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
故答案为：D．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，
∴OD=OC=2，OD⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△OAD中，∵OA=4，OD=2，
∴AB=2AD=4．
故选：D．
【分析】连结OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=OC=2，OD⊥AB，再根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD=2，于是得到AB=2AD=4．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、错误，菱形的周长=8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α=45°时，菱形的面积=2×2×sin45°=2 ；
C、错误，∵0°＜∠α＜90°，∴对角不互补，∴A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确，∵0°＜α＜90°，S=菱形的面积=2×2×sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的四条边相等可以判断A；根据菱形的性质计算出菱形的面积判断B；根据四点公圆的判定定理对C作判断；先求出菱形面积的表达式，根据正弦三角函数的性质判断D.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的弧长公式：，再将n=60°，R=3代入计算可求解。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 的周长是，所以 的半径是6，又因为正六边形内接于，故正六边形的边长是6.
故答案为：C.
【分析】圆的内接正六边形可以分为6个全等的等边三角形，故其边长等于外接圆的半径。
11．【答案】13
【解析】【解答】解：如图所示，
∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝（cm），
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故答案为：13．
【分析】先求出BD＝BC＝12，再结合OD＝5，利用勾股定理求出OB的长即可。
12．【答案】4π
【解析】【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，
∴BC=2，AC=2 ，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，
∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC= ×（42﹣22）=4πcm2．
故答案为：4π．
【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积．
13．【答案】120°
【解析】【解答】解：如图，作 ，由垂径定理知，点 是 的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：120°.
【分析】作OD⊥AB，由垂径定理可得AD的值，结合半径可得∠A=30°，进而求出∠AOD的度数，然后根据∠AOB=2∠AOD进行求解.
14．【答案】34；
【解析】【解答】解：（1）如图，过点F′作F′M⊥AB，垂足为M，交CD于点N，
由题意得，BM＝CN＝HF＝H′F′＝2cm，
F′M＝24＋18＋6＝48（cm），
F′N＝18＋6＝24（cm），
DN＝18 2＝16（cm），
∵AB∥CD，
∴△F′AM∽△F′DN，
∴DN∶AM＝F′N∶F′M＝24∶48＝，
∴AM＝2DN＝2×16＝32（cm），
∴AB＝AM＋MB＝32＋2＝34（cm），
故答案为：34；
（2）如图3，过点E作BC的平行线交AB于点K，交过点P作AB的平行线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点G，
∴四边形KESB、四边形EQTS、四边形KQTB均是矩形，
在Rt△AEK中，EK＝16cm，tanA＝4，
AK＝14EK＝4cm，
∴KB＝QT＝AB AK＝34 4＝30（cm），
由（1）可得：DC＝16＋2＝18（cm），
∴QG＝QT GT＝30 18＝12（cm），
SC＝BC BS＝24 16＝8（cm），
PQ＝PT QT＝PT KB＝32 30＝2（cm），
PG＝PQ＋QG＝2＋12＝14（cm），
设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，
∵线段OP恰好过弧ED的中点，
∴OP是DE的垂直平分线，EP＝PD，
在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理可得，
EQ2＋PQ2＝DG2＋PG2＝PE2，
即（a＋8）2＋22＝a2＋142，
解得a＝8，
即：EQ＝a＋8＝16（cm），
∴（cm）.
故答案为：
【分析】根据题意构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，求出AM，进而求出AB的值；利用垂径定理可得OP是DE的垂直平分线，得到PE＝PD，在Rt△AEK中利用锐角三角函数可求出AK，进而求出KB的长，通过作平行线构造直角三角形和矩形，设DG＝CT＝a cm，则ST＝EQ＝SC＋CT＝（a＋8）cm，在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理列方程求出a的值即可解答．
15．【答案】解：设半径为r，弧长为l，则40=2r+l，∴l=40﹣2r，∴S扇形= lr= r （40﹣2r）=﹣r2+20r=﹣（r﹣10）2+100，∴当半径为10时，扇形面积最大，最大值为100cm2．
【解析】【分析】根据用40cm长的铁丝围成一个扇形，设半径为r，弧长为l，得到40=2r+l，根据扇形的面积公式S扇形=lr，得到二次函数，用顶点式求出扇形面积的最大值.
16．【答案】证明：（1）如图（1），在PA上截取PD=PA，∵AB=AC，∠CAB=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠APC=∠CPB=60°，∴△APD为等边三角形，∴AP=AD=PD，∴∠ADC=∠APB=120°，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（AAS），∴CD=PB，∵PC=PD+DC，∴PC=PA+PB；（2）PC=PA+PB，如图（2），作AD⊥AP与PC交于一点D，∵∠BAC=90°，∴∠CAD=∠BAP，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP，∴CD=PB，AD=AP，根据勾股定理PD=PA，∴PC=PD+CD=PA+PB．
【解析】【分析】（1）首先在PC上截取PD=PA，易知△ABC是等边三角形，可得△PAD是等边三角形，继而可证明△ACD≌△BAP，则CD=PB，从而得出PC=PB+PA；
（2）PC=PA+PB，作AD⊥AP与PC交于一点D，易证△ACD≌△ABP，则CD=PB，AD=AP，根据勾股定理PD=PA，所以PC=PA+PB．
17．【答案】解：连结OC，
∵C为切点，
∴OC⊥AB，即OC是△OAB的高，
∵∠A=∠B，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形，
∴AC=CB= AB= ×16=8，
在Rt△OCA，OA= = =10．
【解析】【分析】由题意可知，点C为圆的切点，连接OC即可得到OC⊥AB，因为∠A=∠B，所以可得三角形ABO为等腰三角形；
在直角三角形OCA中，根据勾股定理可得OA的长度。
18．【答案】解：（1）∵，
∴OC=OB=3.
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当点P在点B右侧时，如图2.
若，得.
故OP=OCtan30=，此时t=4+.
当点P在点B左侧时，如图3，由，
得，故PO=OCtan60=.
此时t=4+.
∴t的值为4+或4+；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有，从而，得到OP=3.
此时t=1.
②当⊙P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，
此时t=4.
③当⊙P与AD相切时，由题意，，
∴点A为切点，如图4.PC2=PA2=(9-t)2，PO2=(t-4)2.
于是(9-t)2=(t-4)2+32.解出t=5.6.
∴t的值为1或4或5.6．
【解析】【分析】
（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与CD相切时，得到此时的时间t．
19．【答案】解：∵大圆半径R=4cm
∴大圆面积=
∵小圆半径r=2cm
∴小圆面积=
∴圆环面积=大圆面积－小圆面积=
【解析】【分析】圆环面积=大圆面积－小圆面积，由圆面积公式求出大小圆面积即可得答案.
20．【答案】（1）证明：连接BC，OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB＋∠DCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠DCB，
∵DE⊥AD，
∴∠A＋∠E＝∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠E，
∵∠ABC＝∠CDB＋∠DCB，∠DCE＝∠A＋∠CDB，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠E，
∴CD＝DE；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，
∴△BCD∽△CAD，
∴ ，
∵BD＝1，DC＝DE＝3，
∴ ，
∴AD＝9，
∴AB＝AD﹣BD＝8，
∴⊙O的半径为4.
【解析】【分析】（1）连接BC，OC，利用切线的性质可证得OC⊥CD，可得到∠OCB＋∠DCB＝90°；再利用圆周角定理可得∠ACB=90°，利用余角的性质可证得∠ACO＝∠DCB，利用等腰三角形的性质去证明∠A＝∠DCB；然后利用垂直的定义及三角形的外角的性质可推出∠DCE=∠E，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△BCD∽△CAD；再利用相似三角形的对应边成比例可求出AD的长；然后根据AB=AD-BD，代入计算求出AB的长.
21．【答案】（1）解：因为∠ADC是直径AC对应的圆周角，所以∠ADC=90°，所以∠CDE=90°
（2）证明：如图所示，连接OD,
因为OA=OD，所以△DAO是等腰三角形，则∠DAO=∠ADO，
由（1）得∠CDE=90°，所以△CDE是直角三角形,
又因为F是Rt△CDE斜边CE的中点，所以 ，
所以△DEF是等腰三角形，故∠DEF=∠EDF，
因为CE⊥AC，所以△ACE是直角三角形,
根据三角形内角和为180°，所以在Rt△ACE中∠DAO+∠DEF=90°，
因为∠DAO=∠ADO，∠DEF=∠EDF，
所以∠ODF=180°-（∠ADO+∠EDF）=180°-（∠DAO+∠DEF）=90°，
所以DF⊥OD，故DF是⊙O的切线
（3）解：在△ADC和△ACE中， ，
所以△ADC∽△ACE，根据相似三角形的性质，得 ，
因为tan∠ABD=3，所以tan∠ACD=3,
设AD=3x，则CD=x，∴AC= x，
所以 ，所以AE= x，DE= x,
所以 .
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90° ，再根据平角的定义即可求出 的度数. （2） 连接OD, 根据等边对等角可得∠DAO=∠ADO，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DF=EF,进而可得∠DEF=∠EDF， 利用直角三角形的两锐角互余可得 ∠DAO+∠DEF=90°， 由等量代换及平角的定义即可求出 ∠ODF=90°， 进而可证DF是⊙O的切线 .（3）利用两角对应相等两三角形相似可得△ADC∽△ACE，由相似三角形的对应边成比例可得 ， 设AD=3x，由 tan∠ABD=3及等量代换可得CD=x， 利用勾股定理可得AC= x， 进而可得AE= x，DE= x, ，代入 中即可求出点答案。
22．【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ．
（2）解：∵ + =180°， 与 的度数之比为4：5，
∴ =80°， =100°，
∴ = =50°，
∴ = + =130°，
∴∠BAE＝ ＝50°，∠B＝ ＝65°，
∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°，
∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°，
∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．
【解析】【分析】（1）连接AD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠BAD=∠CAD，利用在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论.
（2）观察图形可知 ，的度数之和为180° ，由此可分别求出，的度数，同时可求出、、 的度数， 利用圆周角定理求出∠BAE，∠B的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠AED和∠EDB的度数.
23．【答案】（1）证明：连接 延长交 于 ，
与 相切于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
四边形 和四边形 都是矩形，
， ，
，
；
（2）解：连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，与 的延长线交于点 ，
四边形 为矩形，
， ，
设 的半径为 ，则 ， ，
，
，
解得 ，
，
，
为 的直径，
，
， ，
，
设 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得， ，或 （舍 ，
， ，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
解得， ，
即 .
【解析】【分析】(1) 连接 延长交 于 ， 由切线的性质知OE⊥AB，再由垂径定理得出DK=GK，然后证明四边形 和四边形 都是矩形，最后利用矩形的对边相等及线段间的和差关系，即可解答；
(2)连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，与 的延长线交于点 ， 设 的半径为 ， 在Rt△ODM中，根据勾股定理构建方程求出r，然后求出有关线段的长，设 ， ，在 中， 根据勾股定理构建方程求解，则可求出EF和FN，再设 ， ， 然后证明 ，根据三角形相似的性质列比例式求出y，即可解答.
1 / 1