京改版九年级数学上册第十八章相似形单元复习题（含解析）

京改版九年级数学上册第十八章相似形单元复习题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．已知 ，那么 （　　）.
A． B． C． D．
3．如图，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
4．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，C的中点，则S△ADE：S△ABC=（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S△ABC=2S△ABF．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（　　）
A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35
9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　　）
A．18 B． C． D．
10．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A，B，C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么 的值是　 　.
12．在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为　 　km．
13．若线段a=3 cm,b=12 cm，则a、b的比例中项c=　 　cm．
14．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=　 　
15．工人师傅在修茸一人字架屋顶BAC时需要加固，计划焊接三根钢条AD，DE，FG．在如图所示的△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于点D，点E，F，G分别是AB，BD，AC上的点，连接DE，GF，交于点H，GF与AD交于点M，当H为FM的中点，BF∶CF=1∶5，AG：AE=5：7时，△AGM的面积为　 　．
三、解答题
16．已知：如图，AE2=AD·AB，且∠ABE=∠ACB，求证：DE∥BC.
17．如图，若 ， 和 相交于点 ，和 相交于点 ， ， ， ，求 ．
18．如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．
（1）求证：∽．
（2）计算点到直线的距离为　 　 ．
19．如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
20．如图，四边形 中， 平分 ， ； ， 为 的中点，
（1）求证： ；
（2） 与 有怎样的位置关系？试说明理由．
21．如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问：﹣的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
22．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，已知四边形是平行四边形，
（1）若，求线段的长.
（2）若的面积为，求平行四边形的面积.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝3．求BF的长．
24．如图，直线l1：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝kx+1与x轴交于点D，两直线l1，l2相交于点C（2，2），在x轴上有一动点E（m，0）.
（1）求两条直线的解析式；
（2）过点E作直线l⊥x轴，交直线l1于点F，交直线l2于点G；
①当GF的长为3时，求m的值；
②当
＝3时，求m的值；
（3）当m＝1时，如图③所示，连接BE，过点B作直线交x轴于点P，使得∠OBE＝∠ABP，求直线BP的解析式.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】 ，
∴可设 ，
.
故答案为：A.
【分析】由比例的性质可设a=2k，b=3k，代入所求代数式计算即可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：，
，即，
.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC∶CD∶DE=AM∶MN∶BN，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：D.
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ，即可作答.
5．【答案】C
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD=4，AE=3，CE=6，
∴ ，
∴BD=8，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例得，然后利用比例性质即可求出BD的长。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（ ）2= ；
故选：C．
【分析】证出DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵CF=2AF，
∴S△ABC=3S△ABF．
∴④不正确；
其中正确的结论有3个，
故选：B．
【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据CF=2AF，即可得出结论④错误；即可得出结论．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴==，
∴=（）2=，==
设S△DEF=S，则S△ABF=S，S△ADF=S，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S+S=S，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD=S△DBC=S，
∴S四边形EFBC=S△BDC﹣S△DEF=S﹣S=S，
∴S△DEF：S四边形EFBC=4：31．
故选C．
【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案．
9．【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
即 解得:
即 解得:
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质及已知求出MC的长，可证∠B=∠C，∠BAM=∠CMG，利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得△AMB∽△MCG，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CG，DG，再根据AE∥BC证明△MCG∽△EDG，得出对应边成比例，从而可求出DE的长。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：满足△ABP与△ABC相似的点有3个，
所以满足△ABP与△ABC相似的概率是 ．
故选A．
【分析】找到可以使△ABP与△ABC相似的点，根据概率公式解答即可．
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴
故答案为：
【分析】根据黄金分割的定义可知， 黄金比即值为 .
12．【答案】96
【解析】【解答】设AB两地实际距离为
根据题意得：
解得： （cm）
∴AB两地实际距离为
故填：96.
【分析】先设AB两地实际距离为 ，根据比例尺的性质列出方程求解即可.
13．【答案】6
【解析】【解答】由c是线段a,b的比例中项可得：c2=ab=12×3=36,因为c>0，所以c=6cm.故答案为6cm.
【分析】根据c是线段a，b的比例中项，可得c2=ab，把a=3，b=12代入计算，求出c的值，即可求解.
14．【答案】3
【解析】【解答】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∵AC=2，AD=1，
∴ ，
解得DB=3．
【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．
15．【答案】
【解析】【解答】解：过点G作GN∥BC交AD于点N，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴NG∥BC，NG⊥AD，
∴∠B=∠C，BD=DC=6，∠ADF=90°，∠EAD=∠MAG，
∴；
∵BF：CF=1：5，BC=12，
∴BF+CF=12，
解之：BF=2，CF=10，
在Rt△MDF中，点H是MF的中点，
∴DH=HF=MH，
∴∠BDE=∠CFG，∠ADE=∠FMD=∠AMG，
∵∠BDE=∠CFG，∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFG，
∴，
∵∠EAD=∠MAG，∠AMG=∠ADE，
∴△ADE∽△AMG，
∴；
解得：，
设AG=5m，则AE=7m，
∴BE=AB-AE=10-7m，CG=AC-AG=10-5m，
∴，
解得：m=1，
经检验，m=1符合题意，
∴AG=5，
∵NG∥BC，
∴△ANG∽△ADC，
∴ ， 即
解之：NG=3.
∴.
故答案为：.
【分析】过点G作GN∥BC交AD于点N，则∠B=∠C，BD=DC=6，∠ADF=90°，∠EAD=∠MAG，利用勾股定理可得AD，由BF：CF=1：5结合BC的值可得BF=2，CF=10，由直角三角形斜边上中线的性质可得DH=HF=MH，结合等腰三角形的性质可得∠BDE=∠CFG，∠ADE=∠FMD=∠AMG，证明△BDE∽△CFG，△ADE∽△AMG，设AG=5m，则AE=7m，BE=10-7m，CG=10-5m，根据相似三角形的性质可得m的值，证明△ANG∽△ADC，根据相似三角形的性质可得NG，然后根据三角形的面积公式进行计算.
16．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
∵∠A=∠A（公共角），
∴ ∽ ，
∴∠AED=∠ABE，
又∵∠ABE=∠ACB，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE∥BC.
【解析】【分析】先证明 ∽ ，再利用相似三角形的性质及已知条件可证明∠AED=∠ACB，从而证明结论.
17．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得
【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
18．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵矩形ABCD，，
∴DC=AB=6，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：，
∵∽，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，再结合，即可得到∽；
（2）先利用勾股定理求出DE的长，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AF的长即可.
19．【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
20．【答案】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解： ；
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）证明∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，即可解决问题；（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．
21．【答案】（1）解：（1）过P作PE⊥OA于E，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，
∴PE=PM sin60°=，ME=，
∴CE=OC﹣OM﹣ME=，
∴tan∠PCE==，
∴∠PCE=30°，
∴∠CPM=90°，
又∵PM∥OB，
∴∠CNO=∠CPM=90°，
则CN⊥OB
（2）解：①﹣的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O，又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴=，即=，
∴6y﹣6x=xy．两边都除以6xy，得﹣=，即﹣=．
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，则S1=OM PE，S2=OC NF，∴=．∵PM∥OB，∴∠PMC=∠O，又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△CNO，∴==，∴==﹣（x﹣3）2+，∵0＜x＜6，则根据二次函数的图象可知，0＜≤．
【解析】【分析】（1）过P作PE⊥OA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到CN与OB垂直；
（2）﹣的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y﹣x，根据平行得到三角形NQP与三角形NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值；
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，表示出菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，得到，由PM与OB平行，得到三角形CPM与三角形CNO相似，由相似得比例求出所求式子 的范围即可．
22．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：∽，
，
的面积为，
的面积是，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积，
平行四边形的面积.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得DE∥BF，证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得 ，则△ABC的面积是16，由平行四边形的性质可得EF∥AB，证明△EFC∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得△EFC的面积，据此求解.
23．【答案】（1）证明：连接OD，AD， ∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD， ∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴ ，
∵AB＝4，AE＝3，
∴ ， ∴BF＝2．
【解析】【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
24．【答案】（1）解：将点C（2，2）代入直线l1：y＝﹣x+b中，得-2+b=2，
解得b=4，
∴直线l1：y＝﹣x+4；
将点C（2，2）代入直线l2：y＝kx+1中，得2k+1=2，
解得k= ，
∴直线l2：y＝ x+1；
（2）解：①∵l⊥x轴，E（m，0）.
∴点F（ ），G（ ），
当m<2时， ，解得m=0；
当m>2时， ，解得m=4；
∴当GF的长为3时，m的值为0或4；
.
②∵ ＝3，
∴GE=3GF，
当m<2时， ，解得 ；
当m>2时， ，解得 ；
∴ 或 ；
（3）解：过点P作PH⊥AB于H，
∵y＝﹣x+4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴∠BAO=∠ABO= ， ，
∴∠HAP=∠HPA= ，
∴AH=PH，
设PH=a，
∵∠OBE＝∠ABP，∠BOE=∠BHP= ，
∴△BHP∽△BOE，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴P（ ），
设直线BP的解析式为y=nk+b，
∴ ，解得 ，
∴ .
.
【解析】【分析】（1）将C（2，2）代入y=-x+b中可得b的值，进而可得直线l1的解析式，将C（2，2）代入y=kx+1中求出k的值，进而可得直线l2的解析式；
（2）①易得F（m，-m+4），G（m，
m+1），表示出GF，然后根据GF=3求解即可；
②由已知条件可得GE=3GF，然后分别表示出GE、GF，根据GE=3GF求解即可；
（3）过点P作PH⊥AB于点H，易得A（4，0），B（0，4），则OA=OB=4，利用勾股定理求出AB，设PH=a，证明△BHP∽△BOE，根据相似三角形的性质求出a，进而可得AP，求出点P的坐标，设直线BP的解析式为y=kx+b，然后将点B、P的坐标代入求出k、b，据此可得直线BP的解析式.
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