京改版八年级数学下册第十二章三角形 单元复习题（含解析）

京改版八年级数学下册第十二章三角形单元复习题
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4.5，6，7.5 D．4，5，6
3．如图，点A，E，F，D在同一直线上，若AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有 （　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（　　）个螺栓。
A．1 B．2 C．3 D．4 。
5．下列各组数可以是一个三角形的三边长的是（　　）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，7，12 D．10，11，22
6．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是（　　）
A．BC＝2CD B．CD＝2AB C．AC＝2CD D．CD＝BD
7．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（　　）
A．∠E＝67.5° B．∠AMF＝∠AFM
C．BF＝2CD D．BD＝AB+AF
8．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠A＝50°，则∠B＝（　　）
A．50° B．45° C．30° D．25°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
10．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E分别在边AB，BC上，且，AE与CD交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为 ，则 的值可能是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、填空题
12．如图，l1∥l2，则 　 　.
13．如图，五角星的五个顶角分别是，，，，，剪掉，若，则与的度数和为　 　．
14．已知 中， ，则这个三角形是　 　三角形．
15．如图，△ABC
中，∠BOC =115°，BD，CE 是∠ABC，∠ACB 的平分线，则∠A的度数　 　．
16．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内正六边形的面积S6，则S6＝　 　．
三、作图题
17．如图，∠MON及ON上一点A．
求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等.
四、解答题
18．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长.
19．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．
20．如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
21．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标．

22．已知，在Rt△ABC中，，，点F是射线CA上一点，连接BF，过点C作CE⊥BF，垂足为点E，直线CE，AB相交于点D。
图1 图2 图3
（1）如图1，当点F在线段CA的延长线上时，求证：；
（2）如图2，当点F在线段CA上时，求证：EA平分∠DEB；
（3）如图3，当点F在线段CA上时，若，△BDE的面积为16，求BE的长。
23．如图，在四边形 中， ，点 是 边上一点， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
24．如图，在 中， ．
（1）用尺规作出 的平分线，并标出它与边 的交点 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若 ， ，求 的长．
25．如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.
（1）请你写出筝形 对角线或角的一个性质，并证明.
（2）如图， 是 的角平分线， ， ，垂足分别为 ， .请判断四边形 是否为筝形，证明你的结论.
26．在中，平分，平分，和交于点，其中令，．
（1）【计算求值】如图，如果，则　 　；
如果，则　 　．
（2）【猜想证明】如图2请你根据（1）中【计算求值】的心得猜想写出与的关系式为 ，并请你说明你的猜想的正确性．
（3）【解决问题】如图3，某校园内有一个如图2所示的三角形的小花园，花园中有两条小路，和为三角形的角平分线，交点为点，在处建有一个自动浇水器，需要在边取一处接水口，经过测量得知，米，米，请你求出水管至少要多长？结果取整数
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，符合题意；
D、
，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AE=DF，
∴AE+EF=DF+EF，
∴AF=DE，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△BAF和△CDE中，
，
∴△BAF≌△CDE（SAS），
在△BAE和△CDF中，
，
∴△BAE≌△CDF（SAS），
∴BE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠BEF=∠CFE，
在△BEF和△CFE中，
，
∴△BEF≌△CFE（SAS），
即全等三角形有3对，
故C符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据题意可得出AF=DE，∠A=∠D，利用SAS分别得出△BAF≌△CDE和△BAE≌△CDF，再由全等三角形的性质证得∠BEF=∠CFE，利用SAS证得△BEF≌△CFE，从而得到答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解 ：
A点加上了螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星就具有稳定性了。
故应选 ：A.
【分析】根据三角形的稳定性，在A处打上螺栓，五角星的各边就固定了。
5．【答案】B
【解析】【解答】解： A、∵1+1=2 ， 不能组成三角形，故A选项不符合题意；
B、 ， 能组成三角形，故B选项符合题意；
C、 ， 不能组成三角形，故C选项不符合题意；
D、 ， 能组成三角形，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于较大边长即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵CD是斜边AB的中线，
∴AB=2CD，故A、B、C不符合题意；
∴CD=BD，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AB=2CD，CD=BD=AD，由此可得到正确结论的选项.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵AC=AB，∠BAC=90°，∴∠B=45°，∴∠DBE=22.5°，
∴∠E=90°-∠DBE=90°-22.5°=67.5°，正确，不符合题意；
B、∵∠B=45°，∴∠BAH=∠ACB=90°-∠B=45°，∴∠AMF=∠ABM+∠BAM
=22.5°+45°=67.5°，∠AFM=∠ACB+∠CBF=45°+22.5°=67.5°，正确，符合题意；
CD、∵AB=AC，∠BAC=∠EAC=90°，∠AFB=∠CFD，∴∠ABF=∠FCD，∴△ABF≌△ACE（ASA），∴AF=AE，∴AB+AF=AB+AE=BE>BD，D错误，符合题意；∵BD平分∠ABC，BD⊥EC，∴△ABC是等腰三角形，∴ED=CD，∴EC=2CD，∵△ABF≌△ACE，∴BF=EC，∴BF=2CD，∴C正确，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质可求∠E、∠AMF和∠AFM的度数；利用角边角定理可证△ABF≌△ACE，得出对应边相等，再结合直角三角形斜边最大可得BD8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，即∠B＝∠BCD．
∵CD＝AC，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠B+∠BCD＝∠CAD，
∴∠B＝ ∠CDA＝25°．
故答案为：D．
【分析】由作图痕迹可知MN是线段BC的垂直平分线，然后利用中垂线的性质和等腰三角形的性质求得∠B＝∠BCD，∠CDA＝∠A＝50°，最后利用三角形外角的性质求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，BC＝ ＝8，
∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
S△ABD＝ DE AB＝ AC BD，
即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，
即点D到AB边的距离为3．
故答案为C．
【分析】作DE⊥AB于E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵等边，
∴，，
∵，
∴，
∴，①正确；
∴，
∴，
在中，
，②正确；
∵，，
∴，
∴不是等腰三角形，③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：A
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可判断①；进而根据题意进行角的运算即可判断②；从而结合等腰三角形的判定即可判断③；再结合题意进行角的运算，运用含30°角的直角三角形的性质即可判断④。
11．【答案】C
【解析】【解答】∠ACB=∠90°+∠CBD
∴(5x 10)°=∠90°+∠CBD
化简得：x=20+ ∠DBC
∵0°<∠DBC<90°
∴20°故答案为：C
【分析】根据三角形的外角性质和三角形内角∠DBC的取值范围得出x的范围。
12．【答案】180°
【解析】【解答】如图：
∵l1∥l2，∴ ，
∵ 是三角形的一个外角，∴ ，
∵ 与 是邻补角，∴ ，
∴ ，即：
∴
故答案为：
【分析】根据两直线平行同位角相等、三角形外角定理以及邻补角的概念列式计算即可；
13．【答案】
【解析】【解答】如图，
∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠A+∠C，
∴∠1+∠2=
∵∠1+∠2+
=180°
∴6
=180°
∴=30°
∵∠BMN＋∠MNC
＝∠4＋∠E＋∠3＋∠E
＝180°＋∠E
＝180°＋30°
＝210°．
故答案为：
．
【分析】根据三角形外角和性质：∠1+∠2=
，根据三角形内角定理：∠1+∠2+
=180°，求得
，再根据∠BMN＋∠MNC＝∠4＋∠E＋∠3＋∠E可得。
14．【答案】直角
【解析】【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为α、3α、4α，
则α+3α+4α=180°，
解得α=22.5°，
所以，∠C=4×22.5°=90°，
这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】根据比设∠A、∠B、∠C分别为α、3α、4α，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出∠C，作出判断即可．
15．【答案】50°
【解析】【解答】解：∵∠BOC =115°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-115°=65°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=130°，
∴∠A=180°-130°=50°，
故答案为：50°．
【分析】利用角平分线的性质得到角的关系，再利用三角形的内角和求解即可。
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6＝6× ×1×1×sin60°＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
17．【答案】解：如图所示，点P即为所求．
【解析】【分析】过点A作AP⊥ON，交∠MON 的平分线于点P.
18．【答案】解：
为直角三角形，
在中
【解析】【分析】由勾股定理逆定理知△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°，由题意可得AD=CD=24，然后在Rt△ADC中，利用勾股定理计算即可.
19．【答案】解：∵AD是高，∠ABC=70°，
∴∠BAD=90°﹣70°=20°，
∵AE、BF是角平分线，∠BAC=80°，∠ABC=70°，
∴∠ABO=35°，∠BAO=40°，
∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°
【解析】【分析】在直角三角形中，根据两锐角互余即可得到∠BAD=20°，根据角平分线的性质可求出∠BAO和∠ABO，最后由三角形外角的性质求得∠AOF=75°．
20．【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，进而结合题意运用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可求解。
21．【答案】解：△ABC的各顶点坐标：A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（1，﹣2）；
△A1B1C1如图所示：
△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标：A2（﹣1，-2），B2（﹣3，﹣1），C2（1，2）．

【解析】【分析】根据平面直角坐标系写出点A、B、C的坐标即可；
先找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．
22．【答案】（1）证明：∵CE⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠CEB=∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠CDA=∠ABF+∠EDB.
∵∠CDA=∠EDB，
∴∠ACD=∠ABF.
∵∠ACD=∠ABF，AC=AB，∠CAD=∠BAF，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴AF=AD，
∴CF=AC+AF=AC+AD=AB+AD.
（2）证明：过A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，则∠CMA=∠ANB=90°.
∵∠CEF=∠CAB=90°，∠CFE=∠BFA，
∴∠MCA=∠NBA.
∵∠MCA=∠NBA，∠CMA=∠ANB，AC=AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
∴EA平分∠DEB.
（3）解：∵ ∠CEB=∠CAB=90°，∠CFE=∠AFB，
∴△ECF=∠FBA.
∵∠CAD=∠BED=90°，AC=BC，∠DCA=∠FBA，
∴△ABF≌△ACD（ASA），
∴AF=AD.
∵CF=CA，
∴CF=AF=AD=AC=AB.
过E作EG⊥BD于点G，
∵S△ABE=AB·EG，S△ADE=AD·EG，
∴S△ABE=2S△ADE.
∵S△BDE=16，
∴S△ABE=，S△ADE=.
过A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，
∴S△ADE=AM·DE，S△ABE=AN·BE.
由（2）得AM=AN，
∴BE=2DE.
设DE=x，则BE=2x.
∵S△BDE=16，
∴DE·BE=16，
∴x·2x=16，
∴x=4，
∴BE=8.
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠CEB=∠BAC=90°，由等角的余角相等可得∠ACD=∠ABF，利用ASA证明△ACD≌△ABF，得到AF=AD，据此解答；
（2）过A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，则∠CMA=∠ANB=90°，同理证明△ACM≌△ABN，得到AM=AN，据此证明；
（3）利用ASA证明△ABF≌△ACD，得到AF=AD，结合已知条件可得CF=AF=AD=AC=AB，过E作EG⊥BD于点G，由三角形的面积公式可得S△ABE=2S△ADE，进而推出BE=2DE，设DE=x，则BE=2x，根据S△BDE=DE·BE=16可得x的值，进而可求出BE的长.
23．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
在 和 中，
.
（2）解：∵ ，
∴ ， .
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴在 中， .
【解析】【分析】（1）根据“∠B=90°，AC⊥CD”得出∠2=∠BAC，即可得出答案；（2）由（1）可得AC=CD，并根据勾股定理求出AC的值，再次利用勾股定理求出AD的值，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：过点 作 ，垂足为 ．
为 的平分线， ．
．
在 中， ，
．
【解析】【分析】（1）利用尺规作出角CAB的角平分线即可；
（2）证明 ．即可求出 ．
25．【答案】（1）解：筝形 的性质： ，
如图，连接PN，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
（2）解：四边形 是筝形，
证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是筝形.
【解析】【分析】（1）连接PN，易证△PQN≌△PMN，然后根据全等三角形的性质进行解答；
（2）由角平分线的性质可得DE=DF，证明△AED≌△AFD，得到AE=AF，据此判断.
26．【答案】（1）115°；80°
（2）解：，理由如下：
如图：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
即，
故答案为：；
（3）解：在上取点和，使，，如图：
，是的角平分线，
，，
又，，
≌，≌，
，，，，
，
，
，，
，
，
米，
米，
米，即米
，
米，
答：出水管至少要71米．
【解析】【解答】解：（1）如图：
，即，
，
平分，平分，
，，
，
，
即，
故答案为：；
②若，即，
，
平分，平分，
，，
，
，
即
故答案为：；
【分析】（1）①由内角和定理可得∠ABC+∠ACB=130°，结合角平分线的概念可得∠DBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=65°，然后利用内角和定理进行计算；
②由内角和定理得∠OBC+∠OCB=50°，结合角平分线得∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=100°，然后利用内角和定理进行计算；
（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-x，根据角平分线的概念可得∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，则∠DBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=90°-x，再利用内角和定理进行解答即可；
（3）在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，易得∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，用SAS证明△BEO≌△BGO，△ODC≌△OHC，得到∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，OG=OE，OH=OD，易得∠OBC+∠OCB=30°，则∠BOE=∠DOC=30°，∠BOC=150°，∠BOG=∠HOC=30°，∠GOH=90°，然后利用三角形的面积公式进行计算.
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